人教版初一数学下册列方程解应用题之设未知数技巧.docx
《人教版初一数学下册列方程解应用题之设未知数技巧.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版初一数学下册列方程解应用题之设未知数技巧.docx（35页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
人教版初一数学下册列方程解应用题之设未知数技巧
列方程解应用题之设未知数技巧
参考答案与试题解析
一、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
1．（4分）（2001•济南）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为 143 ．
【分析】由题可知，由于矩形色块图中全是正方形，则右下角两个小正方形一样大小，而顺时针方向每个大正方形边长都增大1，等量关系：
两个略小正方形的边长和+第三大的正方形的边长=次大正方形的边长+大正方形的边长．
【解答】解：
设右下角的小正方形边长为x，矩形的长（下边）=2x+（x+1），矩形的长（上边）=（x+1+1）+（x+1+1+1），则
2x+（x+1）=（x+1+1）+（x+1+1+1），
解得x=4，
矩形的长=4+4+5=13，
宽=4+7=11，
面积=11×13=143．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．（4分）一个六位数
的3倍等于
，则这个六位数是 285713 ．
【分析】可设2后面的五位数是未知数，等量关系为：
（2×100000+未知数）×3=未知数×10+9，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：
设
为x，
∵
中的2在十万位上，
∴六位数
可表示为2×100000+x，
同理可得
可表示为10x+9，
∴（2×100000+x）×3=10x+9，
解得x=85713．
∴这个6位数为2×100000+x=285713，故答案是285713．
【点评】考查用一元一次方程解决数字问题，得到2个六位数的等量关系是解决本题的关键；易错点是得到6位数的表示方法．
7．（4分）有人问一位老师，他教的班级有多少学生，老师说：
“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还有不足6位学生正在操场踢足球．”因此，这个班一共有学生 28 人．
【分析】一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还有不足6位学生正在操场踢足球，即踢足球的学生人数大于0并且小或等于5．设这个班一共有学生x人，根据这个不等关系就可以列出不等式．
【解答】解：
不足6位学生说明剩下人数在1和5之间．
设有x人，则0＜x﹣
x﹣
x﹣
x≤5
0＜x﹣0.5x﹣0.25x﹣
x≤5
解得9
＜x≤46
这些整数里，
∵
x，
，
都表示学生人数，
∴必须为整数，
∴学生总数应为28的倍数，
∴只有28能被28整除．
∴这个班一共有学生28人．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，理解：
不足6位学生正在操场踢足球的含义，找到符合题意的不等关系．
8．（4分）（2013春•慈溪市校级月考）一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时，从乙地到甲地逆流行驶需6小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 24 小时．
【分析】根据顺流时：
行驶速度+水流速度=总路程÷总时间，逆流时：
行驶速度﹣水流速度=总路程÷总时间，可得到两个关于行驶速度和水流速度的方程组，解得水流速度，即可得漂流所需时间．
【解答】解：
设总路程为1，轮船行驶速度为x，水流速度为y，根据题意得：
，解得y=
，
木阀漂流所需时间=1÷
=24（小时）．故答案填：
24．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
14．（4分）某人购买钢笔和圆珠笔各若干支，钢笔的价格是圆珠笔价格的2倍，付款时，发现所买两种笔的数量颠倒了，因此，比计划支出增加了50%，则此人原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为 1：
4 ．
【分析】通过理解题意可知，本题存在一个等量关系，即：
（原计划购买钢笔数目×钢笔价格+原计划购买圆珠笔数目×圆珠笔价格）×（1+50%）=实际购买钢笔数目×钢笔价格+实际购买圆珠笔数目×圆珠笔价格，根据这一等量关系列方程作答．
【解答】解：
假设原计划购买钢笔数目为x，原计划购买圆珠笔数目为y，并设圆珠笔价格为1，则钢笔价格为2，
则由题意可得方程：
（2x+y）150%=2y+x，
化简得：
y=4x，所以原计划购买钢笔与圆珠笔数量的比为1：
4，
故答案为1：
4．
【点评】本题解题的关键在于，找出题目中所给的等量关系式，再根据这个式子求解解出答案．
15．（4分）电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为60mm，现有厚度为0.15mm的胶片，它紧紧的缠绕在盘上，共600圈，那么这盘胶片的总长度约为 282.3 米（π≈3.14）．
【分析】根据圆的周长可得，第一圈长=60π毫米，第二圈长=（60+0.3）π毫米…第n圈长=[60+0.3（n﹣1）]π毫米，则第600圈长=（60+0.3×599）π毫米，总长度=60π+（60+0.3）π+（60+0.3×2）π+…（60+0.3×599）π，计算即可．
【解答】解：
第一圈长=60π毫米，第二圈长=（60+0.3）π毫米…第n圈长=[60+0.3（n﹣1）]π毫米，第600圈长=（60+0.3×599）π毫米，
总长度=60π+（60+0.3）π+（60+0.3×2）π+…（60+0.3×599）π
=[60×600+0.3×（1+2+3+…+599）]π
=89910π（毫米）
≈282.3（米）故答案为：
282.3．
【点评】此题属于应用类问题，结合实际问题考查有理数的混合运算，解答此题的关键是理清题意，找准规律解题，难度较大．
16．（4分）为使某项工程提前20天完成任务，需将原定工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要 100 天．
【分析】设原来的工作效率为1，计算可得实际工作效率，等量关系为：
原来的工作效率×原计划用时=实际工作效率×实际用时，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：
设原计划完成这项工程需要x天，原来的工作效率为1，则实际的工作效率为1×（1+25%）=1.25，
1×x=1.25×（x﹣20），
解得x=100，故答案为：
100．
【点评】考查一元一次方程的应用，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．
二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）
2．（4分）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行（ ）
A．0.5小时B．1小时C．1.2小时D．1.5小时
【分析】设船在静水中的速度为x，原来的水速为y，根据甲港到乙港逆流航行需2小时可得总路程=2（x﹣y），水流增加后总路程=3（x﹣2y）；从乙港返回甲港是顺流航行时间=总路程÷（2y+x），根据总路程不变即可得从乙港返回甲港时间．
【解答】解：
设船在静水中的速度为x，原来的水速为y，根据题意得：
甲港到乙港两次路程相等，即2（x﹣y）=3（x﹣2y），
解得：
x=4y；
水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行时间=
=1（小时）．故选B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
9．（4分）某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，后来调价，A种原料价格上涨10%，B种原料价格减少15%，经核算产品价格可保持不变，则x：
y的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】混合后产品价格可保持不变做为等量关系，所以可得方程50x+40y=50（1+10%）x+40（1﹣15%）y，可算出比值．
【解答】解：
某种产品是由A种原料x千克、B种原料y千克混合而成且混合前后产品价格可保持不变
故50x+40y=50（1+10%）x+40（1﹣15%）y
=
故选C．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是把握混合前后产品价格保持不表做为等量关系，可列方程求解．
10．（4分）从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是（ ）
A．5千克B．6千克C．7千克D．8千克
【分析】可设切下的质量为未知数，10千克和15千克的合金的含铜的百分比为另2个未知数，等量关系为：
（10千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷10=（15千克合金中纯铜的质量+另一块切下的纯铜的质量）÷15，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：
设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，
=
，
整理得（b﹣a）x=6（b﹣a），
解得x=6，故选B．
【点评】考查用一元一次方程解决实际问题，根据熔炼后两者含铜的百分比恰好相等得到相应的等量关系是解决本题的关键；注意一些必须的量没有时，应设其未知数，在解答过程中消去无关未知数．
11．（4分）（2014春•万州区校级期中）某城市按以下规定收取每月煤气费：
用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（ ）
A．60元B．66元C．75元D．78元
【分析】4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么煤气一定超过60立方米，等量关系为：
60×0.8+超过60米的立方数×1.2=0.88×所用的立方数，把相关数值代入即可求得所用煤气的立方米数，乘以0.88即为煤气费．
【解答】解：
设4月份用了煤气x立方，
则60×0.8+（x﹣60）×1.2=0.88×x，
解得：
x=75，
75×0.88=66元，故选B．
【点评】考查用一元一次方程解决实际问题，判断出煤气量在60立方米以上是解决本题的突破点；得到煤气费的等量关系是解决本题的关键．
17．（4分）完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（ ）
A．2.8B．3C．6D．12
【分析】让乙丙合作的工作效率减去乙的工作效率得到丙的工作效率；等量关系为：
甲2.4天的工作量+丙2.4天的工作量=1，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：
设甲单独完成此项工程需要x天．
×2.4+[
﹣（
﹣
）]×2.4=1，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，故选B．
【点评】考查了用分式方程解决工程问题；得到工作量1的等量关系是解决问题的关键；易错点是得到丙的工作效率．
18．（4分）（2003•广西）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：
每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（ ）
A．13立方米B．14立方米C．15立方米D．16立方米
【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解．
【解答】解：
设该职工6月份实际用水量为x立方米，
10a+2a（x﹣10）=16a
解得：
x=13
故选A．
【点评】此题贴近生活，与学生生活联系密切．关键是抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解．
19．（4分）（2010秋•宜宾校级期末）一件商品按标价打八折出售获利20%，那么按原标价出售可获利（ ）
A．25%B．50%C．40%D．60%
【分析】设原标价是x元，把进价看作单位1．根据按标价打八折出售获利20%，得方程0.8x=1+20%，再进一步求得按原标价出售的利润率．
【解答】解：
设原标价是x元，把进价看作单位1．
根据题意得：
0.8x=1+20%，
解得：
x=1.5．
则按原标价出售可获利1.5﹣1=50%．
故选B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
三、解答题（共9小题，满分94分）
3．（10分）（2005•天水）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的
，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的
；零售票每张16元，共售出零售票的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？
【分析】本题的等量关系为：
五月份票款数=六月份票款数，但此题的未知数较多，有总票数、团体票数、零票票数、六月份零售票的定价．又此题文字量大，数量关系复杂．设总票数为a元，六月份零票票按每张x元定价，则团体票数为
a，零票票数为
a，根据等量关系，列方程，再求解．
【解答】解：
设总票数a张，六月份零售票按每张x元定价，
根据题意得：
12（
a•
）+16（
a•
）=16•（
a•
）+
a•
x，
化简得：
a+
a=
a+
ax
因为总票数a＞0，所以
+
=
+
x，
解得x=19.2
答：
六月份零售票应按每张19.2元定价，才能使这两个月的票款收入持平．
【点评】拓展：
有多个未知数的问题要抓住所求问题设为主元，问题中所涉及的其他未知量设为参量．在解方程中必然能消去参量，求出主元x的值．同学们掌握了这个方法，就不必再惧怕有多个未知量的问题了．
4．（10分）某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是多少？
【分析】设参数出原进价为a元，设出这种商品原来的利润率为x，利用利润率=
列出方程解得即可．
【解答】解：
设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，
=x+8%，
解得x=17%．
【点评】此题考查利润率的计算公式：
利润率=
，分析题意找出售价、进价、利润就可以解决问题．
5．（10分）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？
【分析】首先设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）根据原草量+每天生长的草量×放牧的天数=每头牛每天吃草量×头数×天数
列出方程组
，可解得x的值即为所求．
（2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．
要使牧草才永远吃不完，则有每头牛每天吃草量×放牧的牛头数≤每天生长的草量，解得结果即为所求．
【解答】解：
设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．
（1）由题意得：
由②﹣①得b=12c④
由③﹣②得（x﹣8）b=（16x﹣168）c⑤
将④代入⑤得（x﹣8）×12c=（16x﹣168）c，解得x=18
（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y≤
=12．
答：
（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；
（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用．有些应用题，它所涉及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知敷辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求”．
12．（10分）（2002•陕西）某企业生产一种产品，每件成本为400元，销售价为510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售将提高10%，要使销售利润（销售利润=销售价﹣成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？
【分析】此题文字叙述量大，要审清题目，找到等量关系：
销售利润（销售利润=销售价﹣成本价）保持不变，设该产品每件的成本价应降低x元，则每件产品销售价为510（1﹣4%）元，销售了（1+10%）m件，新销售利润为[510（1﹣4%）﹣（400﹣x）]×（1+10%）m元，原销售利润为（510﹣400）m元，列方程即可解得．
【解答】解：
设该产品每件的成本价应降低x元，则根据题意得
[510（1﹣4%）﹣（400﹣x）]×（1+10%）m=（510﹣400）m，
解这个方程得x=10.4．
答：
该产品每件的成本价应降低10.4元．
【点评】此题与实际联系密切，要求学生有很强的分析能力．在解题时要抓住题目中的等量关系．
13．（10分）如图，几块大小不等的正方形纸片A、B、…，I，无重叠地铺满了一块长方形．已知正方形纸片E的边长为7，求其余正方形的边长．
【分析】可从中间最小的正方形的边长入手思考，表示出其余正方形的边长，根据A的边长相等列式求解即可．
【解答】解：
设中间H的正方形的边长为x，则F的边长为7+x，B的边长为14+x，I的边长为7+2x，G的边长为7+3x，D的边长为4x，C的边长为7+3x+4x=7x+7，A的边长=B的边长+7﹣D的边长=21﹣3x，或者A的边长=C的边长+D的边长=7+11x，
∴21﹣3x=7+11x，解得x=1，
∴7+x=8；14+x=15；7+2x=9；7+3x=10；4x=4；7x+7=14；21﹣3x=18；
答：
其余正方形的边长为18；15；14；10；9；8；4；1．
【点评】考查一元一次方程的应用；利用最小的正方形的边长表示出其余正方形的边长是解决本题的难点；利用最大正方形的边长相等得到等量关系是解决本题的关键．
20．（10分）某水库共有6个相同的泄洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泄洪使水库水位以a米/时匀速下降．某汛期上游的洪水在未开泄洪闸的情况下使水库水位以b米/时匀速上升，当水库水位超警戒线h米时开始泄洪．
（1）如果打开n个水闸泄洪x小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；
（2）经考察测算，如果只打开一个泄洪闸，则需30个小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泄洪闸，则需10个小时水位才能降至警戒线．问该水库能否在3个小时内使水位降至警戒线？
【分析】
（1）根据上升的水位﹣泄洪下降的水位+原有水位=相对于警戒线的水面高度，列出代数式即可．
（2）根据第一问的代数式及只打开一个泄洪闸，需30个小时，打开两个泄洪闸，需10个小时可列出方程组得到ab的关系式，ab与h的关系式，即可确定3时，n的值，只要满足n≤6，即可确定能在3个小时内使水位降至警戒线．
【解答】解：
（1）设警戒线的水面高度为h，打开n个水闸泄洪x小时，此时相对于警戒线的水面高度的代数式为：
bx﹣nax+h=（b﹣na）x+h；
（2）根据题意得：
，解得a=2b，h=30b，
当x=3时，3（b﹣na）+h=0，把a=2b，h=30b，代入上式得n=5.5，
∵已知有6个泄洪闸，且5.5＜6，∴该水库能在3个小时内使水位降至警戒线．
【点评】本题考查了列代数式及解二元一次方程的解法，理解题意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．（10分）（2000•天津）一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．问：
（1）乙车每次所运货物是甲车每次所运货物量的几倍？
（2）现甲、乙、丙合运相同次数把这次货物运完时，货主应付车主运费各多少元？
（按每运1吨付运费20元计算）
【分析】
（1）根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完”甲的效率应该为
，乙的效率应该为
，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍；
（2）本题的关键是求出甲乙丙各自运的吨数，根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．”这两个等量关系来列方程．
【解答】解：
设这批货物共有T吨，甲车每次运t吨，乙车每次运t吨，
（1）∵2a•t甲=T，a•t乙=T，∴t甲：
t乙=1：
2，
即乙车每次货运量是甲车的2倍；
（2）由题意列方程：
，
由
（1）知t乙=2t甲，∴
，解得T=540．
∵甲车运180吨，丙车运540﹣180=360吨，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，
∴甲车车主应得运费540×
×20=2160（元），
乙、丙车车主各得运费540×
×20=4320（元）．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
22．（12分）某同学想用5个边长不等的正方形拼成如图所示的大正方形．请问：
该同学的想法能实现吗？
如果能实现，试求出这5个正方形的边长；如果不能实现，请说明理由．
【分析】先判断，再说理由．可以设其中两个正方形的边长为x、y，再用x、y表示另外两个正方形的边长，根据正方形的边长相等，列方程求解，得出矛盾．
【解答】答：
不能实现．
理由：
设中间小正方形的边长为x，左下方的正方形边长为y，
则左上方的正方形边长为（y﹣x），右上方的正方形边长为（y﹣2x），
用两种方法计算右下方正方形的边长：
方法一：
边长=y+x
方法二：
边长=（y﹣x）+（y﹣2x）﹣y=y﹣3x
∴y+x=y﹣3x，解得x=0；
这说明中间的小正方形根本就不存在，且其它正方形的边长都为y，所以该同学的想法不能实现．
【点评】本题考查了整式加减法的运用，设未知数，表示各正方形的边长，根据边长相等列出方程是解题的关键．
23．（12分）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？
【分析】设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．根据一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得
×2x=a+
b，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解．
【解答】解：
设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得
，解得b=
x，a=
x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx=a+bt，
t=
=
．
即t=12分钟．
答：
若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
【点评】解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解．
社会、生活、经济情境应用题
参考答案与试题解析
一、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
1．（4分）（2013秋•宜兴市校级期中）某商品的进价为200元，原价为300元，折价销售后的利
升级会员 