人教版初二上数学第28讲全等三角形教师版.docx

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人教版初二上数学第28讲全等三角形教师版

全等三角形概念和性质

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1、知识与能力：

理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题。

2、过程与方法：

在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径。

3、情感、态度与价值观：

培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识。

1.全等形

（1）定义：

能够________的两个图形叫做全等形。

理解要点：

图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：

图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。

（2）几种常用全等变换的方式：

平移、翻折、旋转。

2.全等三角形及相关的概念

（1）全等三角形的定义：

能够________的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形对应元素：

把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：

重合的顶点；②对应边：

重合的边；③对应角：

重合的角。

（3）全等三角形的表示方法：

两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。

符号“≌”的含义：

“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。

（4）全等三角形的书写：

①字母顺序确定法：

根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：

公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：

两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。

（5）对应边（角）与对边（角）的区别：

对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。

对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。

易错提示：

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。

3.全等三角形的性质

性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

还具备：

全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的_________、_________。

易错提示：

周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。

参考答案

1.完全重合形状相同大小相等

2.完全重合形状相同大小相等DEDFEF对应边（角）位置关系

3.周长相等面积也相等

1.全等三角形对应角相等,对应角相等

【例1】如图是“人”字形屋梁，AB＝AC．现在要在水平横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直”的要求吗？

为什么？

【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD．

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠ADB＝∠ADC.

又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∴AD⊥BC．

练1.如图所示，已知：

A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：

AB∥DE.

【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：

∠A＝∠D，即可证明AB∥DE．

证明：

∵AF＝DC，

∴AF－CF＝DC－CF．

∴AC＝DF．

在△ABC与△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

∴∠A＝∠D．

∴AB∥DE．

练2.已知：

如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：

∠C＝∠A.

【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS）．

∴∠C＝∠A．

练3.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：

∠A＋∠D＝180°.

【解析】证明：

连接AC，在△ADC与△CBA中，

∴△ADC≌△CBA（SSS），

∴∠ACD＝∠CAB，

∴AB∥CD，

∴∠A＋∠D＝180°．

【例2】如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（　　）

A．40°B．35°C．30°D．25°

【解析】：

∵∠B=80°，∠C=30°，

∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，

∵△ABC≌△ADE，

∴∠DAE=∠BAC=70°，

∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，

=70°-35°，

=35°．

答案：

B

练4.如图，若△ABC≌△AEF，则对于结论：

（1）AC=AF；

（2）∠FAB=∠EAB；（3）EF=BC；（4）∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】∵△ABC≌△AEF，

∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故

（1）（3）正确，

∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，

即∠EAB=∠FAC，故（4）正确，

只有AF平分∠BAC时，∠FAB=∠EAB正确，故

（2）错误．

综上所述，正确的是

（1）（3）（4）共3个．

答案：

C

【例3】.如果△ABC≌△ADC，AB=AD，∠B=70°，BC=3cm，那么∠D=______，DC=________．

【解析】：

∵△ABC≌△ADC，

∴∠D=∠B=70°，

DC=BC=3cm．

答案：

70°；3cm

练5.如图，如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm，EF=13cm，∠E=∠B，则AC=____cm.

【解析】：

DF=32-DE-EF=10cm．

∵△ABC≌△DEF，∠E=∠B，

∴AC=DF=10cm．

练6．（2018秋•涞水县期末）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）

A．50°B.30°C．80°D．100°

【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D=∠B=30°．

解：

∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，

∴△AOD≌△COB（SAS），

∴∠D=∠B=30°．

故选B．

【例4】如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，求∠C的度数。

【解析】：

∵△OAD≌△OBC，

∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD，

∵∠0=65°，

∴∠OBC=180°-65°-∠C=115°-∠C，

在四边形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，

∴65°+115°-∠C+135°+115°-∠C=360°，

解得∠C=35°

答案：

∠C=35°

练7.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．

【解析】：

∵∠A=30°，∠B=50°，

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC，

∴EF-CF=BC-CF，即EC=BF，

∵BF=2，

∴EC=2．

答案：

∠DFE=100°；EC=2．

【例5】（2017凉山州一中月考）若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=（）

A、55B、45C、30D、25

【解析】三角形全等的性质：

周长相等，对应边相等。

∵△ABC≌△DEF

∴EF=BC=25

∴AC=100-AB-BC

=45

答案：

B

练8.（2017鹰潭一中月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，∠CFD=______°

【解析】∵△ABC≌△ADE

∴∠DAE=∠BAC=（120º-10º）/2=55º

∴∠CFA=180º-30º-10º-55º

=95º

∴∠CFD=180º-∠CFA=85º

答案：

85º

总结：

全等三角形对应角相等，三角形内角和180º的性质，互为补角的两个角和为180º.

【例6】（2018湖北新县大王镇中学期中）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=30°，则∠ADC的度数为（）

A.160°

B．110°C．140°D．120°

【解析】∵△ABD≌△CBD

∴∠ABD=∠CBD=30º

∵∠A=80°

∴∠C=80º

∴∠ADC=360º-30º-80º-80º=170º

练9.如图：

△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___________．

【解析】∵△ABC≌△DEF

∴∠E=∠B=50º

答案：

50º

练10.（2017镇江枫叶国际学校月考）如图，已知△ABC≌△DEF,∠A=55°，∠E=50°，BC=10，CE=7，则∠D=；∠2=；CF=.

【解析】

∵△ABC≌△DEF

∴∠D=∠A=55º

∠1=180º-∠D-∠E=75º

EF=BC

∴CF=EF-CE=3

答案：

55º75º3

1．（2018-2017北京七中第一学期期中）如图,已知△ABC的六个元素,则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

2.（2018-2017北京市第三十一中第一学期期中考试）如图所示，a,b,c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　）

3.（2018-2017北京市第四十四中学第一学期期中）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）

A.30°B.65°C.40°D.85°

4.如图所示，△AOB≌△COD，∠AOB=∠COD，∠A=∠C，则∠D的对应角是_______，图中相等的线段有___________．

5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB，A′在x轴上，则点B′的坐标是__________．

6.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是____cm．

7.在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标___________．

8.如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠A=∠D=80°，∠ABC=60°，则∠BEC等于___________.

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一、选择题

1.（2017太原一中月考）如图1，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（　　）

A.20°B．30°C．35°D．40°

2．（2018铜仁地区五中期末）如图2，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2018黑龙江齐齐哈尔一中期末）如图3，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）

A.15°B．20°C．25°D．30°

图1图2图3

4.（2018-2017北京市第四十一中学第一学期期中）已知：

如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A．DBB．BCC．CDD．AD

图4图5

5．已知：

如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A．DBB．BCC．CDD．AD

二、填空题

6．（2018-2017北京市第四十一中学第一学期期中）如图6，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°

图6

7.全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．

8．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．

图9

9．如图9所示，ΔABC≌ΔDCB．

（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____

（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；

（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．

图10

10．如图10，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.5cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．

11．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。

12．下列命题中，真命题的个数是（）

①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等

A．4B．3C．2D．1

13．如图13，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）

A．6B．5C．4D．无法确定

图13图14图15

14．如图14，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）

A．∠ACBB．∠CAFC．∠BAFD．∠BAC

15．如图15，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）

A．40°B．35°C．30°D．25°

二、填空题

16．如图16，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

17．已知：

如图17所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

图17图16图18

18．已知：

如图18，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．

（1）求∠F的度数与DH的长；

（2）求证：

AB∥DE．

参考答案

当堂检测

1.B2.B3.A4.∠OBA，OA=OC、OB=OD、AB=CD

5.（3,-2）

6.6

7.（1，5）或（1，-1）或（5，-1）

8.100°

家庭作业

1.B2.B3.D4.C5.C

6.21.54825

7.相等相等

8.DEDF∠F∠ABC

9.78º68ºAB=DCBC=CBAB=DCAO=DOBO=CO

10.21.548º25º

11.位置形状和大小

12.B13.B14.C15.B

16.70º

17.∵RT△EBC旋转得到RT△ABD,

∴∠ADB=∠ECB

∵∠E=35º

∴∠ADB=90º-35º=55º

18.

（1）∵△ABC≌△DEF

∴∠F=∠ACB=180º-∠A-∠B

=180º-85º-60º=35º

DE=AB=8

∵EH=2

∴DH=DE-EH=6

（2）∵△ABC≌△DEF

∴∠ABC=∠EBF

∴AB‖DE