引领一 命题有纲数学核心素养与高考命题.docx

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引领一命题有纲数学核心素养与高考命题

第一部分二轮复习提纲挈领

　引领一　命题有纲——数学核心素养与高考命题　

教育部考试中心在2018年高考考试大纲中，着重明确了高考“考什么”，即：

必备知识、关键能力、学科素养、核心价值。

教育部发布了《普通高中课程方案和各科课程标准》，此次课程标准的修订力度较大，并首次提出凝练“学科核心素养”。

可以预见，对学科核心素养的考查，将是今后高考的重要内容。

那么，高考数学科目的核心素养是什么？

它们在高考试题中怎样呈现和考查？

对复习备考有哪些要求？

这是我们关注的重点内容

一、数学核心素养是什么

数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析。

主要表现在用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界。

1．数学抽象

舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。

主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

具体表现：

①形成数学概念与规则；②形成数学命题与模型；③形成数学方法与思想；④形成数学结构与体系。

2．逻辑推理

从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。

主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从大范围成立的命题推断小范围内成立的命题的推理，推理形式主要有演绎推理。

具体表现：

①发现和提出命题；②掌握推理的基本形式和规则；③探索和表述论证的过程；④构建命题体系；⑤表达与交流。

3．直观想象

借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。

主要包括利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

具体表现：

①利用图形描述数学问题；②利用图形理解数学问题；③利用图形探索和解决数学问题；④构建数学问题的直观模型。

4．数学建模

对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。

主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果。

具体表现：

①发现和提出问题；②建立模型；③求解模型；④检验结果和完善模型。

5．数学运算

在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。

主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果。

具体表现：

①理解运算对象；②掌握运算法则；③探索运算思想；④设计运算程序。

6．数据分析

从数据中获得有用信息，形成知识。

主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识。

具体表现：

①数据获取；②数据分析；③知识构建。

二、数学核心素养怎么考

1．数学抽象

通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养。

【例1】　（2018·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）。

若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A．－50B．0

C．2D．50

【命题立意】　本题主要考查函数的奇偶性和周期性，旨在考查学生探究数学本质的能力。

【解题思路】　解法一：

因为f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x），所以f（1＋x）＝－f（x－1），所以f（3＋x）＝－f（x＋1）＝f（x－1），所以T＝4，因此f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f

（1）＋f

（2），因为f（3）＝－f

（1），f（4）＝－f

（2），所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝0，因为f

（2）＝f（－2）＝－f

（2），所以f

（2）＝0，从而f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝f

（1）＝2。

故选C。

解法二：

由题意可设f（x）＝2sin

，作出f（x）的部分图象如图所示。

由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2，故选C。

【答案】　C

（1）若函数f（x）的图象有两个不同的对称中心，分别为（a,0），（b,0），则2|b－a|为函数f（x）的周期。

（2）若函数f（x）的图象有两条不同的对称轴，分别为直线x＝a，直线x＝b，则2|b－a|为函数f（x）的周期。

（3）若函数f（x）的图象有一个对称中心（a,0），一条对称轴为直线x＝b，且a≠b，则4|b－a|为函数f（x）的周期。

2.逻辑推理

通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养。

【例2】　（2018·全国卷Ⅰ）已知双曲线C：

－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N。

若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A．

B．3

C．2

D．4

【命题立意】　本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算。

【解题思路】　因为双曲线

－y2＝1的渐近线方程为y＝±

x，所以∠MON＝60°。

不妨设过点F的直线与直线y＝

x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F（2,0），所以直线MN的方程为y＝－

（x－2），由

得

所以M

，所以|OM|＝

＝

，所以|MN|＝

|OM|＝3，故选B。

【答案】　B

破解此类题的关键：

一是会“用图”，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁，如本题，观察图形，快速寻找直角三角形中直角的位置；二是运算准确，求解圆锥曲线试题运算要准确。

3．直观想象

通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养。

【例3】　（2018·全国卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示。

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2

B．2

C．3D．2

【命题立意】　本题主要考查三视图及最短路径问题，考查考生的运算求解能力与空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象。

【解题思路】　由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16。

画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为

＝

＝2

。

故选B。

【答案】　B

4.数学建模

通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果，以此考查数学建模素养。

【例4】　（2018·北京高考）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。

十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

。

若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）

A．

fB.

f

C.

fD.

f

【命题立意】　本题以音律体系中的“十二平均律”为背景，有机的将我国古代音律方面的成就与数学中的等比数列结合在一起，考查考生的阅读理解能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学建模。

【解题思路】　从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为

的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为

a8＝f·（

）8－1＝

f，故选D。

【答案】　D

5．数学运算

通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养。

【例5】　（2018·全国卷Ⅲ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）

A．a＋b

C．a＋b<0

【命题立意】　本题主要考查对数运算以及不等式的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算。

【解题思路】　因为a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以

＝log0.30.2，

＝log0.32，所以

＋

＝log0.30.4，所以0<

＋

<1，即0<

<1，又因为a>0，b<0，所以ab<0，即ab

故选B。

【答案】　B

6．数据分析

通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养。

【例6】　（2018·全国卷Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图。

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。

根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17）建立模型①：

＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，7）建立模型②：

＝99＋17.5t。

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？

并说明理由。

【命题立意】　本题主要考查线性回归模型、折线统计图，意在考查数据处理能力、运算求解能力、图形的识别能力。

考查的核心素养是数据分析。

【解题思路】　

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）。

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）。

（2）利用模型②得到的预测值更可靠。

理由如下：

a．从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。

2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠。

b．从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。

以上2种理由，答出其中一种或其他合理理由均可。

三、复习备考有哪些要求

1．要重视基本概念的复习

从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，这是提升数学素养的必要条件。

在概念复习中要避免模式化，避免机械套用有关结论。

2．要重视基本定理、公式的复习

很多学生存在重应用轻推导的现象，就是只重视定理公式的应用，而忽视公式的推导、定理的证明。

事实上，重视公式的推导、定理的证明，不仅有利于理解与掌握定理和公式，理解公式之间的相互关系，而且还可以进一步挖掘公式中蕴含的数学思想，从而成为我们解决有关问题的敲门砖。

3．要重视基本技能的复习

基本技能是数学基础知识的重要组成部分，在数学建模、数学运算以及数据分析等核心素养中都有它的影子，也是历年高考考查的重点。

对基本技能的复习，主要包括掌握入手点、了解隐藏点与熟悉易错点。

4．要重视数学本质

数学核心素养中的数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学知识的产生、发展、应用的全过程中。

导数既是函数的一个重要概念，同时也是研究函数性质，解决函数有关问题的一个重要工具。

复习中不仅仅要重视导数的概念、运算以及应用，还要突出导数的工具性，突出导数在研究函数的有关性质、解决函数有关问题时的工具作用。

5．要重视中国古代数学文化

近几年的高考试题增加了对中国传统文化进行考查的内容，将中国古代文明作为试题背景材料，体现中国传统文化对人类发展和社会进步的贡献。

这类题目虽然难度不大，但是立意新颖，富有创新精神，特别是巧妙地利用我国优秀的传统文化设计试题，不仅使学生对我国的传统文化有所了解，同时也考查了学生的各种能力，如阅读能力、思维能力、运算能力、数据处理能力等，很好地渗透了数学的核心素养。