立体几何好题及答案.docx
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立体几何好题及答案
高三数学·单元测试卷（九
第九单元[简单几何体],交角与距离
（时量:
120分钟150分
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有
A.18对B.24对C.30对D.36对
2..一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为
A.π28B.π8C.π24D.π4
3.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为
A.V6
B.V4
C.V3
D.V2
4.如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为
A.3
2B.
3
3
C.
3
4
D.32
5.设α、β、γ为平面,lnm、、为直线,则β⊥m的一个充分条件是
A.lml⊥=⋂⊥,,βαβαB.γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC.αγβγα⊥⊥⊥m,,
D.αβα⊥⊥⊥mnn,,
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D的中心,则O到平面ABC1D1的距离为
A.12B.4
C.2D.2
7.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有
A.3个
B.4个
C.6个
D.7个
8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB、C1D1的中点,则直线A1B1与平面A1ECF
所成角的正弦为
A.
63B.3C.6D.2
9.在空间直角坐标系O—xyz中,有一个平面多边形,它在xOy平面的正射影的面积为8,
在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6,则这个多边形的面积为A.246
B.
C.2
D.34
10.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为
A.
3
623+B.2+
3
62C.4+3
62D.
3
6
234+
答题卡
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在横线上.11.正三棱锥P-ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上,若正三棱锥的侧棱长为2,则正三棱锥的底面边长是_____________.12.如图,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°且PA=AB=BC=a,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________.
13.已知球面上A、B两点间的球面距离是1,过这两点的球面半径的
夹角为60°,则这个球的表面积与球的体积之比是
.
14.下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是______________（写出所有真命题的编号.
15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,则
①四边形BFD1E一定是平行四边形②
四边形BFD1E有可能是正方形
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D
以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本题满分l2分
在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.（Ⅰ证明AB⊥平面VAD.
（Ⅱ求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
17.（本题满分12分
如图1,已知ABCD是上、下底边长分别是2和6,高为3的等腰梯形.将它沿对称轴
OO1折成直二面角,如图2.
（Ⅰ证明AC⊥BO1;
（Ⅱ求二面角O-AC-O1的大小.
18.（本题满分14分
如图,在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,BC=2.（1求证:
平面PDC⊥平面PAD;
（2若E是PD的中点,求异面直线AE与PC所成角的余弦值;
（3在BC边上是否存在一点G,使得D点到平面PAG的距离为1,若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.
B
O1
C
D
E
19.（本题满分14分
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与AB、AC均成45°角,且A1E⊥B1B于E,A1F⊥CC1于F.⑴求证:
平面A1EF⊥平面B1BCC1;⑵求直线AA1到平面B1BCC1的距离;⑶当AA1多长时,点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
20.（本题满分14分
如图直角梯形OABC中,∠COA
=∠OAB=
2
π
OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,
SO=1,以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.
⑴求SCOBα
与的夹角的大小（用反三角函数表示;
⑵设:
,,,1（求平面满足SBCnqpn⊥=①;n
的坐标
②OA与平面SBC的夹角β（用反三角函数表示;
③O到平面SBC的距离.
⑶设:
.,,1（填写且满足OBkSCksrk⊥⊥=
①的坐标为k
②异面直线SC、OB的距离为.（注:
⑶只要求写出答案
B
C
A1F
21.（本题满分14分
直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=a,∠BCA=90°,AA1=2a,M、N分别是A1B1、AA1的中点.（I求BN的长;
（II求cos〈11,CBBA〉;
（III求证:
A1B⊥C1M.
[简单几何体],交角与距离参考答案
一、选择题
三、解答题
16.证明:
（Ⅰ作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.…………………………1分建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,…………………………2分
则A（
12
0,0,B（
12
1,0,C（-
12
1,0,D（-
12
0,0,V（0,02
∴1（0,1,0,（1,0,0,（,0,
22ABADAV=
==-
………………………………3分
由（0,1,0（1,0,00ABADABAD⋅=⋅=⇒⊥
……………………………………4分1（0,1,0（,0,022
ABAVABAV⋅=⋅-=⇒⊥……………………………………5分
又AB∩AV=A
∴AB⊥平面VAD…………………………………………………………………………6分
（Ⅱ由（Ⅰ得（0,1,0AB
=
是面VAD的法向量………………………………
7分设（1,,
nyz=
是面VDB的法向量,则
110（1,,（,1,0（1,
2230（1,,（1,1,003xnVByznznBDyz=-⎧⎧⎧⋅=⋅--=⎪⎪⎪
⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-⋅=⎪⎪⎪⎩
⋅--=⎩⎩
……9分∴（0,1,0（1,1,
cos,7
3
ABn⋅-<>=
=-
……………………………………11分
又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos7
…………12分
17.解法一（I证明由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,
即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
如图3,则相关各点的坐标是A（3,0,0,B（0,3,0,C（0,1,3O1（0,0,3.
从而.0333,3,3,0（,3,1,3（11=⋅
+-=⋅-=-=BOACBOAC
所以AC⊥BO1.
（II解:
因为,03331=⋅+
-=⋅OCBO所以BO1⊥OC,
由（IAC⊥BO1,所以BO1⊥平面OAC,1BO是平面OAC的一个法向量.设,,（zyxn=是0平面O1AC的一个法向量,
由,3.
0,0330
01=
⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅zyzyxCOnACn取
得3,0,1（=n.
设二面角O—AC—O1的大小为θ,由n、1BO的方向可知=<θn,1BO>,
所以cos<=cosθn,1BO.431=
即二面角O—AC—O1的大小是.4
3arccos
解法二（I证明由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB角,即OA⊥OB.从而AO⊥平面OBCO1,OC是AC在面OBCO1内的射影.因为tan
1
1=
=
∠OOOBBOO
3
3tan1
11=
=∠OOCOOCO,
所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II解由（IAC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC.设OC∩O1B=E,过点E作EF⊥AC于F,连结O1F（如图4,则EF是O1F在平面AOC内的射影,由三垂线定理得O1F⊥AC.所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.由题设知OA=3,OO1=3,O1C=1,
所以,322
1212
12
1=+=
=+=C
OAOACOOOA
AO,
从而32111=⋅=
AC
C
OAOFO,又O1E=OO1·sin30°=
2
3,
图3
B
O1图4
所以.4
sin111=
=
∠F
OEOFEO即二面角O—AC—O1的大小是.4
3arcsin
18.解:
以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A（0,0,0,B（1,0,0,C（12,0,,D（0,2,0,E（0,1,1
2,P（0,0,
1.
∴CD=（-1,0,0,AD=（0,2,0,AP=（0,0,1,AE=（0,112
PC=（1,2,-1,
（100CDADCDADCDPADCDAPCDAPCDPDCAPADA⎫=⇒⊥⎪⊥⎫
⎪=⇒⊥⇒⇒
⎬⎬⊂⎭
⎪
=⎪⎭
平面平面平面PDC⊥平面PAD.……5分
（2∵cos,||||
AEPC
AEPCAEPC〈〉=
=2121
4
·610,∴所求角的余弦值30
10
9分（3假设BC边上存在一点G满足题设条件,令BG=x,则G（1,x,0,作DQ⊥AG,
则DQ⊥平面PAG,即DQ=1.∵2S△ADG=S矩形ABCD,∴||||||||AGDQABAD=
=2
∴||AG
=2,又AG=+1,∴x,
故存在点G,当BG时,使点D到平面PAG的距离为1.…………………………14分19.解:
⑴CC1∥BB1,又BB1⊥A1E,∴CC1⊥A1E,而CC1⊥A1F,∴CC1⊥平面A1EF,∴平面A1EF⊥平面B1BCC1………………………………………………………………4分⑵作A1H⊥EF于H,则A1H⊥面B1BCC1,∴A1H为A1到面B1BCC1的距离,在△A1EF中,A1E=A1F=,EF=2,∴△A1EF为等腰Rt△且EF为斜边,∴A1H为斜边上中线,可得A1H=1
2=1…………………………………………………………………………9分
⑶作A1G⊥面ABC于G,连AG,则A1G就是A1到面ABC的距离,且AG是∠BAC的角平分线,A1G=1…………………………………………………………………………12分∵cos∠A1AG=
cos45°cos30°3sin∠A1AG=3A1A=1
3
3
=1………………14分
20.解:
（Ⅰ如图所示:
C（2,0,0,S（0,0,1,O（0,0,0,B（1,1,05
arccos
5
252,cos0,1,1（,1,0,2（==
⋅
>=
<∴=-=∴αOBSCOBSC………………………………………………………4分
（Ⅱ①SBCnCBSB⊥-=-=0,1,1（,1,1,1（
,10
10,:
1,2,（1,1,2
nSBnCBnSBpqnCBppqn∴⊥⊥∴⋅=+-=⋅=-+===∴=
解得……………………………………………………………………………7分
②SOEBCEBCOEO面则于作过⊥⊥,,SABSOE⊥∴
,,,2,SEOOHSEHOHSBCOACBFOFFHOFHOESE⊥⊥=∠=
∴=
又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求又
3sin3
26
arcsin106
SOOEOHSE
ββ⋅∴=
=
=
∴=
=∴=分
③的坐标为
k（1,1,2-;3
6=
OH
……………………………………14分.
21.以C为原点建立空间直角坐标系
（IB（0,a,0,N（a,0,a,
∴aaaaBN3
0（0（0（||2
2
2
=-+-+-=
.4分
（IIA1（a,0,2a,C（0,0,0,B1（0,a,2a,∴1BA=（a,-a,2a,1CB=（0,a,2a,
∴1BA·1CB=a×0+（-a×a+2a×2a=3a2
5分
|1BA|=aaaa62（（2
2
2
=
+-+,|1CB|=aaa52（02
2
2
=++,7分
∴cos〈11,CBBA10
3056311=
⋅
=
.9分（IIIC1（0,0,2a,M（2
a,2
a,2a,∴MC1=（
2
a,
2
a,0,BA1=（-a,a,2a,
∴BA1·MC1=（-a×
2
a+a×
2
a+2a×0=0,∴BA1⊥MC1,∴A1B⊥C1M.14分
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