初中数学章三角形的证明.docx
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初中数学章三角形的证明
第一章三角形的证明
第1课时
授课时间2016年1月30日第1周
教学内容：
1.1、等腰三角形
（1）
教学目标：
1、知识目标：
了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
结合实例体会反证法的含义。
3、情感目标：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
教学重点：
了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：
能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。
教学方法：
观察法。
教学过程：
一、复习：
1、什么是等腰三角形？
2、你会画一个等腰三角形吗？
并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？
二、新课讲解：
1、在《证明
（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
同学们和我一起来回忆上学期学过的公理
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;
♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）
♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）
♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）
♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
2、等腰三角形知识点回顾
（1）如图1、2，在△ABC中，AB=AC，则顶角为，底角为，腰为，底边为。
（2）AD是△ABC的中线，则；AD是△ABC的角平分线，则；AD是△ABC的垂线，则；
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。
请找出所有的等腰三角形。
3、处理议一议
等腰三角形（包括等边三角形）的性质，学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考察哪些能够立即证明。
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
我们如何验证这个命题成立呢？
我们以前是用度量、折纸的方法得到的，但要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的。
那么，我们应该如何证明呢？
这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路。
4、证明定理：
已知，如图，在△ABC中，AB=AC。
求证：
∠B=∠C。
分析：
要想证明∠B=∠C，根据以前所学的证明方法，只需证明分别包括∠B和∠C的两个三角形全等。
但图中只有一个三角形。
我们应该如何作辅助线呢？
引导学生作出辅导线，得出证明过程。
发散学生思维，让学生找出其它的证明方法。
强调要写“在两个三角形中”，不要写大括号。
除了作顶角的平分线还可以怎样作辅助线？
为什么我们所作的三条辅助线，从位置上看都是同一条线？
顶角的平分线底边上的中线底边上的高
处理想一想
应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论。
这一结论通常简述为“三线合一”。
5、如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，若∠C=29°，求∠A。
分析：
这是对等腰三角形性质的应用，由让学生从问题出发，逐步得出解题过程。
6、如图，AB=AD，BD平分∠ABC。
求证：
AD∥BC。
分析：
此例可先让学生独立完成，再适当提点。
三、练习
（1）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为。
等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为。
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，
且DE⊥AB，DF⊥AC。
求证：
∠1=∠2。
（3）课本P3-4随堂练习
四、课堂小结
这节课，我们学习了四条公理、一个推论和一条定理。
在具体应用时，我们要灵活运用，突破图形关，这样才算真正理解。
要熟记等腰三角形的性质定理和推论，在题目中看到是等腰三角形，要马上想到“等边对等角”。
五、课堂作业
课本P4习题1.11、2、3、4、6
课后反思
第2课时
授课时间2016年1月31日第1周
教学内容：
1.1、等腰三角形
（2）
教学目标：
1、知识目标：
能够用综合法证明等腰三角形的判定定理。
能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等。
了解反证法的推理方法。
会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明问题。
2、能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
，并由特殊结论归纳出一般结论。
3、情感目标：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
教学重点：
正确叙述结论及正确写出证明过程。
熟悉作为证明基础的几条公理的内容，通过学习，掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：
等腰三角形的定理应用及由特殊结论归纳出一般结论。
教学方法：
探究式教学法自主探究与合作探究
教学过程：
一、情境导入：
1、从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。
其实等腰三角形还有很多性质，你还能发现其中一些相等的线段吗？
你能证明它们吗？
2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AC，∠BAC=100°。
求∠1、∠3、∠B的度数。
二、新课讲解
1、引导探索：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高线又具有怎样的性质呢？
（提出问题，激发学生探究的欲望。
学生猜想）
2、探究中发现：
在等腰三角形中做出两底角的平分线，你会发现图中有那些相等的线段？
你能用文字叙述你的结论吗？
（学生动手画图、探索发现相等的线段并思考为什么相等）
E
3、证明：
（1）例1证明：
等腰三角形两底角的平分线相等。
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证。
）
已知：
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE是△ABC的角平分线。
求证：
BD＝CE（学生口述证明过程，然后写出证明过程。
）
证明：
见课本p5
此题还有其它的证法吗？
（2）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？
高呢？
（引导学生分清条件和结论、画图、写出已知、求证并证明。
其它证法合作交流完成。
）
4、议一议：
在上图的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC,∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE吗？
如果∠ABD＝1/4∠ABC,∠ACE＝1/4∠ACB呢？
由此你能得到一个什么结论？
如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB,那么BD＝CE吗？
如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？
由此你能得到一个什么结论？
（根据图形引导学生分析归纳得出一般结论。
学生分组思考、交流，在充分讨论的基础上得出一般结论写出证明过程。
）
5、想一想
探索并证明等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°
三、随堂练习：
1、已知：
在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC
求证：
DB=DE
（引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。
）
2、课本P6随堂练习1、2
四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
五、作业：
课本P7习题1.21、2、3。
课后反思
第3课时
授课时间2016年2月1日第1周
教学内容：
1.1、等腰三角形（3）
教学目标：
1、知识目标:
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
能够用综合法证明等腰三角形的判定定理；体会反证法的含义。
2、能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。
提高证明能力，归纳总结能力。
3、情感目标：
培养学生独立思考、勇于创新的精神，培养学生逆向思维的思维方式，是学生能从不同的角度去看待世界。
教学重点、难点：
关于综合法在证明过程中的应用。
教学过程：
C
一、温故知新
1、已知：
∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E
（1）找出图中的等腰三角形
（2）BD,CE,DE之间存在着怎样的关系？
（3）证明以上的结论。
二、新课讲解
1、探索问题：
①一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
②你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？
你能证明你的思路吗？
（把你的思路与同伴进行交流。
）
2、定理：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
做一做：
用两个含30°角的三角尺，能拼成一个怎样的三角形？
能拼成一个等边三角形吗？
说说你的理由。
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
能证明你的结论吗？
（提示学生根据两个三角尺拼出的图形发现结论，并证明）
A
证明：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）
∴△ABD是等边三角形
∴BC=
BD=
AB
结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、复习关于反证法的相关知识《李子不好吃》
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。
小朋友问他为何不去摘，他说：
“树长在路边，若李子好吃，早就没了！
但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。
”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法步骤：
假设：
假设命题的结论不成立
归谬：
从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果
结论：
由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
讲解例题一个三角形中不能有两个直角。
分析：
按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后从这个假定出发推下去，找出矛盾。
证明：
假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，即∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C=180°+∠C>180°。
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立
所以一个三角形中不能有两个角是直角
4、
（1）把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。
我每天工作不超过24小时；
我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；
初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；
三角形中必有一个内角不少于60度；
一个三角形中不能有两个角是钝角；
垂直于同一条直线的两条直线平行。
分析：
通过练习让学生进一步熟悉反证法的第一步骤。
C
（2）证明：
在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
（进一步巩固学习证明的基本步骤和书写格式）
5、例题学习
等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高。
已知：
在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
度，CD是腰AB上的高。
求：
CD的长
解：
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=
AC=
×2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
三、练习：
1、课本随堂练习1
2、如图，在
中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。
求证：
△EBD是等腰三角形。
四、课堂小结：
通过这节课的学习你学到了什么知识？
了解了什么证明方法？
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理
五、作业：
习题1.31、2、3题
课后反思
第4课时
授课时间2016年2月2日第1周
教学内容：
1.1、等腰三角形（4）
教学目标
1、知识目标:
掌握证明与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理。
借助等腰三角形的判定定理；解决实际问题结合实例。
2、能力目标：
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，提高学生证明能力
3、情感目标：
培养学生独立思考、勇于创新的精神，加强学生的应用意识。
教学重点：
等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质
教学难点：
运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题
教学方法：
观察实践法，自主探究法，讲练结合法，
教具准备：
两个等边三角形
教学过程：
一、情境导入
从学生原有的认知结构提出问题
如图1，BC=AC，若______，则△ABC是等边三角形。
二、新课讲解
1、这节课，我们来继续研究一种非常特殊的三角形——等边三角形。
从刚才的引例中得出等边三角形的判定
让学生首先考虑一个问题：
（1）一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形
∵AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形
（2）一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形
有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
或
∵AB=AC，∠B=60°∵AB=AC，∠A=60°
∴△ABC是等边三角形∴△ABC是等边三角形
（3）等边三角形的性质：
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是60°、三边相等的特殊性质。
2、巩固练习
（1）如图2，AB=AC，BC⊥AD，BD=4，若AB=_____，则△ABC是等边三角形。
（2）如图3，AB=AC，AD是△ABC的一条中线，AB=5，若BD=，则△ABC是等边三角形。
（3）已知：
如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。
求证：
△ADE是等边三角形
分析：
判断一个三角形是等边三角形，必须满足的条件都具备了，那么它就是等边三角形。
证明的方法有多种，让学生把它们的想法都演示出来。
3、讲解例题：
如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，
∠1=∠2。
求证：
△ADE是等边三角形。
分析：
此例题相对较难，要引导学生找对
解题思路，缺什么，补什么。
4、直角三角形的特殊性质
（1）直角三角形有什么性质？
有什么特殊性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这个定理成立的条件有两个：
其一，必须是直角三角形；其二，有一个锐角等于30。
在这两个条件同时具备的前提下，结论才能成立。
我们以前都是证明两线段相等或平行，而这个定理就可以用来证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。
因此，我们以后若遇到要证明两线段不是相等，而是两倍或一半关系时，我们就要很自然地想到用这个定理来证明。
（2）巩固练习
如图，在Rt
中，（∠B=30°），AC=6cm，则AB=____；若AB=7，则AC=_____。
如图，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD=_______。
（3）讲解例题如图，在Rt
中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长。
分析：
这里要运用上面的性质两次。
解题时要注意让学生找出一些角的度数。
三、随堂练习
已知：
中，
，
，
，
AB=40，求DB的长。
四、课堂小结
本节课所学的内容比较多，证明三角形是等边三角形时要抓住它的判定定理；证明线段的两倍或一半关系时，往往要用到直角三角形的这个性质。
五、课后作业
习题1.41、2、3
课后反思
第5课时
授课时间2016年2月3日第周
教学内容：
1．2直角三角形
（1）
教学目标：
1、知识目标:
能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理，并能解决实际问题。
进一步掌握推理证明的方法。
2、能力目标：
培养学生独立思考、勇于创新能力，引导学生探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。
3、情感目标：
启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系。
教学重点：
直角三角形全等“HL”判定定理
教学难点：
从图中找出隐含条件证明“HL”定理的思路的探究和分析
教学过程：
一、复习提问
1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
如果其中一个角是直角呢？
请证明你的结论。
二新课讲解
1、两边及其一个角对应相等的两个三角形全等吗？
如果相等说明理由。
如果不相等，应如何改变条件？
此定理适用于什么样的三角形？
2、定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（“斜边、直角边”或“HL”）
已知：
如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，
求证：
△ABC≌△A’B’C’
证明：
Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，
∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC2=BC2-AB2,A’C’2=B’C’2-A’B’2
∵AC2=A’C’2∴AC=A’C’
∴△ABC≌A’B’C’（SSS）
判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？
（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。
）
3、
B
做一做
如图利用刻度尺和三角板，能否做出这个角的角平分线？
并证明。
三、随堂练习
判断命题的真假，并说明理由
1、锐角对应相等的两个直角三角形全等。
2、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
3、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。
（对于假的命题要举出反例，真命题要说明理由。
）
D
四、议一议
如图：
已知∠ACB=∠BDA=90。
要使⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么条件？
把他们写出来，并说明理由。
（给予学生时间和空间，鼓励学生
积极思考，并在独立思考的基础上，通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。
）
五、练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，
求证：
AD是∠BAC的角平分线。
分析：
这是利用“HL”证明两个直角三角形
全等，隐含了一条公共边。
六、小结：
本节课学习了哪些知识？
还有那一些方面的收获？
直角三角形的判定方法有五种，“HL”只适用于直角三角形；证明方法的多样性，
七、作业：
习题1.51、2、3
课后反思
第6课时
授课时间2016年2月日第周
教学内容：
1．2直角三角形
（2）
教学目标：
1、知识目标:
。
了解勾股定理及其逆定理的证明方法，结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2、能力目标：
提高证明能力，提高应用能力
3、情感目标：
加强交流合作意识，关注知识之间的联系。
发展演绎推理能力
教学重点：
勾股定理及其逆定理，进一步掌握演绎推理的方法。
教学难点：
结合具体例子了解逆命题的概念
教学方法：
观察实践法，讲练结合法。
教学过程：
一、温故知新
1、你记得勾股定理的内容吗？
你曾经用什么方法得到了勾股定理？
（由学生回顾得出勾股定理的内容。
）
定理：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、新课讲解
1、问题情境：
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？
（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。
）
已知：
如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：
△ABC是直角三角形。
证明：
作出Rt△A’B’C’，使∠A=90°，A’B’=AB，A’C’=AC，则
A’B’2+A’C’2=B’C’2（勾股定理）
∵AB2+AC2=BC2，A’B’=AB，A’C’=AC，
∴BC2=B’C’2
∴BC=B’C’
∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）
∴∠A=∠A’=90°（全等三角形的对应角相等）
因此，△ABC是直角三角形。
定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
练习：
如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。
2、议一议：
观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。
）
3、关于互逆命题和互逆定理。
（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
（2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
（引导学生理解掌握互逆命题的定义。
）
三、练习：
（1）课本16页随堂练习1、2、3
（2）如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，
求证：
BA∥DC。
分析：
利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据
同旁内角互补，两直线平行解决。
四、课堂小结：
本节课你都掌握了哪些内容？
勾股定理的逆定理的证明，互逆定理的定义及相互间的关系。
五、作业
P17-18页习题1.51、2、3、4、5。
读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。
第7课时
授课时间2016年2月日第周
教学内容：
1.3线段的垂直平分线
（一）
教学目标：
1、知识目标:
能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
2、能力目标：
经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
3、情感目标：
启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。
教学重点：
线段的垂直平分线性质与逆定理及其的应用
教学难点：
线段的垂直平分线的逆定理的理解和证明
教具准备：
圆规
教学过程：
一、回顾引入
1、垂直平分线的定义？
2、垂直平分线上的点有什么特征？
二、新课讲解
这节课，我们来研究线
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