初中数学 人教版八年级上学期期末专题复习 专题3全等三角形解析版.docx
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初中数学人教版八年级上学期期末专题复习专题3全等三角形解析版
人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习专题3:
全等三角形
一、单选题
1.已知△ABC≌△DEF,且AB=4,BC=5,AC=6,则DE的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不能确定
2.如图,用尺规作图作已知角平分线,其根据是构造两个三形全等,它所用到的判别方法是( )
A. SAS B. AAS C. ASA D. SSS
3.如图,已知A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,AC=DF,补充下列其中一个条件后,不一定能得到△ABC≌△DEF的是( )
A. BC=EF B. AC//DF C. ∠C=∠F D. ∠BAC=∠EDF
4.如图,BE⊥AC于点D,且AD=CD,BD=ED.若∠ABC=72°,则∠E等于( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
二、填空题
5.如图,在
中,
,
,
,
与
的关系是________.
6.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带第________块去。
7.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AB分别交这三条平行线于点A,B,C,CD平分∠BCE交l2于点D,若∠1=110°,则∠BDC的度数是________.
三、解答题
8.如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
AB∥DE.
9.如图,点B,E,F,C在一条直线上,AB=DC,BE=CF,∠B=∠C.求证:
∠A=∠D。
四、作图题
10.如图,已知△ABC,∠C=90°,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹);
(2)连结AD,若∠B=33°,则∠CAD=________°.
五、综合题
11.如图,AB=3,BC=8,AB⊥BC,l⊥BC于点C,点E从B向C运动,过点E作ED⊥AE,交l于D.
(1)求证:
∠A=∠DEC;
(2)当BE长度为多少时,△ABE≌△ECD?
请说明理由.
12.如图,OP平分∠AOB,PD⊥OB于D,∠OPD=60°,PO=4,则点P到边OA的距离是________.
13.如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90度,E是AB上一点,且AE=BC,∠1=∠2
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?
请说明理由;
(2)证明:
AB=AD+BC;
(3)△CDE是不是直角三角形?
请说明理由.
14.在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC外作∠ACM=
∠ABC,点D为直线BC上的动点,过点D作直线CM的垂线,垂足为E,交直线AC于F.
(1)①当点D在线段BC上时,如图1所示,求∠EDC的度数
②探究线段DF与EC的数量关系,并证明;
(2)当点D运动到CB延长线上时,请你画出图形,并证明此时DF与EC的数量关系.
答案解析部分
一、单选题
1.A
解:
∵△ABC≌△DEF,
∴DE=AB=4.
故答案为:
A.
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出DE=AB=4.
2.D
解:
由画法得OC=OD,PC=PD,
而OP=OP,
所以△OCP≌△ODP(SSS),
所以∠COP=∠DOP,
即OP平分∠AOB.
故答案为:
D.
【分析】根据作图过程可知:
OC=OD,PC=PD,又OP=OP,从而利用SSS判断出△OCP≌△ODP,根据全等三角形的对应角相等得出∠COP=∠DOP,即OP平分∠AOB,从而得出答案.
3.C
解:
∵BE=CF,
∴BE+EC=EC+CF,
即BC=EF,且AC=DF,
∴当BC=EF时,满足SSS,可以判定△ABC≌△DEF;
当AC//DF时,∠A=∠EDF,满足SAS,可以判定△ABC≌△DEF;
当∠C=∠F时,为SSA,不能判定△ABC≌△DEF;
当∠BAC=∠EDF时,满足SAS,可以判定△ABC≌△DEF,
故答案为:
C.
【分析】根据等式的性质,由BE=CF得出BC=EF,又AC=DF,故根据三角形全等的判定方法,补充的条件只要能得出BC=EF或∠A=∠EDF即可,从而即可一一判断得出答案.
4.B
∵AD=CD,BE⊥AC,
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=
×72°=36°,
在△ABD和△CED中,
,
∴△ABD≌△CED(SAS),
∴∠E=∠ABD=36°.
故答案为:
B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠CBD=
∠ABC=
×72°=36°,然后利用SAS判断出△ABD≌△CED,根据全等三角形的对应角相等得出∠E=∠ABD=36°.
二、填空题
5.
解:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵BF=CD,BD=CE,
∴△BDF≌△CED(SAS),
∴∠BFD=∠EDC,
∵α+∠BDF+∠EDC=180°,
∴α+∠BDF+∠BFD=180°,
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,
∴∠B=α,
∴∠C=∠B=α,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2α+∠A=180°,
∴
,
故答案为:
.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C,从而利用SAS判断出△BDF≌△CED,根据全等三角形的对应角相等得出∠BFD=∠EDC,根据平角的定义及三角形的内角和、等式的性质得出∠B=α,从而根据三角形的内角和即可得出
.
6.③
解:
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边,根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的;
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃。
应带③去.
故答案为:
③.
【分析】根据题意配制的三角形与原三角形应该全等,故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件,通过观察即可发现:
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
7.35°
解:
∵l1∥l3, ∴∠BCE=180°-∠1=180°-110°=70°,
∵CD平分∠BCE,
∴∠DCE=
∠BCE=35°,
∵l2∥l3,
∴∠BDC=∠DCE=35°,
故答案为:
35°.
【分析】由l1∥l3,则同旁内角互补求出∠BCE的度数,再由CD平分∠BCE,求出∠DCE, 从而由l2∥l3,两直线平行内错角相等求得∠BDC的度数.
三、解答题
8.解:
∵BE=CF,
∴BC=EF,
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
【分析】根据等式的性质,由BE=CF得出BC=EF,从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠DEF,进而根据同位角相等,二直线平行得出结论:
AB∥DE.
9.证明:
∵BE=CF,∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,
,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠A=∠D.
【分析】由AB=DC,推出BF=CE,然后利用边角边定理证明△ABF≌△DCE,则对应角∠A=∠D.
四、作图题
10.
(1)如图,点D即为所求;
(2)24
解:
(2)∵AD=BD,∠B=33°,
∴∠BAD=∠B=33°.
∵∠C=90°,
∴∠CAB=90°﹣33°=57°,
∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°.
故答案为:
24.
【分析】
(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可知点D一定在线段AB的垂直平分线上,又点D在BC上,故点D是线段AB垂直平分线与BC的交点,从而利用尺规作图法作出图形即可;
(2)根据等边对等角得出∠BAD=∠B=33°,根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB=57°,最后根据角的和差,由∠CAD=∠CAB﹣∠BAD算出答案.
五、综合题
11.
(1)证明:
∵AB⊥BC,
(2)解:
当BE=5时,
.理由如下:
∵BC=8,BE=5,
∴EC=3,
∴EC=AB.
∵AB⊥BC,l⊥BC,
在△ABE与△ECD中,
【分析】
(1)根据直角三角形的两锐角互余得出∠A+∠AEB=90°,根据平角的定义及角的和差得出∠AEB+∠DEC=90°,从而根据同角的余角相等得出∠A=∠DEC;
(2)当BE=5时,
.理由如下:
首先根据线段的和差及等量代换得出EC=AB=3,根据垂直的定义得出∠B=∠ECD=90°,从而利用ASA判断出△ABE≌△ECD.
12.2
解:
作PE⊥OA于E,
∵∠OPD=60°,PO=4,∴PD=
OP=2,∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=2.
故答案为:
2.
【分析】作PE⊥OA于E,根据三角形的内角和定理得出∠POD=30°,然后根据含30°直角三角形的边之间的关系得出PD=
OP=2,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PE=2.
13.
(1)解:
Rt△ADE与Rt△BEC全等,
证明:
∵∠1=∠2,
∴DE=CE,
∵∠A=∠B=90°,AE=BC,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)
(2)证明:
∵Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴AD=BE,
∵AE=BC,
∴AE+EB=AD+BC,
即AB=AD+BC.
(3)解:
∵Rt△ADE≌Rt△BEC,
∴∠AED=∠BCE,
∵∠AED+∠BEC= ∠BCE+∠BEC=90°,
∴∠DEC=90°.
∴△CDE是直角三角形
【分析】
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等,理由如下:
根据等角对等边得出DE=CE,从而利用HL即可判断出Rt△ADE≌Rt△BEC;
(2)根据全等三角形的对应边相等得出AD=BE,根据线段的和差及等量代换即可得出AB=AD+BC;
(3)△CDE是直角三角形,理由如下:
根据全等三角形的对应角相等得出∠AED=∠BCE,根据直角三角形的两锐角互余及等量代换得出∠AED+∠BEC=90°,根据平角的定义得出∠DEC=90°,故△CDE是直角三角形.
14.
(1)解:
①如图1所示:
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠ACM=
∠ABC=22.5°,
∴∠BCM=67.5°,
∵DE⊥CM,
∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°;
②DF=2CE.理由如下:
证明:
作∠PDE=22.5°,交CE的延长线于P点,交CA的延长线于N,如图2所示:
∵DE⊥PC,∠ECD=67.5°,
∴∠EDC=22.5°,
∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD,
∴PE=EC,
∴PC=2CE,
∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,
∴∠NCD=∠NDC,∠DNC=90°,
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC,
在△DNF和△PNC中,
,
∴△DNF≌△PNC(ASA),
∴DF=PC,
∴DF=2CE
(2)解:
DF=2CE;理由如下:
证明:
作∠PDE=22.5°,交CE的延长线于P点,交CA的延长线于N,如图3所示:
∵DE⊥PC,∠ECD=67.5,
∴∠EDC=22.5°,
∴∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD,
∴PE=EC,
∴PC=2CE,
∵∠NDC=45°,∠NCD=45°,
∴∠NCD=∠NDC,∠DNC=90°,
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC,
在△DNF和△PNC中,
,
∴△DNF≌△PNC(ASA),
∴DF=PC,
∴DF=2CE.
【分析】
(1)①如图1所示:
根据等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°, 故∠ACM=
∠ABC=22.5°,∠BCM=∠ACM+∠ACB=67.5°,进而根据直角三角形的两锐角互余算出∠EDC的度数;②DF=2CE.理由如下:
作∠PDE=22.5°,交CE的延长线于P点,交CA的延长线于N,如图2所示:
首先得出∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,根据三角形的内角和得出∠DPC=67.5°,然后根据等角对等边得出PD=CD,根据等腰三角形的三线合一得出PE=EC,即PC=2CE,然后利用ASA判断出△DNF≌△PNC,根据全等三角形的对应边相等得出DF=PC,故DF=2CE;
(2)DF=2CE;理由如下:
作∠PDE=22.5°,交CE的延长线于P点,交CA的延长线于N,如图3所示:
首先得出∠PDE=∠EDC,∠NDC=45°,根据三角形的内角和得出∠DPC=67.5°,然后根据等角对等边得出PD=CD,根据等腰三角形的三线合一得出PE=EC,即PC=2CE,然后利用ASA判断出△DNF≌△PNC,根据全等三角形的对应边相等得出DF=PC,故DF=2CE.