初中数学 人教版八年级上学期期末专题复习 专题3全等三角形解析版.docx
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初中数学人教版八年级上学期期末专题复习专题3全等三角形解析版
人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习专题3：
全等三角形
一、单选题
1.已知△ABC≌△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 不能确定
2.如图，用尺规作图作已知角平分线，其根据是构造两个三形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A. SAS B. AAS C. ASA D. SSS
3.如图，已知A,D,B,E在同一条直线上，且AD=BE,AC=DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC≌△DEF的是（ ）
A. BC=EF B. AC//DF C. ∠C=∠F D. ∠BAC=∠EDF
4.如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝72°，则∠E等于（ ）
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
二、填空题
5.如图，在
中，
，
，
，
与
的关系是________.
6.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第________块去。
7.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB分别交这三条平行线于点A，B，C，CD平分∠BCE交l2于点D，若∠1=110°，则∠BDC的度数是________．
三、解答题
8.如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：
AB∥DE.
9.如图，点B，E，F，C在一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：
∠A=∠D。
四、作图题
10.如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=33°，则∠CAD=________°.
五、综合题
11.如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动，过点E作ED⊥AE，交l于D.
（1）求证：
∠A=∠DEC；
（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？
请说明理由.
12.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，∠OPD=60°，PO=4，则点P到边OA的距离是________.
13.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？
请说明理由；
（2）证明：
AB＝AD＋BC；
（3）△CDE是不是直角三角形？
请说明理由.
14.在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC外作∠ACM=
∠ABC，点D为直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F.
（1）①当点D在线段BC上时，如图1所示，求∠EDC的度数
②探究线段DF与EC的数量关系，并证明；
（2）当点D运动到CB延长线上时，请你画出图形，并证明此时DF与EC的数量关系.
答案解析部分
一、单选题
1.A
解：
∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=4.
故答案为：
A.
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出DE=AB=4.
2.D
解：
由画法得OC=OD，PC=PD，
而OP=OP，
所以△OCP≌△ODP（SSS），
所以∠COP=∠DOP，
即OP平分∠AOB.
故答案为：
D.
【分析】根据作图过程可知：
OC=OD，PC=PD，又OP=OP，从而利用SSS判断出△OCP≌△ODP，根据全等三角形的对应角相等得出∠COP=∠DOP，即OP平分∠AOB，从而得出答案.
3.C
解：
∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝EC＋CF，
即BC＝EF，且AC=DF，
∴当BC=EF时，满足SSS，可以判定△ABC≌△DEF；
当AC//DF时，∠A=∠EDF，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF；
当∠C=∠F时，为SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
当∠BAC=∠EDF时，满足SAS，可以判定△ABC≌△DEF，
故答案为：
C.
【分析】根据等式的性质，由BE＝CF得出BC＝EF，又AC=DF，故根据三角形全等的判定方法，补充的条件只要能得出BC=EF或∠A=∠EDF即可，从而即可一一判断得出答案.
4.B
∵AD=CD，BE⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=
∠ABC=
×72°=36°，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴∠E=∠ABD=36°.
故答案为：
B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠CBD=
∠ABC=
×72°=36°，然后利用SAS判断出△ABD≌△CED，根据全等三角形的对应角相等得出∠E=∠ABD=36°.
二、填空题
5.
解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BF=CD，BD=CE，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠EDC，
∵α+∠BDF+∠EDC=180°，
∴α+∠BDF+∠BFD=180°，
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，
∴∠B=α，
∴∠C=∠B=α，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2α+∠A=180°，
∴
，
故答案为：
.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，从而利用SAS判断出△BDF≌△CED，根据全等三角形的对应角相等得出∠BFD=∠EDC，根据平角的定义及三角形的内角和、等式的性质得出∠B=α，从而根据三角形的内角和即可得出
.
6.③
解：
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃。
应带③去.
故答案为：
③.
【分析】根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.
7.35°
解：
∵l1∥l3， ∴∠BCE=180°-∠1=180°-110°=70°，
∵CD平分∠BCE，
∴∠DCE=
∠BCE=35°，
∵l2∥l3，
∴∠BDC=∠DCE=35°，
故答案为：
35°.
【分析】由l1∥l3，则同旁内角互补求出∠BCE的度数，再由CD平分∠BCE，求出∠DCE， 从而由l2∥l3，两直线平行内错角相等求得∠BDC的度数.
三、解答题
8.解:
∵BE＝CF，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE.
【分析】根据等式的性质，由BE＝CF得出BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠DEF，进而根据同位角相等，二直线平行得出结论：
AB∥DE.
9.证明：
∵BE=CF，∴BE+EF=FC+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D.
【分析】由AB=DC，推出BF=CE，然后利用边角边定理证明△ABF≌△DCE，则对应角∠A=∠D.
四、作图题
10.
（1）如图，点D即为所求；
（2）24
解：
（2）∵AD=BD，∠B=33°，
∴∠BAD=∠B=33°.
∵∠C=90°，
∴∠CAB=90°﹣33°=57°，
∴∠CAD=∠CAB﹣∠BAD=57°﹣33°=24°.
故答案为：
24.
【分析】
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可知点D一定在线段AB的垂直平分线上，又点D在BC上，故点D是线段AB垂直平分线与BC的交点，从而利用尺规作图法作出图形即可;
（2）根据等边对等角得出∠BAD=∠B=33°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CAB=57°，最后根据角的和差，由∠CAD=∠CAB﹣∠BAD算出答案.
五、综合题
11.
（1）证明：
∵AB⊥BC，
（2）解：
当BE=5时,
.理由如下：
∵BC=8，BE=5，
∴EC=3，
∴EC=AB.
∵AB⊥BC，l⊥BC，
在△ABE与△ECD中，
【分析】
（1）根据直角三角形的两锐角互余得出∠A+∠AEB=90°，根据平角的定义及角的和差得出∠AEB+∠DEC=90°，从而根据同角的余角相等得出∠A=∠DEC；
（2）当BE=5时,
.理由如下：
首先根据线段的和差及等量代换得出EC=AB=3，根据垂直的定义得出∠B=∠ECD=90°，从而利用ASA判断出△ABE≌△ECD.
12.2
解：
作PE⊥OA于E，
∵∠OPD=60°，PO=4，∴PD=
OP=2，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2.
故答案为：
2.
【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的内角和定理得出∠POD=30°，然后根据含30°直角三角形的边之间的关系得出PD=
OP=2，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出PD=PE=2.
13.
（1）解：
Rt△ADE与Rt△BEC全等，
证明：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）
（2）证明：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴AD=BE，
∵AE=BC，
∴AE+EB=AD+BC，
即AB=AD+BC.
（3）解：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠AED+∠BEC= ∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠DEC=90°.
∴△CDE是直角三角形
【分析】
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等，理由如下：
根据等角对等边得出DE=CE，从而利用HL即可判断出Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出AD=BE，根据线段的和差及等量代换即可得出AB=AD+BC；
（3）△CDE是直角三角形，理由如下：
根据全等三角形的对应角相等得出∠AED=∠BCE，根据直角三角形的两锐角互余及等量代换得出∠AED+∠BEC=90°，根据平角的定义得出∠DEC=90°，故△CDE是直角三角形.
14.
（1）解：
①如图1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=
∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∵DE⊥CM，
∴∠EDC=90°-∠BCM=22.5°；
②DF=2CE.理由如下：
证明：
作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图2所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5°，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE
（2）解：
DF=2CE；理由如下：
证明：
作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图3所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，
，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE.
【分析】
（1）①如图1所示：
根据等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°， 故∠ACM=
∠ABC=22.5°，∠BCM=∠ACM+∠ACB=67.5°，进而根据直角三角形的两锐角互余算出∠EDC的度数；②DF=2CE.理由如下：
作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图2所示：
首先得出∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，根据三角形的内角和得出∠DPC=67.5°，然后根据等角对等边得出PD=CD，根据等腰三角形的三线合一得出PE=EC，即PC=2CE，然后利用ASA判断出△DNF≌△PNC，根据全等三角形的对应边相等得出DF=PC，故DF=2CE；
（2）DF=2CE；理由如下：
作∠PDE=22.5°，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，如图3所示：
首先得出∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，根据三角形的内角和得出∠DPC=67.5°，然后根据等角对等边得出PD=CD，根据等腰三角形的三线合一得出PE=EC，即PC=2CE，然后利用ASA判断出△DNF≌△PNC，根据全等三角形的对应边相等得出DF=PC，故DF=2CE.
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