高中数学空间两点间的距离公式.docx

高中数学空间两点间的距离公式.docx

《高中数学空间两点间的距离公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学空间两点间的距离公式.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中数学空间两点间的距离公式

4.3.2

空间两点间的距离公式

【知识提炼】

空间中两点间的距离公式

（1）一般情况:

已知点P1（x1,y1,z1）与点P2（x2,y2,z2）,则|P1P2|=

__________________________.

（2）特殊情况:

点P（x,y,z）到原点的距离公式是:

|OP|=____________.

【即时小测】

1.思考下列问题:

（1）平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗?

提示:

是.当z1=z2=0时,点P1（x1,y1,z1）,点P2（x2,y2,z2）都在坐标平面

xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.

（2）将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?

提示:

不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.

2.在空间直角坐标系中,点A（1,0,1）与点B（2,1,-1）间的距离为（）

A.B.C.2D.6

【解析】选B.

3.点M（1,2,3）到原点的距离为（）

A.6B.C.14D.

【解析】选D.

4.点A（2,1,-4）到y轴的距离为.

【解析】点A（2,1,-4）到y轴的距离为

答案:

5.点P（1,2,3）与Q（1,-1,m）两点间的距离为

则m=

.

【解析】由于

解得m=1或m=5.

答案:

1或5

【知识探究】

知识点空间两点间的距离

观察图形,回答下列问题:

问题1:

空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系?

问题2:

求空间两点间的距离问题的关键是什么?

【总结提升】

1.对空间两点间距离公式的两点说明

（1）空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求

空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平

面的转化思想.

（2）若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离

求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.

2.空间两点间距离的求解

（1）求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算,

其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.

（2）若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系,

再利用空间两点间的距离公式计算.

【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明

（1）推导思路:

求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何

意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面

中处理.

（2）证明方法:

运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、

线线垂直的相互转化.

【题型探究】

类型一求空间两点间的距离

【典例】1.（2015·长春高一检测）已知点A（x,1,2）和点B（2,3,4）,且

|AB|=2,则实数x的值是（）

A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-2

2.（2015·兰州高一检测）点A（1,2,-1）,点C与点A关于面xOy对称,点B

与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.

3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.

【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?

提示:

利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.

2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?

提示:

横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.

3.典例3中如何建立空间直角坐标系?

提示:

以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建

立空间直角坐标系.

【解析】1.选D.因为

解得x=6或x=-2.

2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是（1,2,1）,点A关于x轴对称的点B的

坐标是（1,-2,1）,

故

答案:

4

3.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2,0）,

C1（0,0,2）,B1（0,2,2）,

由中点坐标公式可得,D（1,1,0）,E（0,1,2）,F（1,0,0）,所以

【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法

（1）关键:

求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应

用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.

（2）方法:

确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平

面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确

定.

【补偿训练】（2015·安康高一检测）在空间直角坐标系中,正方体

ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3,-1,2）,其中心M的坐标为（0,1,2）,

则该正方体的棱长为.

【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.

【解析】由A（3,-1,2）,中心M（0,1,2）,所以C1（-3,3,2）.正方体体对角

线长为|AC1|=

所以正方体的棱长为

答案:

类型二求空间点的坐标

【典例】1.（2015·大理高一检测）已知点A（4,5,6）,B（-5,0,10）,在z

轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.

2.已知点A（1,1,0）,对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在

一点B,使得PA⊥AB成立?

若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.

【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?

提示:

由于点P在z轴上,可设点P（0,0,z）.

2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?

又会得

出AB与OA有怎样的关系?

提示:

若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.

【解析】1.设点P（0,0,z）,则由|PA|=|PB|,得

解得z=6,即点P的坐标是（0,0,6）.

答案:

（0,0,6）

2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,

所以AB⊥OA,

设B（0,y,0）,

则有OA=,|OB|=y,

|AB|=

由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+（y-1）2,解得y=2,

所以存在这样的点B,当点B为（0,2,0）时,PA⊥AB成立.

【延伸探究】

1.（改变问法）典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得

△ABP是以AB为底边的等腰三角形?

【解析】假设存在一点P（0,0,z）,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角

形,即|PA|=|PB|,

得

解得z=6,即点P的坐标是（0,0,6）.故能存在一点P（0,0,6）,使得△ABP

是以AB为底边的等腰三角形.

2.（变换条件）典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?

【解析】设点P（0,y,0）,则由|PA|=|PB|,

得

解得即点P的坐标是

答案:

【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法

（1）若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标

利用待定系数法求解点的坐标.

（2）若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件,

则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.

【补偿训练】（2015·泸州高一检测）给定的空间直角坐标系,在x轴上

找一点P,使它与点Q（1,2,3）的距离为则P点的坐标为.【解析】设点P的坐标是（x,0,0）,由题意得,

即解得x=3或x=-1.

答案:

（3,0,0）或（-1,0,0）

【延伸探究】

1.（改变条件）给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点

Q（1,2,3）的距离和点M（-1,0,-1）的距离相等,则P点的坐标又如何求

解?

【解析】设点P的坐标是（x,0,0）,由题意得,

解得x=3.所以点P的坐标为（3,0,0）

2.（变换条件）本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又

如何求解?

【解析】设点P的坐标是（0,y,0）,由题意得,

解得或

所以点P的坐标为（0,2+,0）或（0,2-,0）

类型三空间两点间距离公式的应用

【典例】1.（2015·贵阳高一检测）已知A（4,3,1）,B（7,1,2）,C（5,2,

3）,则△ABC的形状是（）.

A.等腰三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

2.（2015·柳州高一检测）在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长

也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P点

在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离

.

【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?

提示:

可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关

系来进一步判断其形状.

2.典例2中怎样表示出PQ的长度?

提示:

求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.

【解析】1.选A.因为A（4,3,1）,B（7,1,2）,C（5,2,3）,所以

所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.

2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影

R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而

侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的

坐标为（-x,x,）（x>0）,又因为Q点在底面ABCD的对角线BD上,

所以可设Q点的坐标为（y,y,0）,因此P,Q两点间的距离为

显然当

x=y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC的中点,点Q恰好为底面的中心.

【延伸探究】若将题1三点改为A（2,1,1）,B（1,1,2）,C（2,0,1）,则△ABC的形状是什么?

【解析】

所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.

【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用

利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的

最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法

是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函

数即可.

【补偿训练】1.已知A（2,m,m）,B（1-m,1-m,m）,则|AB|的最小值为

此时A点与B点的坐标为.

【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最

小值.

【解析】

所以当时,|AB|取得最小值

此时A,B坐标为

答案:

2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点

上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐

标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方

体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的

最小值.

【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.

【解析】依题意设点Q（0,1,z）,则

所以当时,|PQ|min=

此时Q恰为CD的中点.

易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标

【典例】（2015·惠州高一检测）在空间中,已知点A（-1,-1,2）,点B是

平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点

B的坐标是______________.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:

错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.

【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B（x,-x+1,0）,所以

所以当时,|AB|取得最小值

此时点

答案:

【防范措施】

1.借助点的特征巧设点的坐标

如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设

点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借

助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.

2.坐标化解决位置问题

当空间几何的位置问题利用空间的点、线、面的位置关系解决比较复

杂时,可建立空间直角坐标系,利用坐标则可以方便地处理.如本例中

设出点B的坐标后转化为函数的最值问题,从而使问题得以解决.