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第二章题库
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第二章判断题
1.若f（z）在z0的某个邻域内可导，则函数f（z）在z0解析.（）错
2.若函数f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.（）错
3.若f（z）在区域D内解析，则|f（z）|也在D内解析.（）错
4若函数在解析，则在连续.（）√
5.若f（z）在z0解析，则f（z）在z0处满足柯西-黎曼条件.（）√
6.若函数f（z）在区域D内解析且，则f（z）在D内恒为常数.（）√
7、若函数在解析，则在的某个邻域内可导.（）√
8.若函数f（z）在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（）√
9.设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数.（）√
10、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数.（）√
11．函数在复平面上处处可微。
（）×
12、若函数在内连续，则与都在内连续.（）√
13cosz与sinz的周期均为.（）×
14.函数与在整个复平面内有界.（）×
15、与均为单值函数。
（对）
16、与均为无界函数。
（对）
17、如果为解析函数，则的共轭调和函数（√）
18、一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数（√）
19若函数在处满足Caychy-Riemann条件，则在解析.（）×
20、（错）
21、（错）
22、的各分支在除去原点及负实轴的平面内解析，并且有相同的导数值（对）
23、指数函数在整个复平面内有定义并且解析。
对
24、对数函数是单值函数。
错
25、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数。
对
26、幂函数是一个多值函数。
错
27、当是正整数时，幂函数是一个单值函数。
对
28、复变函数在区域D内解析的充要条件是区域D内，的虚部是实部的共轭调和函数。
（对）
29、复变函数在区域D内解析的充要条件是区域D内，的实部是虚部的共轭调和函数。
（错）
30指数函数是周期为得周期函数。
对
31.的周期是（×）
32在复平面上处处不解析（√）
33.在处解析（×）
34.对于，只要，必有（×）
35.由，可得（×）
第二章填空题
1、如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处（解析）。
2、设函数f（x,y）=u（x,y）+iv（x,y）在点可导的充要条件是u（x,y）和v（x,y）在点（x,y）处（可微），且满足柯西-黎曼方程。
3、设函数f（x,y）=u（x,y）+iv（x,y）在区域D内解析的充要条件是u（x,y）和v（x,y）在D内处处（可微），且满足柯西-黎曼方程。
4、对数函数的定义域为（整个复平面去掉原点），是一个多值解析函数。
5.若,则
6若，则
7若，则
8函数ez的周期为__________.，.
9的周期为_______________________.
10公式称为_____________________.欧拉公式
11．设，则___________________．
12=
13计算=
14
第二章选择题
1．函数在点则称在点解析。
C
A）连续B）可导C）可微D）某一邻域内可微
2．函数在点的条件指：
D
A）B）
C）D）
3．一般幂函数是函数D
A）单值B）有限的多值C）无限多值D）以上都不对
4．复数，其幅角主值D
A）B）C）D）0
5.下列说法正确的是（）A
若函数在处有导数,那么在一定连续
若函数在处连续,那么在有导数
若函数在处有导数,那么在解析
在解析
6.下列说法正确的是（A）
（A）若函数在有导数，那么在一定连续
（B）若函数在有连续，那么在一定可导
（C）若函数在有导数，那么在一定解析
（D）在解析
7.下列函数在整个复平面内不是解析函数的是（C）
（A）（B）（C）（D）
8下列函数不是多值函数的是（C）（本题2分）
（A）（B）（C）（D）
9下列函数不是多值函数的是（A）
（A）（B）（C）（D）
10由柯西-黎曼条件，下列函数在复平面上不解析的是（D）
（A）（B）（C）（D）
11．下面关于函数解析的结论错误的是（A）
（Ａ）在解析。
（Ｂ）在除了的点都解析。
（Ｃ）在复平面上处处不解析。
（Ｄ）在复平面上处处解析。
12、函数（B）
A.处处可导；B.仅在上可导；C.处处不可导．
13、设，则（B）
A.；B.；C.．
第二章计算题
1.由求解析函数
解：
容易验证是全平面上的调和函数，利用C-R条件，先求出的两个偏导数
则
所以，
又因为，所以
结果得到
2、由，求解析函数。
解：
因=3，所以
=
又,而,所以,
则.故=+
=
=+C
3由，求解析函数。
解：
因=2，=，由解析，有
.又,而
所以,,则,故
4由求解析函数。
解:
因,由的解析性，有，
，又，而，
所以，则，故，由得
推出C=0，即
=
5、由，求解析函数。
解：
因，
由的解析性，有，
则+C=
=
故由知C=0，即
6、已知调和函数，求函数，使函数解析且满足．
解：
（1）由，有
，
由，有，
，
即得，
；
（2）由，
故
．
7、设，问在何处可导？
何处解析？
并在可导处求出导数值.
解：
均连续，要满足条件，必须要
成立
即仅当和时才成立，所以函数处处不解析；
8、设求，使得为解析函数，且满足。
其中（为复平面内的区域）.
解：
，
故，
9．设。
求，使得为解析函数，且满足.其中（为复平面内的区域）.
解：
.
又
.
故.
10设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．
解:
是调和函数.
11设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求.
解：
是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即：
故对成立，
12已知，试确定解析函数：
解：
由得
=
两式相加并结合条件得：
从而
故
13求解析函数，已知
解易验证是全平面上的调和函数。
利用条件，先求出的两个偏导数
则
所以
又因为，所以，结果得到
14已知一调和函数，求一解析函数使。
解因为
得
由，得
故，因此
从而
=
即
由，得，故所求的解析函数为
15求满足下列条件的解析函数
解
由已知
第二章证明题
1、若函数在区域D内解析，并满足在D内解析；试证必为常数。
证因为在区域D内解析，所以满足C-R条件
=，=—，=也在D中解析，也满足C-R条件
=，=—从而应有====0恒成立，故在D中为常数，为常数。
2、若函数在区域D内解析，并满足；试证必为常数。
（2）因在D中解析且有，由C-R条件，有
则可推出即。
故必为D中常数
3、若函数在区域D内解析，并满足在D内为常数；试证必为常数。
证明设，由条件知，从而求导得
或化简，利用C-R条件得
所以==0，同理==0，即在D中在D内为常数。
4、若函数在区域D内解析，并满足（为不全为零的实常数）；试证必为常数。
证明设求导得，
由C-R条件，故必为常数，即在D中为常数。
设知为常数，又由C-R条件知也必为常数，所以在D中为常数。
5、设在区域D内解析，试证（=4
证明：
设=，=+
而=+
=2，
又解析，则实部及虚部均为调和函数，故
=0，=0.
则==4
6、试证C-R方程的极坐标形式为，，并且有
7、试证，都是调和函数，但不是解析函数。
证明：
因，，则，
故是调和函数，又，
，，则+，
故是调和函数，但，故不是解析函数
8、如果是一解析函数，试证：
也是解析函数。
证明：
因解析，则，，且均可微，从而也可微，而，又，。
即也是解析函数。
*9设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．
解：
由，有
故是调和函数。
10验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.
解：
（1）故是调和函数。
（2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。
则
由
故
11验证是一调和函数，并构造解析函数满足条件.
证明由，故为调和函数。
，
由于，得（9分），
12.函数在区域内解析.证明：
如果在内为常数，那么它在内为常数.
证明设在内.
令.
两边分别对求偏导数,得
因为函数在内解析,所以.代入
（2）则上述方程组变为
.消去得,.
若,则为常数.
若,由方程
（1）
（2）及方程有,.
所以.（为常数）.
所以为常数.
13.设函数f（z）在区域D内解析，试证：
f（z）在D内为常数的充要条件是在D内解析.
证明（必要性）令,则.（为实常数）.
令.则.
即满足,且连续,故在内解析.
（充分性）令,则,
因为与在内解析,所以
且.
比较等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.
14证明函数除去在外，处处不可微.
证明因为,故.
这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.
15若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.
证明：
设，则,由于在内解析，因此有,.
于是故，即在内恒为常数.
16、若函数在区域内连续，则二元函数与都在内连续.
证明：
因为，在内连续,所以,
当时有
从而有
即与在连续，由的任意性知与都在内连续
17证明：
函数在点可导，且导数等于0。
证
当时，，故在可导，且导数等于0。
18设证明在全平面处处没有导数。
证因为对任意
考虑在直线上，上式恒等于0
在直线上上式恒等于1
故不存在，即不可导，再由的任意性知在全平面处处没有导数。
19.设,证明:
证明：
因为
而，则
故
所以
20.设函数在区域内解析，且或在区域内为常数，则在内为常数
证明：
令，则由条件得（常数）
故
由于在内解析，可得
因此，（常数）
所以，为常数.
同样可证，当时，在内为常数。
21设，试证在处不连续。
证明：
即当沿不同的曲线趋向于时，上述极限值不同。
故上述极限不存在。
即在
不连续。
22验证是调和函数，求以为实部的解析函数，使之适合.
解由
.
故而由的二阶偏导显然连续。
故为调和函数。
由，得
，
。
所以，即。
因此
因而得到一个解析函数
因为故=1.所以
23如果在区域内解析，而且满足常数，则在为常数。
证由=常数，故。
由方程知，从而为常数。
24如果在区域内解析，而且满足为常数。
，则在为常数。
证常数，分别对求偏导数得
，，
由方程得
，，
所以，
当时，，故，因而得证。
当时，，故常数，再由
（2）知在内为常数。
&25证明：
若函数在上半平面解析，那么函数在下半平面解析。
证明：
设在下半平面任取一点，是下半平面内的异于的点,则由得：
其中，在上半平面内，由于在上半平面内解析,因此有，故在下半平面内解析。
26证明：
函数在复平面内处处不解析。
解由且
故不满足条件，从而在复平面内处处不可导，即处处不解析。
27证明函数的解析性并求。
解由且
从而满足条件，而且上面四个一阶偏导均连续，故在复平面内处处可导，故也处处解析。
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