数学实验全部答案精品doc.docx
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数学实验全部答案精品doc
实验十:
简单的鹿群增长问题
•问题一:
鹿群增长模型
•问题二:
养老保险问题
•问题三：
金融公司的支付基金流动
•问题四:
保险金问题
摘要：
本篇实验报告主要是针对实验十:
简单的鹿群增长问题而建立的模型。
并且将此模型的求解方法，运用到其他的类似的模型当中。
对该模型的求解，运用斧分方程组和线性代数的有关知识,通过用matlab编程,实现对矩阵的特征值和特征向量的自动求解。
以及将已知矩阵进行对角化。
并且用该模型的建模思想和求解方法，对课后的四个实验任务，分别进行了模型的建立和求解。
具体的四个实验任务如下：
（1）鹿群增长模型的建立，算法编程以及程序的可行性验证；
（2）养老保险问题模型的建立与求解；
（3）金融公司支付基金的流动模型的建立与求解；
（4）人寿保险计划模型的建立与求解；
针对这几个实验任务，我分别建立了不同的数学模型，运用Matlab编程进行求解。
通过书上给出的实际数据进行了算法的可行性检验,并且通过实际数据给出了该模型的优略性评价。
问题一:
鹿群增长模型
问题重述：
假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间内鹿群的增长受资源制约的因素较小。
这里所说的资源包括:
有限的食物、空间、水等。
试建立一个简单的鹿群增长模型，并以适当的数据给出结果。
给出数据一：
x0=0.8,yO=l,al=0.3,a2=1.5,bl=0.62,b2=0.75,s=0.8;数据二：
xO=2.8,y0=3.4,al=0.4,a2=1.8,b1=0.61,b2=0.72,s=0.7;情况下的结果
模型假设：
（1）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余的为成年组;
（2）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长基本上是不受自然资源的制约；
（3）鹿的生育数与鹿的总数成正比。
符号说明：
Xfl:
第“年幼鹿的数量；
yn：
第"年成年鹿的数量；
%：
幼鹿的生育率；
a2：
成年鹿的的生育率；
也：
幼鹿的存活率；
b2:
成年鹿的存活率；
A：
系数矩阵；
人：
矩阵A的特征值；
入：
矩阵A的特征值；
Xo：
开始时幼鹿的数量；
%）:
开始时成年鹿的数量；
S:
刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率；
模型的建立：
问题分析：
根据鹿群数量增长的关系模型，建立幼鹿和成年鹿的数量关系式（观
测吋间取为一年），建立如下的线性斧分方程组：
（1）
问题转化为对
（2）进行求解。
模型的求解原理：
利用线性代数的知识，我们可以将矩阵A进行对角化，即找到矩阵P,使得PAP—B为对角矩阵，并且对角线上的元素为A的特征值,即有：
!
Pi0）
PAP''=B=“、0几2丿
从而有：
A"=PB"P~l;
ii”=A"u0-PB"Plua
令c=PJo可得：
u”=PB"c
即可得到：
之心-血2）入"+C2（A-乞仏"
\yn=cAV+c2W
通过矩阵的方法可以得到第一年到第n年的幼鹿和成年鹿的数量分别为:
、1、
*2
A
+C2（兄2_“2）
%、人"
宀丿
&丿
=CA
+。
2勺
%、
£
、儿丿
丿
根据该公式可以通过编程直接给出第一年到第n年的幼鹿和成年鹿的数量。
下面将给出编程的程序。
实验程序：
function[x,刃=nianshu（n）
%根据已知数据x0,y0,al,a2,bl,b2,s进行求解
%其中x0是初始的幼鹿的数目,y0是初始的成年鹿的数目;
%al是幼鹿的生育率,a2是成年鹿的生育率
%bl是幼鹿的存活率,b2是成年鹿的存活率
%s是刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率
%11是年数；
%数据—:
x0=0.8,yO=l,al=0・3,a2=1.5,bl=0・62,b2=0.75,s=0.8
%数据二:
x0=2.8,y0=3.4,al=0.4,a2=1.8,bl=0・61,b2=0.72,s=0.7x0=0.8;yO=l;al=0.3;a2=1.5;bl=0.62;b2=0.75;s=0.8
%x0=2.8;y0=3.4;al=0.4;a2=1.8;b1=0.61;b2=0.72;s=0.7c=-（s*al+b2）;
d=s*（b2*al-a2*bl）;
m1=[-c+sqrt（cA2-4*d）]/2
m2=[-c-sqrt（cA2-4*d）]/2
a=[（ml-b2）（m2-b2）;blbl];
cc=（inv（a）*[x0;y0]）,;4
cl=cc（l）;
c2=cc
（2）;
fori=l:
n
x（i）=c1*（ml-b2）*（m1Ai）+c2*（m2-b2）*（m2Ai）;
y（i）=c1*b1*（m1Ai）+c2*b1*（m2Ai）;
end
x=x*
y=y!
运行结果：
对数据一：
x0=0.8,y0=l,a1=0.3,a2=1.5,b1=0.62,b2=0.75,s=0.8,n=6进行处理后得到的结果为：
年份
幼鹿的数量
成年鹿的数量
1年后
1.3920
1.2460
2年后
1.8293
1.7975
3年后
2.5961
2.4823
4年后
3.6018
3.4713
5年后
5.0300
4.8366
6年后
7.0111
6.7461
对数据二：
x0=2.8,y0=3.4,al=0.4,a2=1.8,b1=0.61,b2=0.72,s=0.7,n=8进行处理后得到的结果为：
年份
幼鹿的数量
成年鹿的数量
1年后
5.0680
4.1560
2年后
6.6556
6.0838
3年后
9.5292
8.4403
4年后
13.3029
11.8898
5年后
18.7059
16.6754
6年后
26.2486
23.4169
7年后
36.8549
32.8718
8年后
51.7379
46.1492
为了便于数据进行比较，我考虑将所有的数据用Excel进行作图,如下:
□系列1
□系列2
图1:
数据一得到的幼鹿和成年鹿的数量比较图
□系列1
□系歹！
J2
图2:
数据二得到的幼鹿和成年鹿的数量比较图
问题三：
金融公司的支付基金流动
问题重述：
某金融机构为保证先进充分支付，设立一笔总额为$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司，基金在平时可以使用，但每周末结算时,必须保证总额仍为$540万。
经过相当一段时期的业务情况，发现每经过一周，各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内，而A城公司有10%的支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。
此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万。
按此规律，两公司支付基金数额变化趋势如何?
如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金做专门调动来避免这种情形？
符号说明：
X“:
第"周A城公司的资金数量；
儿:
第"周B城公司的资金数量；
x0:
A城公司初始的资金数量；
：
B城公司初始的资金数量；
d-系数矩阵A的对角矩阵；V：
系数矩阵A的特征向量组矩阵;
问题分析:
要保证总金额的数量保持不便，即有x”+儿=x0+y0=540，根据第n周的资金和第”-1周的资金之间的关系，建立如下关系式：
第"周A城公司的资金数量：
x”=90%x”_]+12%y”_i
第"周B城公司的资金数量：
儿=10%x„_1+88%y,!
_l
考虑用问题一中的方法，将A进行对角化，找到矩阵P,使A=PlBP,从而
An=PlB"P^中B为对角矩阵）°
lo人"丿
从而un=P~'BnPu0，则可以得到£,yn就是第"年A公司的情况和B公司的情况.
实验程序：
functionshiyanl04
A二[0・9,0・12;0丄0・88];
n=1000;
un=[260;280];
fori=l:
n
t（i）=i；
un=A*un;
x（i）=un（l,l）;
y（i）=un（2,l）;
if（y（i）<220）
break
end
end
plot（t，x，t，y）
运行结果：
给出前20周各公司的情况，做出曲线图如下:
具体的数据图如下:
第n周
1
2
3
4
5
A公司
267.6000
273.5280
278.1518
281.7584
284.5716
B公司
272.4000
266.4720
261.8482
258.2416
255.4284
第n周
6
7
8
9
10
A公司
286.7658
288.4773
289.8123
290.8536
291.6658
B公司
253.2342
251.5227
250.1877
249.1464
248.3342
第n周
11
12
13
14
15
A公司
292.2993
292.7935
293.1789
293.4796
293.7141
B公司
247.7007
247.2065
246.8211
246.5204
246.2859
第n周
16
17
18
19
20
A公司
293.8970
294.0396
294.1509
294.2377
294.3054
B公司
246.1030
245.9604
245.8491
245.7623
245.6946
其中A公司的资金是不断增长的，而B公司的资金是减少的.
通过实际的计算，可以知道要想避免B公司资金少于220万，在第50周的时候需要进行调整,即到第50周的时候B公司资金会少于220万。
问题四:
保险金问题
问题重述：
某保险公司推出一种与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为:
如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元,交费期20年至60岁，则在他生存时期,45岁时候（投保满5年）可获反还补贴4000元,50岁时（投保满10年），可获反还补贴5000元，其中每隔5年可获得增幅为1000元的反还补贴;另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获得保险金20000元。
试分析:
若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少?
若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？
问题分析：
在该问题当中返回补贴的条件是：
“交费至60岁”，也就是说，该问题需要考虑的情况应该是投保人的年龄大于等于60岁。
所以在此问题中，我们就假设投保人的年龄都超过了60岁。
该问题类似与问题二中的情况，在此问题中，我们假设不考虑银行贷款情况，只卡率银行的利率，把保险金当作存入银行来计算。
符号说明：
a:
每年应该交纳的保险费；（在此题中a=1540）
r:
银行的年利率；
n:
投保人的寿命;
S,.:
第i次投入的资金在投保人死的时候所能拿到的保险金;
am：
第肌个五年所获得的保险金的数额；
S:
投入的所有资金在投保人死的时候的本息和；
%：
第n年时保险公司所反还的总价值；
x:
保险费获得的年利率；
P：
投保人获得的总的保险金的数额；
模型的建立：
首先，计算投入的总的资金，在投保人死时，按照每年都获得保险金的思想来考虑时，可以获得保险金的总数额为：
第n年投入的资金和第n-1年投入资金之间的关系是：
an=an_^r）+a
考虑投保人获得的收益，因为是按年计算的，所以我们从投保人投保开始计算；（假设投保人投入的保险费获得的实际年利率为x）
[（"-%
r
投保人第1年投入的a元资金，在投保人死时，可以获得的总的保险金额为:
S1=[a+a（l+r）+....+a（l+r）"-40]%=°山—（】+“）"l-（l+r）
同理，投保人第2年投入的a元资金，在投保人死时获得的保险金的数额为:
S°=[a+a（l+门+....+a（l+J"—"=°址1—（1+门""】'l-（l+r）
由题意知，投保人到死的时候总共投入了20年的资金，则第20年投入的a元资金，在投保人死的时候，所获得的保险金的数额为：
S2Q=[a+a（l+r）+....+a（l+r）/,_59]x=ax
则投保人死时，所获得的总的保险金的数额为:
20
S=YSi=—[（1+r）"-39-1+（1+r）,;-40-1+.....+（1+r）"-58-1]mr
«xr（l+rr-58[l-（l+r）20]“…
r1-（1+r）
=竺[（1+门"「38_（1+门”-58]_QB
rr
其次，考虑投保人在保险公司获得的实际保险金额：
假设m=[2L_12]；即从投保人40岁投保起，到投保人n岁死时，总共经
历了m个5年。
由于保险金的数额按等斧数列增长，即a,”=a,”_i+1000,而
⑷=4000,所以在第ni个5年的时候所获得的保险金的数额为：
am=am_Y+1000=4000+（m-l）xl000=1000m+3000
则投保人在死的时候所获得的保险金的总额为：
S=4000+X1000+20000=24000+500m（m-1）
（2）
根据表达式
（1）和
（2）,我们可以建立等式：
—[（1+门"3*_（1+门"s*]_20]=24000+500m（m-1）
rr
X即为获得的保险费的实际年利率。
实验程序：
functionshiyanl05
%n=76;
n=74;
r=0.06;
a=1054;
m0=mod（n,5）;
m=（n・m0）/5;
x=r*（24000+500*m*（m-l））/（a*（（（l+r）A（n-38）-（l+r）A（n-58））/r-20））
forn=61:
100
m0=mod（n,5）;
m=（n・m0）/5;
x（n.60）=r*（24000+500*m*（m-l））/（a*（（（l+r）A（n-38）-（l+r）A（n-58））/r-20））;end
plot（t,x）
运行结果:
我们不妨假设银行的年利率为r=0.06当“=76时，X=0.0864
当n=74时，X=0.0891
为了便于数据进行比较，我们应用该程序给出当银行年利率为r=0.06的时，人的寿命从61岁到100岁的实际利率比较表：
年龄
61
62
63
64
65
年利率
0.2152
0.1938
0.1753
0.1592
0.1644
年龄
66
67
68
69
70
年利率
0.1503
0.1378
0.1266
0.1165
0.1212
年龄
71
72
73
74
75
年利率
0.1120
0.1036
0.0960
0.0891
0.0929
年龄
76
77
78
79
80
年利率
0.0864
0.0804
0.0750
0.0699
0.0728
年龄
81
82
83
84
85
年利率
0.0680
0.0636
0.0595
0.0556
0.0579
年龄
86
87
88
89
90
年利率
0.0542
0.0508
0.0476
0.0447
0.0463
年龄
91
92
93
94
95
年利率
0.0435
0.0408
0.0383
0.0360
0.0373
年龄
96
97
98
99
100
年利率
0.0350
0.0329
0.0310
0.0291
0.0301
将算出的数据用图表示出来后如下:
60岁到100岁获得利率图
VV数学实验>>
实
验
报
告
实验十三:
标尺的刻度设计
实验目的:
本实验设计微积分和线性代数的若干基本知识。
通过实验复习函数的反函数，定积分的应用和计算，解微分方程和解代数方程组等内容;并且介绍了连续型数学问题近似化处理的若干基本技巧，例如插值法，二分法和两点边值问题的斧分法等。
问题一：
问题重述：
以实验十三中的的数值实例的数据R=1,A=1,L=5（单位:
m）,分别用插值法和二分法求对应于△V=1,V；=O,^=zAV（z=l,2,...,17）和$=17.8024（单位:
龙）的刻度
位置的值，并按1：
20的比例制作一个具体的标尺模型。
问题分析：
当R=l,A=l,L=5的时候，我们应该首先求出油量函数表达式，给出油量函数表，再根据此表给出油量和高度所在的区间，再分别求出一次和二次插值相
问题求解：
当R=l,A=l,L=5时的油量函数表达式为:
V（H）=
R2V（R）-V（2R-H）
具体情况如图所示：
\F
、
/
2R-H
为了求出体积V,我们需要将整个油罐分为两部分：
匕（日）和VC（H）（其中匕（日）
和匕（H）分别表示的是相应的圆柱和圆锥部分的体积）,则有：
V（H）=Vc（H）+2Vb（H）
按照书上的方法给出油量函数表,如下:
i
比
匕
V
0
0.0
0.0000
0.0000
0.0000
1
0.1
0.2936
0.0023
0.2982
2
0.2
0.8175
0.0128
0.8431
3
0.3
1.4775
0.0343
1.5461
4
0.4
2.2365
0.0682
2.3729
5
0.5
3.0709
0.1153
3.3015
6
0.6
3.9634
0.1754
4.3142
7
0.7
4.8996
0.2481
5.3958
8
0.8
5.8674
0.332
6.5314
9
0.9
6.8557
0.4249
7.7055
10
1.0
7.8540
0.5236
8.9012
11
1.1
8.8523
0.6223
10.0969
12
1.2
9.8406
0.7152
11.271
13
1.3
10.8084
0.7991
12.4066
14
1.4
11.7446
0.8718
13.4882
15
1.5
12.6371
0.9319
14.5009
16
1.6
13.4715
0.9790
15.4295
17
1.7
14.2305
1.0129
16.2563
18
1.8
14.8905
1.0344
16.9593
19
1.9
15.4144
1.0449
17.5024
20
2.0
15.7080
1.0472
17.8024
进行一次插值的程序如下：
functionyicichazhi
fori=l:
17
v（i）=i;
end
a=[0.8431,1.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,&9012,&9012,10.0969,11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.9593];
b=[l.5461,2.3729,3.3015,4.3142,5.3958,6.5314,7.7055,&9012,10.0969,10.0969,
11.271,12.4066,13.4882,14.5009,15.4295,16.2563,17.5042];
c=[0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.8];d=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.&0.9,1.0,1.1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.9];fori=l:
17
H（i）=（v（i）-b（i））*c（i）/（a（i）-b（i））-（v（i）-a（i））*d（i）/（a（i）-b（i））;
end
H
运行结果为:
i
匕
匕对应的区间
0对应的区间
一次插值a
0
0
[0,0]
[0,0]
0
1
1
[0.8431,1.5461]
[0.2,0.3]
0.2223
2
2
[1.5461,2.3729]
[0.3,0.4]
0.3549
3
3
[2.3729,3.3015]
[0.4,0.5]
0.4675
4
4
[3.3015,4.3142]
[0.5,0.6]
0.5690
5
5
[4.3142,5.3958]
[0.6,0.7]
0.6634
6
6
[5.3958,6.5314]
[0.7,0.8]
0.7532
7
7
[6.5314,7.7055]
[0.&0.9]
0.8399
8
8
[7.7055,8.9012]
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