初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理.docx
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初一数学竞赛系列讲座16逻辑原理
初一数学竞赛系列讲座（）
逻辑原理
一、知识要点
逻辑原理问题，并不需要多少特别专门的知识，关键在于审题，要认真仔细地分析题意，弄清楚各个量之间的关系，深刻理解每句话的含义。
二、例题精讲
例小明、小强、小华三人参加迎春杯赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖。
现在知道：
（1）小明不是金城的选手；
（2）小强不是沙市的选手；
（3）金城的选手不是一等奖；
（4）沙市的选手得二等奖；
（5）小强不是三等奖。
根据上述情况，小华是的选手，他得的是等奖。
（第三届迎春杯决赛试题）
分析：
显然选手所在城市与选手获奖情况有联系，我们就从这里找突破口，搞清了各个城市的选手分别获得哪等奖，问题就解决了。
解：
由（）知：
金城的选手获一等奖或三等奖，又由（）得金城的选手获三等奖，从而水乡的选手获一等奖。
由（）知：
小强是金城或水乡的选手，又由（）得小强是水乡的选手，
由（）得小明是沙市的选手，从而小华是金城的选手，他获三等奖。
例教室里的椅子坏了，第二天上学时，老师发现椅子修好了。
经了解，椅子是、、三人中的一个人修好的，老师找来这三人。
说：
“是做的。
”
说：
“不是我做的。
”
说：
“不是我做的。
”
经调查，三人中只有一个说了实话，椅子是谁修的呢？
分析：
因为三人中只有一个说了实话，所以可以假设椅子是某人修好的，看结论是否符合“三人中只有一个说了实话”这一条件。
解：
（）假设椅子是修好的，那么说的是假话，、说的都是实话。
这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是修好的。
（）假设椅子是修好的，那么说的是假话，、说的都是实话。
这样有两人说了实话与“三人中只有一个说了实话”这一条件相矛盾，所以椅子不是修好的。
（）假设椅子是修好的，那么、说的是假话，说的是实话，符合“三人中只有一个说了实话”这一条件，所以椅子是修好的。
评注：
本题运用先假设，再根据假设推出一个结论；如果结论与已知条件相矛盾，说明假设不成立；如果结论符合已知条件，说明假设正确。
这种假设的方法是逻辑推理中经常使用。
例赵、钱、孙、李四人，一个是教师，一个是售货员，一个是工人，一个是个体户，根据以下条件，判断这四人的职业。
（1）赵、钱是邻居，每天一起骑车上班；
（2）赵年龄比孙大；
（3）赵在教李打太极拳；
（4）教师每天步行上班；
（5）售货员的邻居不是个体户；
（6）个体户和工人互不认识；
（7）个体户比售货员和工人年龄都大。
解：
由（）和（）可知，赵、钱不是教师。
由（）和（）知，孙不是个体户。
因为假设孙是个体户，则由（）和（）知，赵不是售货员，不是工人；由（）和（）可知，赵也不是教师；这样赵也是个体户，与假设矛盾。
于是我们可得出下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
钱
孙
李
假设赵是工人，个体户是钱或李，由（）可知，赵与钱或李应互不认识，这与（）、（）相矛盾，这样可知赵不是工人。
又假设赵是个体户，由（）、（）、（）可知，孙是工人，钱是售货员，但又与（）矛盾，所以赵是售货员。
这样又可得出下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
孙
李
根据（）、（）继续分析，把上面的表格填满，可得：
钱不是个体户，则钱是工人；则孙不是工人，孙是教师，最后得李是个体户。
如下表：
售货员
工人
教师
个体户
赵
√
钱
√
孙
√
李
√
最后得：
赵是售货员，钱是工人，孙是教师，李是个体户。
评注：
分析逻辑推理问题，借助表格，能使已知条件和推出的有用结论一目了然。
在填表时通常把正确的结论打“√”，错误的打“”。
这样可以确保推理的速度和正确性，而且不易被错误信息干扰。
例今有棋子颗，甲、乙两人做取棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次取颗，为或以内的任一质数，不能不取。
谁最后取完谁为胜者。
问甲、乙两人谁有必胜的策略。
解：
乙有必胜的策略。
由于为或以内的任一质数，所以或者是，或者可以表示为或（为或正整数）形式，乙可以采取如下的策略：
若甲取颗，则乙也取颗；
若甲取颗，则乙取颗；
若甲取颗，则乙取颗；
这样，每次甲、乙两人取走的棋子之和都是的倍数。
由于是的倍数，因此余下的棋子数必定还是的倍数。
从而经过若干回合后，剩下的棋子数必定为不超过的的倍数。
因为不是的倍数，所以这时甲不能取走全部的棋子，从而最终乙可以取走全部的棋子。
评注：
本题中，甲虽然先取，但他没有必胜的策略。
而乙虽然后取，但他能根据甲的取法，应对有序，后发制人，最终取胜。
由此看出，谁能取得最后胜利，一要看他所面临的情形，二要看他采用的策略，两者缺一不可。
例有三堆小石子。
每次操作从每堆中取走同样数目的小石子（不同次操作，取走的小石子数目可以不同），或将其中任一堆（如果其小石子数是偶数）的一半小石子移到另一堆上。
开始时，第一堆有小石子块，第二堆有小石子块，第三堆有小石子块。
能否使（）某两堆小石子一个不剩？
（）三堆小石子都一个不剩？
（第十五届全俄数学奥林匹克试题）
分析：
（）很容易发现三堆小石子刚开始时的小石子数的末两位数字相同，因而首先三堆各取块，这样剩下的石子数是：
、、，接下来将第二堆移块到第三堆，石子数变为：
、、，再接下来三堆各取走块就可以了。
（）发现最初三堆的石子数的和是：
，它不被整除。
而题目中的两种操作方法不改变这个特征，因而可得出结论。
解：
（）可以使某两堆小石子一个不剩。
只要按如下步骤取即可。
（，，）（，，）（，，）（，，）
（）最初三堆石子的总数是，它不能被整除。
而进行任何一次操作后所得的三堆石子的总数被除所得的余数不变，所以不管进行几次操作，三堆石子的总数被除所得的余数都不为，即不可能将三堆石子都取光。
评注：
本题第二步中，抓住了三堆石子的总数被除所得的余数不变这个特征，从而使问题得到顺利解决。
因而解题时应认真分析，抓住关键。
例人的血型通常为型、型、型、型。
子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：
父母的血型子女可能的血型
、
、、
、、
、、
、、
、、、、
、、、
、、
、、、
、、、
现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为、、。
每个孩子的父母都戴着同样颜色的帽子，颜色也分别为红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为、、。
问穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？
（第五届华杯赛复赛试题）
分析：
因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，这样血型表只需保留一、五、八、十这行。
又由于三种颜色的帽子分别表示、、三种血型，所以第八行也可划去。
这样血型表就比原来简单多了，再讨论这个简表就不难得出血型间的关系，从而再得出题目结论。
解：
因为父母都戴着同样颜色的帽子，所以父母的血型都相同，根据血型表，只有、，、，、，、符合条件。
又因为父母都戴着红、黄、蓝三种颜色的帽子，而三种颜色依次表示所具有的血型为、、，所以符合条件的只有、，、，、。
因而，可以得出下面的简表：
父母的血型子女可能的血型
、
、、
、、、
从上面的简表可以看出父母的血型为的，孩子血型一定为，即穿红上衣的孩子，父母戴蓝帽子。
划去简表的第一行及子女血型中的，又三个孩子中没有血型，所以子女血型中的也可划去，这样只剩第二行。
由第二行，父母的血型为的，子女的血型一定为，即穿黄上衣的孩子，父母戴黄帽子。
最后，穿蓝上衣的孩子，父母戴红帽子。
评注：
、本题先将问题简化，再从最简单的情况入手，把结果能确定下来的先确定下来，然后再继续讨论，结果不能确定下来的，就分情况讨论，这种方法叫枚举法。
枚举法在逻辑推理中常用。
、上面的解法是从父母的血型出发分析，从而确定孩子的血型，本题也可从孩子的血型出发分析来确定父母的血型。
例在某市举行的一次乒乓球比赛中,有名选手参赛,其中专业选手与业余选手各名.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场。
为公平起见,用以下方法计分：
开赛前每位选手各有分作为底分，每赛一场，胜者加分,负者扣分：
每胜专业选手一场的加分,每胜业余选手一场的加分；专业选手每负一场扣分，业余选手每负一场扣分。
现问：
一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？
（第六届华杯赛复赛试题）
分析：
名选手进行单循环比赛，每名选手共进行场比赛，显然名业余选手只胜场不能进入前三名，场全胜肯定能进入前三名，因而我们只需讨论名业余选手胜二场、胜三场和胜四场三种情况，看是否能保证他必定进入前三名。
解：
设业余选手为、、，专业选手为、、。
（一）、如果只胜两场，有三种情况：
（）胜两名专业选手，不妨为、。
在、、都胜、，而且胜、时，、、的分数都比高，因此不能进入前三名。
（）胜一名专业选手，一名业余选手，不妨为、
在、、都胜、，而且、都胜时，、、的分数都比高，因此不能进入前三名。
（）胜两名业余选手、
在、、都胜、，而且胜，胜，胜时，、、的分数都比高，因此不能进入前三名。
所以如果只胜两场，那么他不一定能进入前三名。
（二）、如果恰好胜三场，情况比刚才要复杂。
（）胜、、。
这时比底分分增加＝分，其中又分两种情况：
①如果有一名专业选手，比如，胜其他四人，则比底分增加＝分，刚好与的得分相同。
从而、的得分均低于，、两人即使都胜、，他俩比底分增加＝分与分，从而必定进入前三名。
②如果每一名专业选手均未全胜其他四人，那么他们的得分都低于，必定进入前三名。
（）胜两名专业选手，如、，及一名业余选手，如。
这时比底分分增加分，其中又分多种情况。
如果恰好胜、中的一个，那么在胜、时，的得分比底分增加分，名次在之上。
假设同时、也都胜、，并且胜，胜，那么的得分比底分增加分，的得分比底分增加分，因此、、的排名均在前，即胜场并不能保证他进入前三名。
因为前面已得到胜场并不能保证他进入前三名，所以胜场的其他情况就不需要再讨论。
（三）、如果胜场，分两种情况讨论。
（）仅负于一名专业选手，比如，这时比底分增加分，而专业选手、由于被击败，每人至多比底分增加分，名次均在后面。
同时、中至少有一人（、之间的失败者），负的场数多于，从而名次在后面。
所以必定进入前三名。
（）仅负于一名业余选手，比如，按（）中所说的理由，、、的名次均在后面，所以必定进入前三名。
所以，如果胜场，必定进入前三名。
综上所述，一名业余选手至少要胜场才能保证他必定进入前三名。
评注：
本题也采用了枚举法，可见枚举法是逻辑推理问题中最常用的一种方法。
枚举一定要耐心、仔细。
例袋内有只球，其中红球只、绿球只、黄球只、蓝球只、白球只、黑球只。
任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有只同色的球，那么，从袋内摸出的球的只数至少应是多少？
分析：
如果运气好的话，一下子从袋中摸出的只球中都是红球，或都是绿球，或都是蓝球，问题就解决了。
但是，运气不是一直这样好的，所以要一定有只同色的球，必须从“最坏”处考虑。
解：
从运气“最坏”处考虑。
若一开始只黄球、只白球、只黑球全摸上了，此时已摸出只球，但只同色的球也没摸到。
接下来，又摸出只红球、只绿球、只蓝球，但还是没摸到只同色的球，此时已摸出只球。
接下来再摸出任意一只，就可摸到只同色的球，这样从袋内摸出的球的只数至少应是只。
评注：
本题应用了数学中的极端原理，也就是从问题“最坏”的情况来分析。
例在黑板上写上三个整数，然后将其中一个擦去，换上其他两数的和与的差，将这个过程重复若干次后得到，，.问一开始黑板上写出的是哪三个数？
分析：
按照操作规则，三个整数中擦去一个，换上其他两数的和与的差，若擦去的是三个整数中的较大者，那么这三个整数越来越小，若擦去的是三个整数中的较小者，那么这三个整数越来越大。
现在经过若干次操作后，结果是，，，显然我们要寻找最初最小的三个整数，因而，要擦去的是三个整数中的较大者。
因为题目告诉我们的是最后的结果，所以我们要往前推，寻找擦数的规律。
解：
按照题意，要擦去的是三个整数中的较大者。
因为现在的结果是，，，由于，所以前三数中最大的是，即为（，，）。
根据规则，有，∴
所以又知再前面的三数中最大的是，即（，，），
又根据规则，有∴。
这样，最大的数渐渐变小，直到出现比还小。
接下来，寻找擦数的规律。
设某次操作中的一组数为（，，），且<<<，则，
擦去，则有（，，），此时
这样，经过一次变换后，得（）
经过二次变换后，可得（），经过次变换后，可得（），
这说明变换的次数与最大数及最小数有关。
∵（），（），
说明经过次变换后，。
从而可知（，，）是由
（，，）经过次变换后得来的。
现在只要考虑（，，）是怎么样变换得来的。
（，，）（，，）（，，）（）（）（）（）（）（）,则一开始黑板上写的三个数是
评注：
本题是从最后状况去探索初始状况的逻辑推理问题，这是一种逆向思维的方法，关键是找出逆向的规律。
三、巩固练习
选择题
1、某学生在暑假期间观察了天的天气情况，其结果是：
（）共有天上午是晴天；（）共有天下午是晴天；（）下午下雨的那天，上午是晴天；（）共下了次雨，在上午或下午，则等于（）
、、、、
2、某中学初一年级有个课外兴趣小组，各组人数如下：
组别
人数
一天下午，学校同时举办语文、数学两个讲座。
已知个小组去听讲座，其中，听语文讲座的人数是听数学讲座人数的倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，这一组是（）
、第组、第组、第组、第组
、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲第一个写，那么，甲写数字（）时有必胜策略。
、、、、
、有、、、、五位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛一盘，比赛过程中间统计比赛的盘数知赛了盘，赛了盘，赛了盘，赛了盘，那么同学赛了（）盘
、、、、
、甲、乙、丙三个人每次从写有整数、、（<<<）三张卡片中摸出一张，并按卡片上的数字取相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行。
当它们做了（≥）次游戏后，甲有粒石子，乙有粒石子，丙有粒石子，并且知道最后一次乙摸的是，那么第一次游戏时，摸到的（）
、必是甲、必是乙、必是丙、或甲或乙
、体育馆内正在进行一场乒乓球双打比赛，观众议论双方运动员甲、乙、丙、丁的年龄：
（）“乙比甲的年龄大”；（）“甲比他的伙伴的年龄大”；（）“丙比他的两个对手的年龄都大”；（）“甲与乙的年龄差距比乙与丙的年龄差距更大些”。
根据这些议论，甲、乙、丙、丁的年龄从大到小的顺序是（）
、甲、丙、乙、丁、丙、乙、甲、丁
、乙、甲、丁、丙、乙、丙、甲、丁
填空题
、甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。
（）甲上课全用汉语；（）外语老师是一个学生的哥哥；（）丙是一个女的，比数学老师年轻。
则甲上课，乙上课，丙上课。
、某楼住着个女孩和个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁。
最大的男孩比最小的女孩大岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，那么最大的男孩是
岁。
、甲、乙两人在说李伟和江海的职业。
甲说：
“李伟是演员，江海是教师。
”乙说：
“两人之中一个是演员，另一个是教师。
”已知甲、乙两人中一个说真话，另一个说假话，则李伟是，江海是。
、个男生和个女生一起跳舞，规定男生不和男生跳舞，女生不和女生跳舞，跳舞结束后，各人记得自己跳舞的次数分别为：
，，，，，，，，，，，，，，则其中有人记错吗？
、某参观团根据下列约束条件，从、、、、五个地方选定参观地点：
（）若去地，也必须去地；（）、两地至少去一地；（）、两地只去一地；（）、两地都去或都不去；（）若去地，、两地也必须去。
则该参观团最多能去的地方是
、将、、、、、、、八个数分成两组，每组个数，并且两组数之和相等。
从组拿一个数到组后，组五个数之和将是组剩下三数之和的倍；从组拿一个数到组后，组剩下三数之和是组五个数之和的
。
则组是
组是
解答题
、在三个盒子里，一只装有两个红球，一只装有两个白球，还有一只装有一个白球一个红球。
现在三个盒子上的标签全贴错了。
你能只从一只盒子里拿出一个球来，就确定这三个盒子里各装的是什么吗？
、甲、乙、丙在南京、苏州、无锡工作，他们的职业分别是工人、农民和教师。
现已知：
（）甲不在南京工作；（）乙不在苏州工作；（）在苏州工作的是工人；（）在南京工作的不是教师；（）乙不是农民。
问三人各在什么地方工作？
各是什么职业？
、在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话。
今天甲说：
“昨天是我说谎的日子。
”乙说：
“昨天也是我说谎的日子。
”问今天是星期几？
、今有的方格表，能否在每一格中填入、、这三个数字中的一个，使得各行数字之和，各列数字之和及主对角线上数字之和，副对角线上数字之和均不相等。
、有、、支足球队，每两队都比赛一场。
比赛结果是：
两战两胜，共失球个；共进球个，失球个；有一场踢平，共进球个，失球个。
请写出每场比赛的比分。
、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：
先在三张纸片上各写三个正整数、、，使<<，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到块糖，乙总共得到块糖，丙总共得到块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字之和是，问：
、、分别是哪三个正整数？
为什么？
、两人做游戏，轮流在的表中画十字和圈。
先开始的人画十字，其对手画圈。
所有方格都画满之后，按如下方式计分：
数出这样的行和列的数目，其中十字多于圈，并将该数作为第一个人的得分，再数出其中圈多于十字的行和列的数目，作为第二个人的得分，以得分多的人为胜，试问,第一个人怎样才能取胜？
、某俱乐部有个成员，他们的名字分别是到。
这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。
某日，老师问：
“个人里面，总说谎话的有几个人？
”那天，和休息，余下的个人这样回答：
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
说：
“有个人。
”
那么，这个俱乐部的位成员中，总说谎话的有几个人？
个人整理，仅供交流学习
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