第二节一次函数的有关概念.docx
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第二节一次函数的有关概念
第二节一次函数的有关概念
知识清单：
1.正比例函数
2.一次函数
3.一次函数的一般形式
4.特定系数法（重点）
知识点1正比例函数
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，例如y=
y=
x等都是正比例函数．
温馨提示：
①正比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数解析式y=kx的结构特征：
a.k≠0，b.x的次数是1．
③一般情况下，正比例函数的取值范围是全体实数。
例1在下列函数中，是正比例函数的有（）
①
；②y=
x；③y=
；④y=
；⑤y=x-l.
A.①③B．②C．①③⑤D．①②④
知识点2一次函数
一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．如y=2x-1，y=
等都是一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时．y=kx（k为常数，k≠0）．这时，y叫做x的正比例函数．
温馨提示：
①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。
②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数．
③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．
例2函数y=
是一次函数，m，n应满足的条件是___________．
知识点3一次函数的一般形式
一次函数的—般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0.
一次函数的一般形式的结构特征：
（1）k≠0，
（2）x的次数是l，（3）常数b可以为任意实数．
温馨提示：
①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式．
②当k≠0，b=0时，这个函数既是一次函数，又是正比例函数．
③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数．
④一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程．
例3若一次函数y=kx+b，当x的值减小1时，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值（）
A．增加4B．减小4
C．增加2D．减小2
知识点4待定系数法（重点）
先设出式子中的未知系数，再根据已知条仵列出方程（组）求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数．如正比例函数y=kx中的k，一次函数y=kx+b中的k和b都是待定系数．
1．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的函数的解析式y=kx（k≠0）.
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式.
例4若正比例函数的图象经过点（-1，2），则这个图象必经过点（）
A．（1，2）B．（一1，-2）
C．（2，-1）D．（1，-2）
2．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b.
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出待定系数k，b．
（4）将求得的待定系数k，b的值代入解析式．
例5已知一次函数的图象经过（-4，15）、（6，-5）两点，求此一次函数的解析式.
温馨提示：
①一次函数y=kx+b中，有两个待定系数k、b，因而需要两个条件才能求出k、b的值．
②待定系数法求一次函数解析式往往选取的条件是图象上的两个点或实际问题中的自变量与函数的两对对应值．
方法清单：
1.一次函数的判别方法
2.解正比例关系问题的方法
3.一次函数解析式的确定方法
方法1一次函数的判别方法
要判断一个函数是否为一次函数，就要先将式子进行变形，看它能否化成y=kx+b（k≠0）的形式，即x的指数为1，x的系数k≠0，b为任意常数，若符合上述条件，则为一次函数．且当b=0时，这个函数既是一次函数，又是正比例函数．
例1下列函数中，是关于x的一次函数的有（）
;
;
y=2-x;
y=-3x;
.
A．1个B.2个C．3个D．4个
方法2解正比例关系问题的方法
两个变量y与x成正比例，则应满足y=kx（k≠0）的形式，这里的y与x可以表示任意整式．
例2已知y+l和并成正比例函数关系，且当x=3时，y=5，求，y与x的函数关系式，并求出当点（a，-1）在这个函数的图象上时a的值.
方法3一次函数解析式的确定方法
（1）待定系数法：
就是先设一次函数解析式是y=kx+b（k≠0），利用已知条件列出方程组，通过解方程组确定k、b的值，最后确定解析式．
（2）对于几何图形中的两个变量的关系，要能够结合几何图形的性质确定两个变量的关系，然后用一个变量表示出另一个变量，并注意自变量的取值范围．
（3）对于实际问题中的两个量之间的关系，要分析各个量之间存在的数量关系，并能正确用含一个量的代数式表示另一个量，同时注意自变量的取值范围。
例3如果一次函数y=kx+b的自变量z的取值范围是-2≤x≤6，相应函数值的范围是-11≤y≤9，求此函数解析式．
例4如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD边上的动点，设CM=x，梯形ABCM的面积为y，那么，y与x之间的函数关系式是___________．
例5政府现开发一个新楼盘，准备为低收入家庭改善居住环境，小明一家喜得一套住房准备贷款购买首次需付3万元，以后每月还款1000元，则小明家买房所花钱数y与还款月数x之间的函数关系式为________________。
第三节一次函数的图象与性质
知识清单：
1.正比例函数的图象特征与性质；
2.一次函数的图象特征与性质；
3.k,b的符号与直线y=kx+b的关系；
4.一次函数图象的平移；
5.一次函数与正比例函数的区别与联系。
知识点1正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线。
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象过第一、三象限
y随x的增大而增大
K<0
图象过第二、四象限
y随x的增大而减小
温馨提示：
通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k）,然后过原点和这一点画直线。
②当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
③正比例函数y=kx中，
越大，直线y=kx越靠近y轴；lkl越小，直线y=kx越靠近x轴.
例1
是正比例函数
图象上的两点，下列判断中，正确的是（）
A.
B.
C.当
D.
知识点2一次函数的图象特征与性质
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b.一方面，一次函数y=kx+b的图象可以用描点法画出；另一方面，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图象是，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便常用图象与坐标轴的两个交点（0，b）和（
，0）来画图象。
一次函数的性质
k,b的符号
函数图象
图象的性质
性质
k>0
b>0
图象过第一、二、三象限
y随x的增大而增大
b<0
图象过第一、三、四象限
k<0
b>0
图象过第一、二、四象限
y随x的增大而减小
b<0
图象过第二、三、四象限
温馨提示：
直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的，其中k决定直线从左到右呈上升趋势还是呈下降趋势；b决定直线与y轴交点的位置，是在y轴的正半轴上还是y轴的负半轴上，还是原点。
k与b综合起来决定直线y=kx+b在直角坐标系中的位置。
y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小，只取决于k的符号，与b无关。
一次函数y=kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数。
图象是一条直线，因此没有最大值与最小值。
但由实际问题得到的一次函数解析式自变量的取值范围一般受到限制，则图象为线段或射线，根据函数的性质就存在最大值或最小值。
例2关于x的一次函数y=kx+
+1的图象可能是（）
例3直线
在同一直角坐标系中的位置如图所示，点
在直线
上，点
在直线
上，点
为直线
的交点，其中
则（）
A.
B.
C.
D.
知识点3k,b的符号与直线y=kx+b的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0,则x=
即直线y=kx+b与x轴交于（
）.
当
，即k,b异号时，直线与x轴交于正半轴；
当
，即b=0时，直线经过原点；
当
，即k,b同号时，直线与x轴交于负半轴。
温馨提示：
①直线y=kx+b（k≠0）与x轴交点为（
，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积
.
两直线
与
的位置关系
a．当
，
时，两直线平行；
b．当
，
时，两直线重合；
c．当
，
时，两直线交于y轴上一点；
d．当
时，两直线垂直．
例4关于x的一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是____________．
知识点4一次函数图象的平移
直线y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直线y=kx（k≠0）向上或向下平移得到，当b>0时，将直线y=kx沿y轴向上平移b个单位长度得到直线y=kx+b;当b<0时，将直线y=kx沿y轴向下平移
个单位长度，得到直线y=kx+b．
温馨提示：
①对于直线
如果
，那么这两条直线平行，显然这两条直线可通过平移互换位置。
②一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“+”）、’下（“-”）平移m（m>0）个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“+”）、右（“-”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b.一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示方式。
例5如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。
知识点5一次函数与正比例函数的区别与联系
正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的直线
直线
k,b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；
b的符号决定直线与y轴的交点的位置；
k,b的符号共同决定直线经过的象限。
求解析式的条件
只需要一对x,y的对应值或一个点的坐标
需要两对x,y的对应值或两个点的坐标
联系
正比例函数是特殊的一次函数；
正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需要两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可。
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移
个单位长度得到的。
由此可知直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）平行。
一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a.当k>0时，y的值随x的增大而增大；b.当k<0时，y随x的值的增大而减小。
方法清单：
1.一次函数的图象与性质的应用方法
2.由k，b的值确定直线的位置及增减性的方法
3.一次函数的平移规律的应用方法
4.计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法
5.利用一次函数图象解决实际问题的方法
6.一次函数的交点坐标的实际应用方法
方法1一次函数的图象与性质的应用方法
（1）从函数图象的形状可以判断函数的类型．对于实际问题中的正比例函数和一次函数的图象，大多为线段或射线，因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定限制的，即自变量的取值范围必须使实际问题有意义．
（2）-次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要是指函数的增减性，即y随并的变化情况，它只和k的符号有关，与b的符号无关，k>0；y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小．反之，若y随x的增大而增大，则必有k>0;若y随x的增大而减小，则必有k<0．
例1已知关于x的一次函数
的图象如图所示，则
可化简为_________________________。
方法2由k,b的值确定直线的位置及增减性的方法
直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限；若b=0，则直线y=kx+b经过原点及第一、三象限；若b<0,则直线y=kx+b经过第一、三、四象限。
当k<0时，y随x的增大而减小，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一、二、四象限；若b=0时，则直线y=kx+b经过原点及第二、四象限；若b<0,则直线y=kx+b经过第二、三、四象限．
例2一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6,那么该直线经过（）
A．第二、四象限B．第一、二、三象限
C.第一、三象限D．第二、三、四象限
方法3一次函数的平移规律的应用方法
根据平移规律可得：
将y=kx向上或向下平移
个单位就得到直线y=kx±b，若将y=kx向左平移m（m>0）个单位，得到直线y=k（x+m,），即y=kx+km.若将y=kx向右平移m个单位（m>0），得到直线y=k（x-m），即y=kx-km，遵循这一规律就可直接求出所求直线方
程了．
例3如图，把直线y=-2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（a，b），且2a+b=6，则直线AB的解析式是（）
A．y=-2x-3B.y=-2x-6
C.y=-2x+3D.y=-2x+6
方法4计算与坐标轴围成的三角形的面积的方法
这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或者一次函数图象的前提下，求图象与坐标轴围成的三角形的面积。
在这类问题中，可直接应用三角形顶点坐标求面积。
例4在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫做此一次函数的坐标三角形．如图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B．则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y=
x+3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y=
x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．
方法5利用一次函数图象解决实际问题的方法
把实际问题转化为一次函数图象问题，是近年中考的热点，要求学生结合具体情境体会一次函数的意义，并从不同角度深刻体会对函数意义的考查，体现了数学的价值．
例5某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）出租车的起步价是多少元？
当x>3时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程。
方法6一次函数的交点坐标的实际应用方法
一次函数的交点坐标的实际应用问题实质是方程思想在函数中的具体体现，而一次函数的交点坐标是两个一次函数联立形成的二元一次方程组的解．一函数的交点坐标的实际意义往往是解决问题的关键。
例6在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港距离分别为
（km），
与x的函数关系如所示．
（1）填空：
A、C两港口间的距离为____km，a=_________________；；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．
单元总结
一次函数问题是中考的必考问题，一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价
值，近年来一直是中考命题的热点．
一次函数应用题考查的最主要考点集中在四个方面：
（1）学生对数形结合的认识和理解；
（2）将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；（3）分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法：
（4）对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化
能力．
一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：
（1）方案设计问题（物资调配、方案比较）；
（2）分段函数问题（分段价格、几何观点）；（3）一次函数多种变化及其最值问题．
1.数形结合思想
数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合思想在解决与一次函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
例1星期天小明和小亮骑自行车到郊外旅游景点游玩，小明先走了1小时20分钟后小亮开始追赶他，图中
表示小明和小亮离开学校的距离y（km）与追赶时间x（h）之间的关系．
（1）哪条线表示小亮离开学校的距离y与追赶时间x之间的关系？
（2）小明和小亮的速度分别是多少？
（3）若学校到旅游景点是30km，小亮能否在小明到达景点之前追上小明？
2．转化的思想
在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，是利用一次函数解决问题的典型题目，它的实质是将比较函数值的大小问题转化为解方程或解不等式的问题加以解决.
例2南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价
（元）与铺设面积x（
）的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价
（元）与铺设面积x（
）满足函数关系式：
.
（1）根据图象写出甲工程队铺设广场砖的造价
（元）与铺设面积x（
）的函数关系式；
（2）如果狮山公园铺设广场的面积为1600
，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？
3．利用一次函数最值解决最优化问题的方法
最值问题是中考中的热点与难点问题．我们知道，一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）中的自变量x的取值范围是全体实数，其图象是一条直线，所以函数既没有最大值,也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限
制，其图象为线段或射线，故其就有了最值，在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值．
例3某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题。
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车运载量/吨
8
6
5
每吨土特产获利/百元
12
16
10
（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，，求y与x之间的函数关系式．
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？
并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用
（2）中哪种安排方案？
并求出最大利润的值．
4．构造一次函数模型解决动态几何问题的方法
在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些问题能够用一次函数来综合解决图形运动的变化规律，解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力、综合分析能力。
例4如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，设△ADP的面积为y，则下列图象中能表示y关于x的函数关系的是（）
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