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论文三稿1
菏泽学院
HezeUniversity
本科生毕业设计（论文）
题 目
三次数学危机及其对数学发展的影响
姓 名
汤静学号2012072012
院系
菏泽学院数学系
专 业
数学与应用数学
指导教师
贾冠军职称教授
2014年5月日
菏泽学院教务处制
目录
摘要……………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………………………………1
Keywords……………………………………………………………………………………1
引言……………………………………………………………………………………………1
1第一次数学危机……………………………………………………………………………2
1.1毕达哥拉斯及其毕达哥拉斯学派………………………………………………………2
1.2第一次数学危机的出现…………………………………………………………………3
1.3第一次数学危机的解决…………………………………………………………………4
1.4第一次数学危机的影响…………………………………………………………………4
2第二次数学危机…………………………………………………………………………5
2.1微积分……………………………………………………………………………………5
2.2第二次数学危机的出现…………………………………………………………………6
2.3第二次数学危机的解决…………………………………………………………………8
2.4第二次数学危机的影响…………………………………………………………………8
3第三次数学危机…………………………………………………………………………8
3.1集合论……………………………………………………………………………………8
3.2第三次数学危机的出现…………………………………………………………………9
3.3兔、蛙、鼠之战…………………………………………………………………………10
3.4第三次数学危机对数学发展的影响…………………………………………………11
总结……………………………………………………………………………………11
参考文献……………………………………………………………………………………11
致谢……………………………………………………………………………………11
三次数学危机及其对数学发展的影响
数学与应用数学专业学生殷蕾
指导教师贾冠军
摘要一门学科想要充满生命力就必定充满了大量的问题，缺乏问题预示着独立发展的衰亡或者终止.人们的社会实践活动是数学发展的主要动力，人们的认识是在实践与探索的历史长河中不断深化的，但是人们的认识又有一定的局限性，存在着矛盾的斗争与解决，当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机.在数学史上，一共发生了三次数学危机，而这三次数学危机从产生到消除，经历的时间以及对数学发展的影响各不相同，都极大地推动了数学的发展.探究这三次数学危机的历史根源、思想背景，分析危机解决给数学带来的巨大促进作用，对了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的思想方法无疑具有十分重要的意义.
关键词数学危机数学发展无理数微积分集合论
Threemathematicalcrisesanditsimpactondevelopmentofmathematics
StudentmajoringinMathematicsandappliedmathematicsYinLei
TutorJiaGuanjun
AbstractAslongasadisciplinewasfilledwithalotofproblems,heisfullofvitality,lackofproblemindicatesthedeclineandfallofindependentdevelopmentortermination.Themaindynamicmathematicaldevelopmentispeople’ssocialpractice,practiceandexplorationinthelongriverofhistory,theunderstandingofpeopleisthedeepeningofpeople’sunderstanding,butalsohascertainlimitation,therearecontradictionsandsolve,whenthecontradictionstoinvolvethewholemathematicsfoundation,willproducethemathematicalcrisis.Inthehistoryofmathematics,atotalofthreemathematicalcrisis,whichthethreemathematicalcrisiseliminatedfromgenerationtoexperience,thetimeandtheeffectonthedevelopmentofmathematicsarenotthesame,greatlypromotedthedevelopmentofmathematics.Thought,explorethehistoricalrootsofthethreemathematicalcrisisbackground,analysisofcrisisresolutiontobringtremendousroleinpromotingmathematics,lovelysceneswayofthinking,tounderstandthedevelopmentofthedisciplineofmathematicsunderstandingofmathematicsisundoubtedlyofgreatsignificance.
KeywordsMathematicalcrisisTheDevelopmentofMathematicsIrrationalnumberInfinitesimalcalculusSettheory
引言
随着历史的发展、社会的不断进步，人们意识形态也在不断地发展、进步.数学作为一门科学，其自身同样也经历了一系列的演化、发展.数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学，通过抽象化和逻辑化推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形态及运动的观察中产生.
数学这门学科始终围绕着数与形而展开，在人类文明的早期，人们开始认识自然数、整数、有理数，正方形、三角形、一般直线形以及特殊的曲线形如圆、椭圆、抛物线等.数与形的结合经历了从有限到无限的过程，最终归结为集合，使集合论成为现代数学的基础.
数学的发展并非一帆风顺，而是处处充满了危机.所谓危机，是事物的一种已激化的非解决不可得矛盾，它深刻地影响着事物的运动、变化与发展.数学虽然以精确严密著称，但矛盾无处不在，例如正数与负数，有理数与无理数，有限与无限，连续与间断，微分与积分，等等.当数学中的矛盾激化到影响数学基础时，即产生数学危机.每消除、解决一次数学危机，都会极大地促进了数学的飞跃与发展.
数学是一棵巍然挺立的、古老的、常青的大树，在众多数学工作者的浇灌下蓬勃发展，枝繁叶茂.究其数学发展的动力和原因，是多方面的，但人类的实践活动是推进数学发展的主要动力.三次数学危机都产生于人们对数学的研究探索过程中，对于危机的探索解决又推动了数学更多更快的发展.本文仅就数学史中三次数学危机的起因、影响及其对数学发展的影响作一初步的探讨.
1第一次数学危机
1．1毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯古希腊著名的数学家，他一手创建的毕达哥拉斯学派对数学的贡献不仅来自具体的数学研究，还在于他们的数学思想产生的深远影响.
毕达哥拉斯是音乐理论的鼻祖，他用数学观点研究音乐.他也是天才的教育家，但是他最重要的影响还是表现在他的数学发现及数学思想上.作为古希腊著名的数学家，毕达哥拉斯最重要的数学成果是证明了勾股定理.
毕达哥拉斯一手创建的宗教、政治、学术合一的毕达哥拉斯学派具有深远的历史意义.在毕达哥拉斯的领导下，该学派进行了多方面的研究工作.学派中有一种习惯，就是将一切发明都归之于学派的领袖，而且密不可宣，以致后人不知是何人在何时所发明的.
毕达哥拉斯本人没有留下什么著作，而学派内部的发明创造又秘而不宣，因此外人鲜知其祥.后来，组织渐渐分散，保密的教条被放弃，一些公开讲述这一学派教义的著作开始出现.于是，毕达哥拉斯及其学派的思想和学说逐渐为人所知.人们发现，他留给后人的是一份极为丰富的遗产.
毕达哥拉斯创建的学派在他生前与死后都进行了大量的数学研究，并取得了众多的数学发现.他们的成果后来被欧几里得收入《几何原本》中，成为希腊数学的重要组成部分.[2]
毕达哥拉斯学派对数做过深入的研究，他们对数的性质及数与数之间的特殊关系进行了深入的研究，这种研究现在被归入一门数学分支——数论——之中.毕达哥拉斯学派对整数（当时没有负数和零，所以此时整数即现在的正整数）进行了多种分类，并定义了许多概念.如他们把整数分为奇数与偶数，素数与合数等.此外，他们还定义并找出了部分完全数与亲和数.[7]完全数与亲和数概念提出以后吸引了不少的数学家寻找出更多的完全数与亲和数.后来经过数学家欧几里得与欧拉联手，人们已经清楚了偶完全数具有的特征.但时至今日，人们却一直没有发现奇完全数的存在.于是是否存在奇完全数就成为数论中至今仍寻而未决的一大难题.
毕达哥拉斯学派热衷的还有一类数，现在人们称为形数.他们通过借助直观的图形分析，发现了许多数的性质。
他们热衷于对数形性质的研究.
在几何方面，毕达哥拉斯学派也取得了很多成就.他们建立了关于三角形多边形的理论，包括三角形全等定理、三角形内角和为
，可能还推证了多边形内角和定理；建立了平行线理论、相似理论等。
他们对圆与球的一些定理也有所了解.
研究了正多边形覆盖平面、以立方体填满空间以及正五边形、正十边形的作图等问题.发现了五种正多面体：
正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体与正二十面体.
对于该学派最有名的还是对于勾股定理的证明，西方人认为是毕达哥拉斯最早证明了这一结论，所以称勾股定理为毕达哥拉斯定理.通过勾股定理而发现“不可公度量”（即无理数），是这一学派对数学的最大贡献.然而就是这一发现引出了数学上的另一重要发现（无理数），在西方数学界掀起了一场巨大的风波.
1．2第一次数学危机的出现
毕达哥拉斯最重要的数学成果就是证明了勾股定理，然而就是这一定理撼动了毕达哥拉斯学派的数学信仰，并引起了一场轩然大波，即后来的第一次数学危机.
毕达哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念，在他们看来，一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”.他们对于两条线段的长度比较如下.现有线段
和线段
，如果出现
恰好包含
的正整数
倍，那么可以直接用
作为两者的共同度量单位.如果
的整数倍不等于
，找一条小线段
，使
可以分成
的某整数倍，同时使
可以分成
的另一整数倍，那么毕达哥拉斯学派就把小线段
作为
与
的共同度量单位，并说线段
与
是可公约或可公度量的.[1]
大约在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：
等腰直角三角形的直角边与其斜边不可通约.至于这一发现的细节具有浓厚的神秘色彩，后人甚至不知道在这一过程中希帕索斯到底使用了什么样的证明.十有八九是一种几何证明而不是代数证明，因为对于几何学的研究是毕达哥拉斯学派的主要兴趣.当然另一个原因在于他们还没有掌握代数语言.
希帕索斯的发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条.不可通约量的发现表明有些量不能用数来表示，这就宣告了他们“一切事物和现象都可以归结为整数与整数的比”的数的和谐论的破产；而他们那建立在数的和谐论上的对宇宙本质的认识也是虚妄的.这一发现还摧毁了建立在“任意两条线段都是可约量的”这一观点背后的数学观点.希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以“淹死”的惩罚.
面对不可公度量，古希腊人陷入困惑与混乱之中.更糟糕的是，面对由不可公度量带来的多重毁灭性打击，人们竟然毫无办法.这就是当时直接引起人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.
1．3第一次数学危机的解决
第一次数学危机的发生使得古希腊人陷入了彷徨之中.在面临着挑战之时，大约200年后，一位伟大的数学家的出现使得问题解决，带人们进入了一片新的乐土.
约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克索斯（约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题.欧多克索斯通过建立即适合于可通约线段，也适用于不可通约线段的完整的比例论，把由于不可通约量的出现而引起的数学危机解决了.他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度量和不可公度量.他处理不可公度量的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷收录,并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致.
无理数的存在，在许多民族的数学发展过程中都遇到了.我国古代对待及处理无理数的方式，可在经典著作《九章算术》中寻找到答案.因为在我国，数学研究侧重于实用的计算技术，在数的理论方面却是漠然置之.中国古代在发现开方不尽的数的存在后，很快将重点转向考虑在实际中如何去使用这一类数.所以，如何求出这类数的更精确的近似值成为中国古代数学家专注的目标.
1．4第一次数学危机的影响
从勾股定理的证明，到毕得格拉斯悖论，数学被卷入了第一次数学危机的漩涡，，最终在欧多克索斯的拯救下得以摆脱危境.
经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：
直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的，推理论证才是可靠的，证明的思想在希腊人心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识.这些数学思想的固化过程中，柏拉图起到了重要的作用，他的学生亚里士多德又使得这些思想得到了极大地发展和完善.
古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，对无理数建立了严密的理论，并由此建立了几何学大厦.而因为无理数作为数没有可靠的逻辑基础，所以他们对无理数采取了完全回避的方式.这一解决方案为西方数学的发展带来了许多负面的影响.
最重要的影响是，从欧几里得以后，代数与几何这数学中的两大分支被严格区分开来，使得算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到了充分的发展.另外，原本能紧密结合在一起的数与形也被割裂开了.
过分追求严谨性的古希腊人，在数学发展的另一重要方面——数系的扩展上——突然止步了.圆满解决这场危机，还有待于无理数地位在数学中的牢固确立，而这还需要经历极为漫长的时间.
2第二次数学危机
2．1微积分
微积分是人类数学史上的伟大成果之一，诞生于17世纪，完善于19世纪。
这一震撼人心的成果却有着一个长期的奋斗历程.微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去的很多用初等数学无法解决的问题，运用微积分，这些问题往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力.
公元前五世纪古希腊的安提丰首创“穷竭法”，用来解决化圆为方的问题，因此成为古希腊“穷竭法”的始祖.而欧多克索斯则对“穷竭法”做了补充和完善，使得此方法成为古希腊数学家证明面积体积定理时经常使用的一种得力的几何方法.
对于这方面，中国也毫不逊色.公元前7世纪《庄子》中言论蕴涵了无限、极限等微积分思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念.刘徽我国古代著名的数学家，他的极限思想和无穷小方法在他的《九章算术》中都有体会，是古代极限思想的深刻体现。
[10]
积分思想源自于欧多克索斯的穷竭法.古希腊最接近积分的是阿基米德求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，实际上他的方法是无穷级数求和最早的例子.
这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可以找到.刘徽我国古代著名的数学家，《九章算术》的刘徽注是我国古代数学上的划时代著作，其中包含了刘徽丰富多彩的创见与发明.在数系理论方面，他扩充数系和建立数的运算理论.在算术方面，他引进了用十进分数形式给出的十进小数；在分数、负数、无理数问题上他都提出了一些真知灼见；在线性方程组解法中，他创造了解线性方程组的互乘相消法与方程新术；刘徽还研究过等差级数，并且得出求和公式.在几何方面，他证明来了圆面积公式，对圆周率进行了推算；对多面体、圆锥、球等的体积进行了研究.另外，刘徽发展完善了重差理论.“重差”是利用我们前面提到的勾股术进行测量的一种方法.除了这些具体的数学成果之外，以现代的观点看来，刘徽更主要的贡献在于他的数学思想和方法.
刘徽的微积分思想，是中国古代数学园地里一株璀璨的奇葩,其极限思想之深刻，是前无古人的.
北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究.特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差数”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、孤失割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两个阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键.[5]
早在2500多年前，东西方都已萌发了微积分思想的萌芽.随后阿基米德、刘徽各自为西方与中国微积分的发展开辟了道路.然而，直到十多个世纪以后，才有人继续他们的工作.这期间漫长的时间是微积分发展的一个蛰伏期.微积分的历史很早就开始了，其主要原因在于人们不得不面对求曲边形的面积和立体体积.这些问题的求解成为积分概念形成的重要源泉.
数学最早起源于东方各文明古国.古希腊的数学发展迅速，从公元前6世纪开始，成为当时世界数学的发展中心.在经过17世纪半个多世纪的酝酿后，作为一门新学科的微积分已呼之欲出.然而，它的最终喷涌而出却需要有人能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，完成微积分发明中最后的也是最关键的一步.
微积分的发明、制定是牛顿最卓越的数学成就.1665年11月，牛顿发明了流数术，次年5月又建立了反流数术.对流数术牛顿后来做了如下解释：
“我把时间看作是连续流的流动或增长，而其他量则随着时间而连续增长.我从时间的的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息性出发，把任何其他量在瞬息时间内产生的部分称之为瞬”.所以，他所创造的微积分称为流数术.
所谓微积分基本定理，实际上就是一座架设在微分和积分之间的桥梁，它将微分与积分真正沟通起来，明确了两者的内在连续：
微分和积分是互逆的两种运算而这正是建立微积分学的关键所在.
莱布尼兹从1672年开始认真研究数学，随后在巴黎的4年是他在数学方面“发明创造的黄金时代”.正是这段时间，他构想出他所建立的微积分的主要特征.他把微积分看作变量相邻两值无限小的差，而积分则是由变量分成无穷多个微分之和.事实上，莱布尼兹把最初的微积分就称为求差的方法与求和的方法.除独立创建微积分外，莱布尼兹还在很多方面发展了这门新的数学分支.如研究了无穷级数；在微分方程方面于1691年提出常微分方程的分离变量法.
在前人工作的基础上，英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别研究和完成了微积分的创建工作.
2．2第二次数学危机的出现
微积分是人类智慧的伟大结晶，正如革命导师恩格斯所说：
“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看做人类精神的最高胜利了.如果在某个地方看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里”.它的发明开辟了数学上的一个新纪元，标志着数学由常量数学向变量数学的重要转变.它的诞生也是整个人类历史上的一件大事，它从生产和科学的需要中产生，回过头来又深刻地影响了生产技术和自然科学的发展.
不过，在微积分创立之初，无论是牛顿还是莱布尼兹的工作都还不完善.因而，导致许多人的批评.如1695年，荷兰数学家纽汶帝（1654-1718）在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等.[9]法国数学家罗尔（1652～1718）也对微积分表示怀疑.然而，抨击微积分基础言辞最有力的是爱尔兰主教贝克莱.他对微积分强有力的批评，对数学界产生了最令人震撼的撞击.
贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：
就无穷小量在当时实际应用而言，它必须是0，又不是0.但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾.
对于无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题，那些曾具体从事微积分研究的数学家们早就有过这样或那样的思考，在他们之间并展开过激烈的讨论和争论.关键问题就是无穷小量究竟是不是零？
无穷小及其分析是否合理？
从数学的角度看我们又只有从更为广泛的角度去进行考察，特别是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化，才能更好地理解围绕无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵.
无穷小量究竟是不是零？
两种答案都会导致矛盾.牛顿对它曾作过三种不同解释：
1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替.但是，他始终无法解决上述矛盾.莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁.
英国大主教贝克莱1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的”.他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”.贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索.
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。
例如，罗尔曾说：
“微积分是巧妙的谬论的汇集”.在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象.
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠.其中特别是：
没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等.
2．3第二次数学危机的解决
微积分刚刚创建时期，概念比较粗糙，可靠性受到怀疑，贝克莱悖论更是导致了第二次数学危机的产生.为了消除贝克莱悖论，18世纪的数学家们做出了许多不成功的努力.虽
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