甘肃省兰州市学年九年级上学期期末数学试题.docx

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甘肃省兰州市学年九年级上学期期末数学试题

甘肃省兰州市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　）

A．平行四边形B．菱形C．梯形D．正方形

2．等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为（）

A．22B．17C．13D．17或22

3．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）

A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

4．从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．下列函数的图象，不经过原点的是（　　）

A．

B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．

6．一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7．下列四个点,在反比例函数y=

图象上的是（   ）

A．（1,-6）B．（2,4）C．（3,-2）D．（-6,-1）

8．已知关于x的函数y＝k（x+1）和y＝﹣

（k≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

9．若

，则锐角α＝_____．

10．方程（x-3）2=4的解是

11．某学校的初三

（1）班，有男生20人，女生23人．现随机抽一名学生，则：

抽到一名男生的概率是_____．

12．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为_____cm2．

13．反比例函数

的图象在一、三象限,则

应满足_________________.

14．用配方法解方程x2﹣2x﹣6＝0，原方程可化为_____．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA＝_____．

16．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．

17．已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______________．

18．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a_____0，b_____0，c_____0．

三、解答题

19．计算：

20．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：

DC＝2：

1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．

21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝

，AE⊥BD于点E，求OE的长．

22．在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．求证：

四边形AECF是菱形．

23．如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．

24．天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B测得仰角为60°，已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度.（结果精确到0.1米）

25．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？

最大利润是多少？

26．如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．

（1）求m的值；

（2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝

AC，同理FG∥AC，FG＝

AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案．

【详解】

解：

连接AC、BD，

∵E是AD的中点，H是CD的中点，

∴EH＝

AC，

同理FG＝

AC，

∴EH＝FG，

同理EF＝HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了中位线的性质,平行四边形的判定,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.

2．A

【分析】

分4是腰长和底边两种情况讨论求解即可．

【详解】

解：

4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，

∵4+4=8＜9，

∴不能组成三角形，

4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，

能组成三角形，

周长=4+9+9=22，

综上所述，该等腰三角形的周长为22．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

3．B

【详解】

由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×2=4cm.

考点：

含30°的直角三角形的性质.

4．A

【分析】

从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一．

【详解】

解：

∵既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，

∴P（既是2的倍数，又是3的倍数）＝

．

故选：

A．

【点睛】

本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.

5．D

【分析】

根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上．

【详解】

解：

A、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；

B、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；

C、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；

D、当x＝0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）．故本选项正确．

故选：

D．

【点睛】

本题考查了函数的图象,熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.

6．B

【解析】

【分析】

作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．

【详解】

如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AB=DC，∠B=∠C，

∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，

∴AEFD为矩形，

∴AE=DF，AD=EF，

∴△ABE≌△DCF，

∴BE=FC，

∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，

∴BE=6，

∵AE=6，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°.

故选B.

【点睛】

此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.

7．D

【解析】

由

可得xy=6，故选D．

8．A

【分析】

先根据反比例函数的性质判断出k的取值，再根据一次函数的性质判断出k取值，二者一致的即为正确答案．

【详解】

解：

当k＞0时，反比例函数的系数﹣k＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；

当k＜0时，反比例函数的系数﹣k＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．

故选：

A．

9．45°

【分析】

首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．

【详解】

解：

∵

，

∴cosα＝

，

∴α＝45°．

故答案是：

45°．

【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.

10．1或5

【解析】

方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x-3=±2，然后求出方程的两个根．

解：

（x-3）2=4

x-3=±2

x=3±2，

∴x1=1，x2=5．

故答案是：

x1=1，x2=5．

本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，方程的左边的一个完全平方的形式，右边是一个非负数，两边直接开平方，得到两个一元一次方程，求出方程的根．

11．

【分析】

随机抽取一名学生总共有20+23＝43种情况，其中是男生的有20种情况．利用概率公式进行求解即可．

【详解】

解：

一共有20+23＝43人,即共有43种情况,

∴抽到一名男生的概率是

．

【点睛】

本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.

12．32

【分析】

根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．

【详解】

解：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AC＝BD＝8cm，AC⊥BD，

∴正方形ABCD的面积＝

×AC×BD＝32cm2，

故答案为：

32．

【点睛】

本题考查了求解菱形的面积,属于简单题,熟悉求解菱形面积的特殊方法是解题关键.

13．

【分析】

根据条件反比例函数

的图象在一、三象限,可知k+2＞0，即可求出k的取值.

【详解】

解：

∵反比例函数

的图象在一、三象限,

∴

＞0，

∴k+2＞0，

∴

故答案为：

【点睛】

难题考察的是反比例函数的性质，图象在一三象限时k＞0,图象在二四象限时k＜0.

14．（x﹣1）2＝7

【分析】

方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可得到结果．

【详解】

解：

方程变形得：

x2﹣2x＝6，

配方得：

x2﹣2x+1＝7，即（x﹣1）2＝7．

故答案为：

（x﹣1）2＝7．

【点睛】

本题考查了配方法求解方程,属于简单题,熟悉配方的方法是解题关键.

15．

【分析】

根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．

【详解】

解：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA＝

故答案为：

．

【点睛】

本题考查了求解三角函数,属于简单题,熟悉正弦三角函数的定义是解题关键.

16．8

【分析】

先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解．

【详解】

解：

如图，∵菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC＝6cm，

∴AB＝20÷4＝5cm，AO＝

AC＝3cm，

又∵AC⊥BD，

∴BO＝

＝4cm，

∴BD＝2BO＝8cm．

故答案为：

8．

【点睛】

本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.

17．a＜2且a≠1．

【分析】

利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围．

【详解】

试题解析：

∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，

解这个不等式得，a＜2，

又∵二次项系数是（a-1），

∴a≠1．

故a的取值范围是a＜2且a≠1．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．

18．＜＜＞

【分析】

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：

由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；

因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x＝

＜0，又因为a＜0，

∴b＜0；

由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

∴c＞0．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质,属于简单题,熟悉二次函数的图象是解题关键.

19．1+

【分析】

原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

【详解】

解：

原式＝1﹣1+3﹣2+3×

＝1+

【点睛】

本题考查了三角函数的化简求值,属于简单题,熟悉绝对值、零指数幂、负整数指数幂的法则是解题关键.

20．2.6cm

【分析】

先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．

【详解】

解：

过点D作DE⊥AB于E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC

∴CD＝DE

又BD：

DC＝2：

1，BC＝7.8cm

∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．

∴DE＝DC＝2.6cm．

∴点D到AB的距离为2.6cm．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.

21．1

【分析】

矩形对角线相等且互相平分，即OA＝OD，根据∠AOD＝60°可得△AOD为等边三角形，即OA＝AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．

【详解】

解：

∵对角线相等且互相平分，

∴OA＝OD

∵∠AOD＝60°

∴△AOD为等边三角形，则OA＝AD，

BD＝2DO，AB＝

AD，

∴AD＝2，

∵AE⊥BD，∴E为OD的中点

∴OE＝

OD＝

AD＝1，

答：

OE的长度为1．

【点睛】

本题考查了矩形对角线的性质,利用矩形对角线相等是解题关键.

22．见解析

【解析】

试题分析：

首先根据题意画出图形，再证明

≌

进而得到

再根据垂直平分线的性质证明

可得四边形

是菱形．

试题解析：

证明：

如图所示，

∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

又∵在矩形ABCD中,AD

BC，

∴∠1=∠2

∴在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF，

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AF=CF，

∴AE=CE=AF=CF，

∴四边形AECF是菱形．

点睛：

菱形的判定方法：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

四条边相等的四边形是菱形.

23．长方框的宽度为10厘米

【分析】

设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【详解】

解：

设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，

依题意，得：

（80﹣2x）（60﹣2x）＝

×80×60，

整理，得：

x2﹣70x+600＝0，

解得：

x1＝10，x2＝60（不合题意，舍去）．

答：

长方框的宽度为10厘米．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24．47.3米

【解析】

试题分析：

过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设AD=x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公共边CD构造等量关系，解三角形可得AD、BD与x的关系；借助AB=AD-BD构造方程关系式，进而可求出答案．

试题解析：

过点C作CD⊥AB，交AB于点D；设CD=x，

在Rt△ADC中，有AD=

=CD=x，

在Rt△BDC中，有BD=

x，

又有AB=AD-BD=20；即x-

x=20，

解得：

x=10（3+

）≈47.3（米）.

答：

气球离地面的高度CD为47.3米．

25．

（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【分析】

（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；

（2）由

（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．

【详解】

（1）y=w（x﹣20）

=（﹣2x+80）（x﹣20）

=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．

∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．

答：

当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【点睛】

本题考查的是二次函数的应用．

（1）根据题意得到二次函数．

（2）利用二次函数的性质求出最大值．

26．

（1）1；

（2）B（﹣

，0）；（3）D的坐标是（

，1）或（

，﹣1）或（

，﹣1）

【分析】

（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用方程来求m的值；

（2）令y＝0，则通过解方程来求点B的横坐标；（3）利用三角形的面积公式进行解答．

【详解】

解：

（1）把A（1，0）代入y＝﹣2x2+x+m，得

﹣2×12+1+m＝0，

解得m＝1；

（2）由

（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣2x2+x+1．

令y＝0，则﹣2x2+x+1＝0，

故x＝

＝

，

解得x1＝﹣

，x2＝1．

故该抛物线与x轴的交点是（﹣

，0）和（1，0）．

∵点为A（1，0），

∴另一个交点为B是（﹣

，0）；

（3）∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+x+1，

∴C（0，1），

∴OC＝1．

∵S△ABD＝S△ABC，

∴点D与点C的纵坐标的绝对值相等，

∴当y＝1时，﹣2x2+x+1＝1，即x（﹣2x+1）＝0

解得x＝0或x＝

．

即（0，1）（与点C重合，舍去）和D（

，1）符合题意．

当y＝﹣1时，﹣2x2+x+1＝﹣1，即2x2﹣x﹣2＝0

解得x＝

．

即点（

，﹣1）和（

，﹣1）符合题意．

综上所述，满足条件的点D的坐标是（

，1）或（

，﹣1）或（

，﹣1）．

【点睛】

本题考查了抛物线的图象和性质,解答（3）题时，注意满足条件的点D还可以在x轴的下方是解题关键．