学年浙教版八年级数学上册习题第2章特殊三角形.docx

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学年浙教版八年级数学上册习题第2章特殊三角形

第2章　特殊三角形

2．1　图形轴对称

01　　基础题

知识点1　轴对称图形及其性质

1．（余杭区仁和中学期末）下列图形是轴对称图形是（A）

　A　　　　B　　　　　C　　　　D

2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴图形是（A）

　A　　　　　　B　　　　　C　　　D

3．如图，直线MN是四边形AMBN对称轴，点P是直线MN上点，下列说法错误是（B）

A．AM＝BM

B．AP＝BN

C．MN垂直平分线段AB

D．∠ANM＝∠BNM

知识点2　轴对称及其性质

4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN成轴对称是（B）

　　A　　　　　　　　　B

　　C　　　　　　　　　D

5．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中，不一定正确是（B）

A．AC＝A′C′

B．AB∥B′C′

C．AA′⊥MN

D．BO＝B′O

知识点3　画轴对称图形

6．如图所示，已知△ABC和直线MN.求作：

△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）

解：

如图所示．

知识点4　轴对称应用

7．如图所示，MN是线段AB垂直平分线，点C在MN外，且与点A在MN同一侧，BC交MN于点P，则（C）

A．BC＞PC＋AP

B．BC＜PC＋AP

C．BC＝PC＋AP

D．BC≥PC＋AP

8．如图，村庄A，B位于一条小河两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村路程最近？

解：

略．

　视频讲解

02　　中档题

9．如图，在直角△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将直角△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上B′处，则∠ADB′等于（D）

A．25°B．30°C．35°D．40°

第9题图　　　第10题图

10．如图是一台球桌面示意图，图中小正方形边长均相等，黑球放在图示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞序号是（A）

A．①B．②C．⑤D．⑥

11．如图，正方形ABCD边长为4cm，则图中阴影部分面积为8cm2.

第11题图　　第12题图

12．如图所示，直线l是四边形ABCD对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：

①AB∥CD；②AB＝BC；③AB⊥BC；④AO＝OC，其中正确结论是①②④．（填序号）

13．在4×4方格中，有五个同样大小正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成新图案是一个轴对称图形，请给出三种不同画法．

解：

如图所示：

14．如图，P是∠AOB内任一点，以OA，OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后点P1，P2，连结P1P2，分别与OA，OB相交于点C，D.若P1P2＝8cm，求△PCD周长．

解：

根据轴对称变换性质，

可知PC＝P1C，PD＝P2D，

∴△PCD周长为PC＋CD＋PD＝P1C＋CD＋P2D＝P1P2＝8cm.

03　　综合题

15．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A′与A重合．

（1）若∠A＝75°，则∠1＋∠2＝150°；

（2）若∠A＝n°，则∠1＋∠2＝2n°；

（3）由

（1）

（2）探索∠A与∠1＋∠2之间数量关系，并说明理由．

解：

∠1＋∠2＝2∠A.

理由如下：

∵∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，

又∵∠AED＋∠A′ED＋∠1＝180°，

∠ADE＋∠A′DE＋∠2＝180°，

∴∠1＋∠2＋2（∠AED＋∠ADE）＝360°.

∴∠1＋∠2＋2（180°－∠A）＝360°.

∴∠1＋∠2＝2∠A.

2.2　等腰三角形

01　　基础题　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　等腰（等边）三角形及相关概念

1．若△ABC三边a，b，c满足关系式（a－b）2＋（b－c）2＝0，则△ABC是（C）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．锐角三角形

2．等腰三角形周长是16，底边长是4，则它腰长是（B）

A．4B．6

C．7D．8

3．如图，在△ACD中，若AD＝DC，则腰是AD，DC，底角是∠DAC，∠DCA；若AB＝BD＝BC，则图中除了△ABC是等腰三角形外，还有△ABD，△BCD是等腰三角形．

第3题图　　第4题图

4．如图，等边△ABC边长如图所示，那么y＝3．

5．在活动课上，小红已有两根长分别为4cm，8cm小木棒，她打算拼一个等腰三角形，则小红应取第三根小木棒长是8cm.

6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，AD＝BD＝BC，则图中有几个等腰三角形？

分别指出它们顶角、底角、腰和底边．

解：

有三个等腰三角形，它们分别是△ABC，△DAB，△BCD.

在△ABC中，AB和AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠ABC和∠ACB是底角；

在△DAB中，AD和BD是腰，AB是底边，∠ADB是顶角，∠DAB和∠ABD是底角；

在△BCD中，BC和BD是腰，CD是底边，∠CBD是顶角，∠BCD和∠BDC是底角．

知识点2　等腰（等边）三角形轴对称性

7．等腰三角形对称轴是（D）

A．顶角平分线

B．底边上高

C．底边上中线

D．底边垂直平分线所在直线

8．（嘉兴期末）等腰三角形对称轴有（D）

A．1条B．2条

C．3条D．1条或3条

9．在等边三角形、角、正方形这三个图形中，对称轴最多是正方形，有4条对称轴，最少是角，有1条对称轴，剩下图形有3条对称轴．

10．已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，请以AC为底边上高，利用轴对称，将△ABC补成一个等腰三角形．

解：

如图所示．

知识点3　等腰三角形作图

11．如图，已知线段a，b，请用直尺和圆规作出一个以线段a长为腰，线段b长为底等腰三角形．

解：

图略．

02　　中档题

12．（萧山区期中）已知等腰三角形一腰上中线将它周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形底边长为（D）

A．9cmB．5cm

C．6cm或5cmD．5cm或9cm

13．（莱芜中考）已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样直线最多有（C）

A．3条B．5条

C．7条D．8条

14．在如图所示正方形网格中，网格线交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C个数是（C）

A．6

B．7

C．8

D．9

15．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝a＋2，AC＝7.若△ABC为等腰三角形，求这个三角形周长．

解：

∵△ABC为等腰三角形，

∴a＋2＝3或a＋2＝7.

∴a＝1或a＝5.

又∵当a＝1时，AB＝3，BC＝3，AC＝7，此时这三边长不能构成三角形，

∴a≠1.

∴△ABC周长为3＋7＋7＝17.

16．如图，已知C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.问：

△ADC是等腰三角形吗？

请说明理由．

解：

△ADC是等腰三角形，理由如下：

∵AB∥ED，

∴∠B＝∠E.

在△ABC和△CED中，

∴△ABC≌△CED（SAS）．

∴AC＝CD.

∴△ADC是等腰三角形．

03　　综合题

17．如图，在△ABC中，BC边上垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC周长为24，△ABC与四边形AEDC周长之差为12，求线段DE长．

解：

∵DE是BC边上垂直平分线，

∴BE＝CE，BD＝CD.

∵△EDC周长为24，

∴ED＋DC＋EC＝24.①

∵△ABC与四边形AEDC周长之差为12，

∴（AB＋AC＋BC）－（AE＋ED＋DC＋AC）＝（AB＋AC＋BC）－（AE＋DC＋AC）－DE＝12.

∴BE＋BD－DE＝12.②

∵BE＝CE，BD＝DC，

∴①－②，得DE＝6.

2.3　等腰三角形性质定理

第1课时　等腰三角形性质定理1及其推论

01　　基础题

知识点1　在同一个三角形中，等边对等角

1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，则∠C＝（A）

A．40°B．70°C．100°D．100°或40°

2．如果等腰三角形底角为50°，那么它顶角为（D）

A．50°B．60°C．70°D．80°

3．（南宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C度数为（A）

A．35°B．40°C．45°D．50°

第3题图　第4题图

4．（湘西中考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1度数为（C）

A．36°B．60°C．72°D．108°

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则△ABC外角∠BCD＝110°．

第5题图　　第6题图

6．如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO＝PO，若∠C＝50°，则∠A＝25度．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝CD.求证：

∠ABD＝∠ACD.

证明：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵BD＝CD，

∴∠DBC＝∠DCB.

∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，

即∠ABD＝∠ACD.

8．如图，在△ABC中，AD＝BD＝BC，若∠DBC＝28°，求∠ABC和∠C度数．

解：

设∠A＝x°.∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝x°.

∴∠BDC＝2x°.

∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°.

∵∠DBC＝28°，∠BDC＋∠C＋∠DBC＝180°，

∴2x＋2x＋28＝180.

∴x＝38.

∴∠C＝76°，

∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝38°＋28°＝66°.

知识点2　等边三角形各个内角都等于60°

9．等边三角形两条角平分线所夹锐角度数为（C）

A．30°B．45°C．60°D．90°

10．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β度数是（C）

A．180°

B．220°

C．240°

D．300°

02　　中档题

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD度数为（D）

A．80°B．75°C．65°D．45°

第11题图　　第12题图

12．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（C）

A．90°B．75°C．60°D．45°

13．三个等边三角形位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝130°．

习题解析

第13题图　　第14题图

14．如图，M、N是△ABC边BC上两点，且BM＝MN＝NC＝AM＝AN，则∠BAN＝90°．

15．（萧山区期中）等腰三角形一腰上高与另一腰夹角为36°，则该等腰三角形底角度数为63°或27°．

16．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）求∠BFD度数．

解：

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAE＝∠C＝60°，AB＝CA.

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE＝∠CAD.

∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，

∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.

03　　综合题

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB，BD与CE交于点O，∠BOC大小与∠A大小有什么关系？

若∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB，则∠BOC与∠A大小有什么关系？

若∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB，则∠BOC与∠A大小有什么关系？

解：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB，

∴∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）

＝180°－

（∠ABC＋∠ACB）

＝180°－

（180°－∠A）

＝90°＋

∠A.

当∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB时，

∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）

＝180°－

（∠ABC＋∠ACB）

＝180°－

（180°－∠A）

＝120°＋

∠A.

当∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB时，

∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）

＝180°－

（∠ABC＋∠ACB）

＝180°－

（180°－∠A）

＝

×180°＋

∠A.

微课堂

第2课时　等腰三角形性质定理2

01　　基础题

知识点1　等腰三角形“三线合一”

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确是（A）

A．AB＝2BDB．∠B＝∠C

B．AD平分∠BACD．BD＝CD

第1题图　　第2题图

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠BAC度数为（D）

A．35°B．45°C．55°D．70°

3．如图是人字形屋架设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC中点，现在焊接所需四根钢条已截好，且已标出BC中点，如果焊接工身边只有检验直角角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取两根钢条及焊接点是（D）

A．AB和BC及焊接点B

B．AB和AC及焊接点A

C．AB和AD及焊接点A

D．AD和BC及焊接点D

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若CD＝4，则BC＝8．

第4题图　　第5题图

5．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB＝8，则BD＝4，∠CDE＝30°．

6．（北京中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，BE⊥AC于点E.求证：

∠CBE＝∠BAD.

证明：

∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

∵AD是BC边上中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

∴∠CAD＋∠C＝90°.

∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.

∴∠CBE＝∠CAD.

∴∠CBE＝∠BAD.

7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上中线，∠ABC平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F，求证：

EF＝ED.

证明：

∵AB＝AC，AD是BC边上中线，

∴AD⊥BC.

∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，

ED⊥BC，

∴EF＝ED.

知识点2　用尺规作等腰三角形

8．已知：

线段a，b，求作：

△ABC，使AC＝CB＝a，△ABC高为b.

解：

图略．

02　　中档题

9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E在CA延长线上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC位置关系，并说明理由．

解：

垂直．

理由：

∵在△ABC中，AB＝AC，AD是高，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵AE＝AF，

∴∠E＝∠EFA.

∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA，

∴∠EFA＝∠BAD.

∴EF∥AD.

∵AD⊥BC，

∴EF⊥BC.

故EF与BC位置关系为垂直．

10．（上城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连结DE.

（1）判断△CDE形状，并说明理由．

（2）若AO＝12，求OE长．

解：

（1）△CDE是等边三角形．理由：

∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，

∴∠C＝60°，CE＝

BC，CD＝

AC.

∵BC＝AC，

∴CD＝CE，△CDE是等边三角形．

（2）由

（1）知AE、BD分别是△ABC中线，

∴AO＝2OE.

∵AO＝12，

∴OE＝6.

11．在△ABC中，AB＝AC.

（1）如图1，若∠BAD＝30°，AD是BC上高，AD＝AE，则∠EDC＝15°；

（2）如图2，若∠BAD＝40°，AD是BC上高，AD＝AE，则∠EDC＝20°；

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

并给予证明．

解：

∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝

∠BAD）．

理由如下：

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∵∠AED＝∠CDE＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，

∴∠B＋∠BAD＝∠CDE＋∠C＋∠CDE，

即∠BAD＝2∠CDE.

03　　综合题

12．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F.

（1）若∠AFD＝155°，求∠A度数；

（2）若点F是AC中点，求证：

∠CFD＝

∠B.

解：

（1）∵∠AFD＝155°，

∴∠DFC＝25°.

∵DF⊥BC，

∴∠FDC＝90°.

∴∠C＝90°－25°＝65°.

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝65°.

（2）证明：

连结BF.

∵AB＝BC，且点F是AC中点，

∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝

∠ABC.

∴∠CFD＋∠BFD＝90°，∠CBF＋∠BFD＝90°.

∴∠CFD＝∠CBF.

∴∠CFD＝

∠ABC.

2.4　等腰三角形判定定理

01　　基础题

知识点1　在同一个三角形中，等角对等边

1．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形是（B）

A．∠A＝50°，∠B＝60°

B．∠A＝30°，∠B＝75°

C．∠A＝20°，∠B＝100°

D．∠A＝40°，∠B＝60°

2．如果一个三角形一内角平分线与对边垂直，那么这个三角形一定是（A）

A．等腰三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

3．（永嘉县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB平分线交于点F，过点F作EG∥BC分别交AB、AC于点E、G，若BE＋CG＝18，则线段EG长为（C）

A．16

B．17

C．18

D．19

4．在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝40°时，△ABC是等腰三角形．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗？

为什么？

解：

△ADE是等腰三角形．理由：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

又∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∴∠ADE＝∠AED.

∴AD＝AE.∴△ADE是等腰三角形．

6．（襄阳中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？

（用序号写出所有成立情形）

（2）请选择

（1）中一种情形，写出证明过程．

解：

（1）①②；①③.

（2）选①③，

证明如下：

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．

知识点2　等边三角形判定定理

7．在△ABC中：

①若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°三角形是等边三角形；④一个角为60°等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确有（D）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．已知△ABC中，∠A＝∠B＝60°，且AB＝10cm，则BC＝10cm.

9．（绍兴中考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间距离是18cm.

10．如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：

△ABC是等边三角形．

证明：

在△EOB和△DOC中，

∵∠OEB＝∠ODC＝90°，

∠EOB＝∠DOC，OB＝OC，

∴△EOB≌△DOC.

∴∠EBO＝∠DCO.

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠EBC＝∠DCB.∴AB＝AC.

又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．

02　　中档题

11．（陕西中考）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连结DE，则图中等腰三角形共有（D）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

12．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成三角形是（D）

A．直角三角形B．钝角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

13．已知，如图，延长△ABC各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连结D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：

（1）△AEF≌△CDE；

（2）△ABC为等边三角形．

证明：

（1）∵BF＝AC，AB＝AE，

∴FA＝EC.

∵△DEF是等边三角形，

∴EF＝DE.

又∵AE＝CD，

∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）∵△AEF≌△CDE，

∴∠FEA＝∠EDC.

∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF＝60°.

同理可证∠BAC＝60°.

∴△ABC是等边三角形．

14．如图，已知△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动速度是1cm/s，点Q运动速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为ts，当t＝2时，判断△BPQ形状，并说明理由．

视频讲解

解：

△BPQ是等边三角形．理由：

当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），

BQ＝2×2＝4（cm），

∴BP＝AB－AP＝6－2＝4（cm）．

∴BQ＝BP.

又∵∠B＝60°，

∴△BPQ是等边三角形．

03　　综合题

15．（江山期末）课本中有一探究活动：

如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？

画一画，并标出每个等腰三角形顶角度数．

（1）小明按要求画出了