插值法第二次程序题.docx
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插值法第二次程序题
插值法
题目1：
对
Runge函数
在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和
R（x）的图像进行比较，并对结果进行分析。
（1）用等距节点
绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
（2）用节点
，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。
（3）用等距节点
绘出它的分段线性插值函数的图像。
（4）用等距节点
绘出它的三次自然样条插值函数的图像。
程序及分析：
（1）用等距节点
绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
Matlab程序如下：
%计算均差
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz
fori=1:
n
y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;
end
N=zeros（n,n）;
N（:
1）=y';
forj=2:
n
fork=j:
n
N（k,j）=（N（k,j-1）-N（k-1,j-1））/（x（k）-x（k-j+1））;
end
end
fort=1:
n
c（t）=N（t,t）
end
%构造插值多项式
f=N（1,1）;
fork=2:
n
a=1;
forr=1:
（k-1）
a=a*（z-x（r））;
end
f=f+N（k,k）*a;
end
%作图
a=[-1:
0.001:
1];
n=length（a）;
fori=1:
n
b（i）=1/（1+25*a（i）*a（i））;
end
fx=subs（f,z,a）;
subplot（2,1,1）;
plot（a,b,'k',a,fx,'r'）;
c=[-0.6:
0.001:
0.6];
n=length（c）;
fori=1:
n
d（i）=1/（1+25*c（i）*c（i））;
end
fx=subs（f,z,c）;
subplot（2,1,2）;
plot（c,d,'k',c,fx,'r'）;
结果与分析：
由下图可以看出，在区间[-0.6,0.6]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。
而在边界附近，插值多项式与被插值函数的差别很大。
即出现了Runge现象。
主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。
其插值余项
不趋近零。
插值多项式不能收敛到被插值函数。
（2）用节点
，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。
Matlab程序如下：
clear;
%插值点
fori=1:
21
x（i）=cos（（2*（i-1）+1）*pi/42）;
end
n=length（x）;
fori=1:
n
y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;
end
%构造插值基函数
symsz;
temp=1;
fori=1:
n
lx=1;
forj=1:
n
ifi~=j
temp=（z-x（j））/（x（i）-x（j））;
lx=lx*temp;
end
end
l（i）=lx;
end
%插值多项式
l=l';
L=y*l;
%作图
a=[-1:
0.01:
1];
n=length（a）;
fori=1:
n
b（i）=1/（1+25*a（i）*a（i））;
end
fx=subs（L,z,a）;
subplot（2,1,1）;
plot（a,b,'k',a,fx,'xr'）;
结果与分析：
如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。
主要原因是其多项式误差为
。
（3）用等距节点
绘出它的分段线性插值函数的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz
fori=1:
n
y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;
end
%构造分段线性插值多项式
fori=1:
n-1
l（i）=（z-x（i+1））/（x（i）-x（i+1））*y（i）+（z-x（i））/（x（i+1）-x（i））*y（i+1）
%l（i）=y（i）+（y（i+1）-y（i））/（x（i+1）-x（i））*（z-x（i））
end
%作图
fori=1:
n-1
a=[x（i）:
0.01:
x（i+1）];
f=subs（l（i）,z,a）
plot（a,f,'k'）
holdon
end
结果与分析：
如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。
利用线性插值多项式的误差估计：
（4）用等距节点
绘出它的三次自然样条插值函数的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz;
fori=1:
n
y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;
end
fori=1:
n-1
h（i）=x（i+1）-x（i）;
end
fori=1:
n-2
u（i）=h（i）/（h（i+1）+h（i））;
r（i）=1-u（i）;
end
G=zeros（n,n）;
fori=1:
n
G（i,i）=2;
end
fori=2:
n-1
G（i,i-1）=u（i-1）;
G（i,i+1）=r（i-1）;
end
G（n,n-1）=1;
G（1,2）=1;
d=zeros（1,n）;
fori=2:
n-1
d（i）=6*（（y（i+1）-y（i））/h（i）-（y（i）-y（i-1））/h（i-1））/（h（i）+h（i-1））;
end
symsuv;
u=diff（1/（1+25*v*v）,v）;
a=subs（u,v,x
（1））;
b=subs（u,v,x（n））;
d
（1）=（（y
（2）-y
（1））/h
（1）-a）/h
（1）*6;
d（n）=（b-（y（n）-y（n-1））/h（n-1））/h（n-1）*6;
d=d';
M=inv（G）*d;
fori=1:
n-1
s（i）=M（i）*（x（i+1）-z）^3/0.6+M（i+1）*（z-x（i））^3/0.6+（y（i）-M（i）*0.01/6）*（x（i+1）-z）/0.1+（y（i+1）-M（i+1）*0.01/6）*（z-x（i））/0.1;
end
fori=1:
n-1
a=[x（i）:
0.01:
x（i+1）];
f=subs（s（i）,z,a）;
plot（a,f,'xr'）
holdon
end
结果与分析：
三次样条插值函数得到的图像如下：
可以看出，三次样条插值函数的曲线及其光滑。
得到的函数十分接近被插值函数。
题目2：
对函数：
在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和被插值函数的图像进行比较，并对结果进行分析。
（1）用等距节点
绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
（2）用节点
，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。
（3）用等距节点
绘出它的分段线性插值函数的图像。
（4）用等距节点
绘出它的三次自然样条插值函数的图像。
程序及分析：
（1）用等距节点
绘出它的20次Newton插值多项式的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
%计算均差
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz;
y=zeros（1,n）
fori=1:
10
y（i）=sin（pi*x（i））;
end
fori=11:
15
y（i）=cos（pi*x（i））;
end
fori=15:
n
y（i）=0;
end
N=zeros（n,n）;
N（:
1）=y';
forj=2:
n
fork=j:
n
N（k,j）=（N（k,j-1）-N（k-1,j-1））/（x（k）-x（k-j+1））;
end
end
fort=1:
n
c（t）=N（t,t）;
end
%构造插值多项式
f=N（1,1）;
fork=2:
n
a=1;
forr=1:
（k-1）
a=a*（z-x（r））;
end
f=f+N（k,k）*a;
end
%作图
v=linspace（-1,0,50）;
u=sin（pi*v）;
plot（v,u,'k'）
holdon
v=linspace（0,0.5,25）;
u=cos（pi*v）;
plot（v,u,'k'）
holdon
v=linspace（0.5,1,10000）;
u=0;
plot（v,u,'k'）
holdon
a=[-1:
0.001:
1];
fx=subs（f,z,a）;
plot（a,fx,'r'）;
结果与分析：
等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下：
可以看出，在整个区间上，插值多项式精度都不是很高。
出现了Runge现象。
（2）用节点
，绘出它的20次Lagrange插值多项式的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
%求插值节点
fori=1:
21
x（i）=cos（（2*（i-1）+1）*pi/42）;
end
n=length（x）;
y=zeros（1,n）;
fori=1:
n
ifx（i）<0
y（i）=sin（pi*x（i））;
elseifx（i）>0.5
y（i）=0;
else
y（i）=cos（pi*x（i））;
end
end
%插值基函数
symsz;
temp=1;
fori=1:
n
lx=1;
forj=1:
n
ifi~=j
temp=（z-x（j））/（x（i）-x（j））;
lx=lx*temp;
end
end
l（i）=lx;
end
%插值多项式
l=l';
L=y*l;
%作图
a=[-1:
0.01:
1];
fx=subs（L,z,a）;
plot（a,fx,'xr'）;
结果与分析：
如下图所示，使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数，没有出现Runge现象。
（3）用等距节点
绘出它的分段线性插值函数的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz;
fori=1:
10
y（i）=sin（pi*x（i））;
end
fori=11:
15
y（i）=cos（pi*x（i））;
end
fori=15:
n
y（i）=0;
end
%构造插值多项式
fori=1:
n-1
l（i）=（z-x（i+1））/（x（i）-x（i+1））*y（i）+（z-x（i））/（x（i+1）-x（i））*y（i+1）;
%l（i）=y（i）+（y（i+1）-y（i））/（x（i+1）-x（i））*（z-x（i））;
end
%作图
fori=1:
n-1
a=[x（i）:
0.01:
x（i+1）];
f=subs（l（i）,z,a）;
plot（a,f,'xr'）
holdon
end
结果与分析：
如下图所示，分段线性插值多项式比较接近原函数，没有出现Runge现象。
但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。
主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大，不能较好的趋近原函数。
（4）用等距节点
绘出它的三次自然样条插值函数的图像。
Matlab程序如下：
clc;clear;
x=[-1:
0.1:
1];
n=length（x）;
symsz
fori=1:
10
y（i）=sin（pi*x（i））;
end
fori=11:
15
y（i）=cos（pi*x（i））;
end
fori=15:
n
y（i）=0;
end
fori=1:
n-1
h（i）=x（i+1）-x（i）;
end
fori=1:
n-2
u（i）=h（i）/（h（i+1）+h（i））;
r（i）=1-u（i）;
end
G=zeros（n,n）;
fori=1:
n
G（i,i）=2;
end
fori=2:
n-1
G（i,i-1）=u（i-1）;
G（i,i+1）=r（i-1）;
end
G（n,n-1）=1;
G（1,2）=1;
d=zeros（1,n）;
fori=2:
n-1
d（i）=6*（（y（i+1）-y（i））/h（i）-（y（i）-y（i-1））/h（i-1））/（h（i）+h（i-1））;
end
symsuv;
u=diff（sin（pi*v）,v）;
a=subs（u,v,x
（1））;
b=0;
d
（1）=（（y
（2）-y
（1））/h
（1）-a）/h
（1）*6;
d（n）=（b-（y（n）-y（n-1））/h（n-1））/h（n-1）*6;
d=d';
M=inv（G）*d;
fori=1:
n-1
s（i）=M（i）*（x（i+1）-z）^3/0.6+M（i+1）*（z-x（i））^3/0.6+（y（i）-M（i）*0.01/6）*（x（i+1）-z）/0.1+（y（i+1）-M（i+1）*0.01/6）*（z-x（i））/0.1;
end
fori=1:
n-1
a=[x（i）:
0.01:
x（i+1）];
f=subs（s（i）,z,a）;
plot（a,f,'xr'）
holdon
end
结果与分析：
三次样条插值函数得到的图像如下：
可以看出，三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。
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