人教版数学八年级下册171勾股定理.docx
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人教版数学八年级下册171勾股定理
17.1勾股定理
（1）
教学目标
知识与技能：
体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系.
过程与方法：
让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法.。
通过数学活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果．
情感态度与价值观：
（1）在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.
（2）使学生在定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣.
（3）在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情．
（4）通过介绍勾股定理在中国古代的历史，激发学生的民族自豪感.
教学重点：
（1）探索和验证勾股定理.；
（2）通过数学活动体验获取数学知识的感受。
教学难点
在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理．。
教学流程安排
创设情境
活动1：
章节引入
欣赏图片
引入课题
探索研讨
活动2、3、：
探索勾股定理
活动4：
证明勾股定理
定理应用
活动5：
练习1、2
小
结
教学过程设计
一、创设情境，引入课题
活动1:
欣赏图片：
2002年国际数学家大会的会标
师生互动：
教师提出问题，同学听说过勾股定理吗？
板书课题：
17.1勾股定理
（1）
二、探索研讨
1、探索勾股定理
活动2：
问题（3）相传2500年前，古希腊数学家毕达
哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形
三边之间的某种数值关系
（1）我们也来观察一下你有什么发现？
（2）是不是所有的等腰直角三形三边都有这样的关系呢？
请同学们打开探究材料，观察图一、图二你得出什么结论？
（3）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点
师生互动：
教师解说并提出问题，引导学生观察图案，学生观察、交流、回答问题，师生共同评价，归纳结论，总结发现方法。
活动3：
类比上述方法运用探究材料在图三、图四的网格上探索两条直角边不相等的直角三角形三边的数量关系。
若网格中每一个小方格面积为1个单位面积，
那么正方形A、B、C的面积为多少？
你能从中发现什么结论呢？
师生互动：
教师提出问题，引导学生类比上述方法探索，学生思考、动手探索、计算回答问题，师生共同评价，归纳结论。
1、同学们由以上探索，依据该图形，能否用一句话概括出以上结论呢？
命题：
如果直角三角形的两条直角边分别为a和b，
斜边为c，那么
师生互动：
教师提问，学生概括回答，教师板写结论。
2、证明勾股定理
活动4：
看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：
四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．
c2=b2-2ab+a2+2ab
化简得：
c2=a2+b2．
请同学们拿出探究材料中的四个全等的直角三角形图五，以小组为单位，类比以上方法用另一种拼图的方法验证这个命题。
师生互动：
教师组织学生拼图验证结论，巡视参与并引导提示：
①所拼图形面积能用直角三角形的边长来表示②所拼图形的面积要用两种不同方法表示，并用等号连结，化简验证；学生小组交流，动手拼图验证结论，小组代表展示实践结果；师生共同评价，概括归纳勾股定理。
播放视频，了解勾股定理的有关历史。
三、应用
活动5：
练习1、如图，在在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
1
若a=12,b=5,则c等于多少？
2若a=6,c=10,则b等于多少？
3若b=7，c=8则a等于多少
师生互动：
学生动手操作；教师巡视引导，展示学生解答结果；师生共同评价，归纳定理应用注意事项。
练习2、去年10月份的一次强风把小明家门前的一棵8米高的大树从3米处折断了，折断的树枝会不会打到停在大树旁3.9米处的小轿车呢？
为什么？
师生互动：
教师引导学生分析题意，思考，帮助学生数学建型，并提问学生用什么办法来判断？
学生思考、回答、动手操作解决问题；教师巡视引导，展示学生解答结果，师生共同评价。
四、课堂小结
请同学畅所欲言谈谈本节课的收获
师生互动：
教师提出问题，学生回答，教师补充共同归纳。
五、布置作业
课本P28，习题17.1第1、2题
17.1勾股定理
（2）
教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
1．运用勾股定理进行简单的计算．
2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．
数学思考
通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．
解决问题
能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．
情感态度
通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
重点
勾股定理的应用．
难点
勾股定理在实际生活中的应用．
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1回顾勾股定理
活动2运用勾股定理解释生活中的问题
活动3巩固练习探索新知
活动4小结与作业
通过一组练习让学生回顾直角三角形三边关系，为本节课勾股定理的应用做好铺垫．
通过解决教材中的两个例题，进一步熟悉和掌握勾股定理，同时培养学生从事物中抽象出几何模型（直角三角形）的能力．
通过练习及时反馈教学效果，了解不同层次的学生对知识和方法的掌握情况．设计课本习题的变式题，拓展学生思维能力，深化勾股定理的应用．
通过讨论交流、自由发言等形式，归纳本节课所用的知识方法．通过课外作业，反馈教学效果，调整教学方法．
教学过程设计
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动1]
问题
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
回答：
①在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？
②直角三角形中哪条边最长？
（2）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．
教师提出问题后让四位学生板演，剩下的学生在课堂作业本上完成．
问题
（2）学生分组讨论，自己解决；
教师巡视指导答疑．
在活动1中教师应重点关注：
（1）学生能否正确应用勾股定理进行计算；
（2）在解决直角三角形的问题时，需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边；
（3）让学生了解在直角三角形中斜边最长；
（4）在解决问题2时，能否将一个长方形转化为两个全等的直角三角形．
教师利用学生已有的知识（勾股定理及直角三角形的相关知识）创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习勾股定理在实际生活中的应用做好铺垫．
[活动2]
问题
（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？
为什么？
问题
（1）学生由活动1的结果可得出判断：
AB＜BC＜AC．
问题
（2）学生分组讨论，易回答①、②．
在解决前两问的基础上，教师着重引导学生将③的实际问题转化为数学模型，计算并回答：
∵木板宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；
∵木板宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．
通过问题
（1）让学生熟悉直角三角形斜边与直角边的大小关系，为解决问题
（2）奠定基础．
问题
（2）是本节课的重点和难点．
问题与情景
师生行为
设计意图
图1
（3）教材第26页练习1．
（4）如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①球梯子的底端B距墙角O多少米？
②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
图2
∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此，从中抽象出数学模型直角
△ABC，并求出斜边的长度
，所以木板能从门框通过．
教师与学生一起完成问题（3）．
教师提出问题（4），引导学生将实际问题转化为数学模型；
学生合作交流，讨论回答：
（1）在Rt△AOB中，
．
（2）的①由学生分组讨论做出猜想．②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的长，而BD=OD－OB，由
（1）可知OB，只需在求出OD即可．
在Rt△COD中，
梯的顶端A沿墙下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米．
在活动2中教师应重点关注：
（1）结合问题2训练学生用文字语言表达数学过程的能力；
（2）学生能否准确将实际问题转化为数学问题，建立几何模型；
（3）正确运用勾股定理解释生活中的问题．
为了让学生能有效地突破难点，本环节分别为它们设计了一到两个简单的由已有的知识和生活经验易于解答的小问题作台阶，顺利解决如何将实际问题转化为求直角三角形边长的问题，培养学生的数学应用意识．
通过运用勾股定理对实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质：
数学来源于生活，并能服务于生活．
问题与情景
师生行为
设计意图
[活动3]
（1）教材第26页练习第2题．
（2）变式：
以教材第26页练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长AB．
（3）如图3，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式．
变式：
教材第29页第13题，如图4．
问题
（1）学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成．
问题
（2）和问题（3）将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；
教师参与学生活动，适当地给与指导．
在活动3中，教师应重点关注：
（1）根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；
（2）学生对问题
（2）能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB；
（3）对学有余力的学生，在问题（3）中能否进一步加以拓展．
设计教材第26页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识（等腰直角三角形、有一个角为30°的直角三角形、等边三角形等），使所学的知识得到进一步深化．
设计教材第29页第13题的变式题问题3，有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立．
[活动4]
（1）小结
（2）作业：
①教材第28页习题第2、3、4、5题．
②教材第29页习题第12题．
让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳．
教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成．
在活动4中，教师应重点关注：
（1）培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；
（2）对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施．
通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法．通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导．
教学设计说明
本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本节课的重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理在实际生活中的应用．勾股定理是建立在一般三角形性质以及三角形全等的基础上，是三角形知识的深化，它在日常生活中有着广泛的应用．
在复习了直角三角形的相关知识的基础上，本节课进一步熟悉了勾股定理．教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．在活动3中，教师设计课本习题的变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展”．整堂课，教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．
17.1勾股定理（3）
一、教学目标
知识与技能
1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
过程与方法
1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．
2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
情感、态度与价值观
1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
二、教学重、难点
重点：
在数轴上寻找表示，
，
，
，……这样的表示无理数的点．
难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
三、教学准备
多媒体课件
四、教学方法
分组讨论，讲练结合
五、教学过程
（一）复习回顾，引入新课
复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
思考：
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证.
探究：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出
的点吗？
的点呢？
设计意图：
上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象
，
，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把
，
，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为
，
的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用．
师生行为：
学生小组交流讨论
教师可指导学生寻找象
，
，……这样的包含在直角三角形中的线段．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否找到含长为
，
这样的线段所在的直角三角形；
②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；
③学生能否积极主动地交流合作．
师：
由于在数轴上表示
的点到原点的距离为
，所以只需画出长为
的线段即可．
我们不妨先来画出长为
的线段．
生：
长为
的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边．
师：
长为
的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
生：
设c=
，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．所以长为
的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．
师：
下面就请同学们在数轴上画出表示
的点．
生：
步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA=3.
2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2.
3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示
的点．
（二）新课教授
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：
根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：
根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5000米，AC=4800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即50002=BC2+48002，所以BC=1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60=50400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．
评注：
这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．
例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？
分析：
此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．
解：
如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：
AA′=2×6=12米，AB=5米；
在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．
所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．
评注：
本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．
例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：
根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．
所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，
AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．
评注：
在几何计算题中，方程的思想十分重要．
设计意图：
让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．
师生行为：
先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注：
2学生是否自主完成上面三个例题；
②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．
例4、练习：
在数轴上作出表示
的点．
解：
是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示
的点如下图：
设计意图：
进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．
师生行为：
由学生独立思考完成，教师巡视．
此活动中，教师应重点关注：
（1）生能否积极主动地思考问题；
（2）能否找到斜边为
，另外两个角直边为整数的直角三角形．
例5已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。
解：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
小结：
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.
（三）例题讲解
例1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=，S△ABC=。
解：
30cm，300cm2
例
2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=
cm，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S△ABC=。
解：
90，60，30，4，
例3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=
，CD⊥AB于D，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。
解：
2，
，3，1，
例4．已知：
如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
解：
作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，
S△ABC=
AC·BD=254
（四）巩固练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=
，AB=。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。
3．已知：
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=
，
求
（1）AB的长；
（2）S△ABC。
4．在数轴上画出表示－
的点。
答案
1．4；
2．5，12；
3．提示：
作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=
，BC=2+
，S△ABC==2+
；
4．略。
（五）课堂小结
1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；
2、你对本节内容有哪些认识？
会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．
六、板书设计
17.1勾股定理
复习勾股定理相关内容
问题引入：
你能在数轴上表示出
的点吗？
的点呢？
新课教授：
在数轴上表示无理数的方法和步骤
强调：
理解数轴上的点与实数一一对应．
例题讲解：
例1
例2
随堂练习
小结
1、利用勾股定理解决直角三角形问题
2、会利用勾股定理得到一些无理数
布置作业：
七、课后作业
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=
，AB=。
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。
3．已知：
如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=
，
求
（1）AB的长；
（2）S△ABC。
4．已知：
如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
答案：
1．4；
2．5，12；
3．提示：
作AD⊥BC于D，AD=CD=2，AB=4，BD=
，BC=2+
，S△ABC==2+
；
4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，
S△ABC=
AC·BD=254；
八、教学反思
注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣。
学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志。
通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。
但是，这些并不是几何学的全部教育功能。
从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：
以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平。
这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因。
按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程。
根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、
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