概率论习题第三章答案.docx
《概率论习题第三章答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论习题第三章答案.docx（99页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量
设随机变量的分布函数为F（x），试以F（x）表示下列概率:
（1）P（a）;
（2）P（a）;（3）P（a）;（4）P（a）。
解：
（1）P（a）F（a0）F（a）;
（2）P（
a）
F（a0）；
⑶P（
a）
1F（a）;
（4）P（
a）
1F（a0）。
函数F（x）
1
1
2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果
x
（1）
x
⑵0x
在其它场合恰当定义；
（3）
x
0,在其它场合恰当定义。
解:
（1）F（x）
在（，
）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；
（2）F（x）
在（0，
）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;
（3）F（x）
在（一
0）内单调上升、连续且，若定义
F（X）
—x0
F（x）
1
x0
则l~（x）可以是某一随机变量的分布函数。
函数sinx是不是某个随机变量的分布函数如果的取值范围为
（1）0，；
（2）0，；（3）0,3。
22
解：
⑴当x0,时,sinx0且2sinxdx1，所以sinx可以是某个随机变量的分布
20
密度；
（2）因为°sinxdx21,所以sinx不是随机变量的分布密度；
3
（3）当x,时,sinx<=0所以sinx不是随机变量的分布密度。
2
设随机变量具有对称的分布函数p（x），即p（x）=p（-x）证明：
对任意的a>0，有
（1）F（a）
&）P（
（3）P（
a）
a）
证：
1）F（
a）
F（a）土
2F（a）1;
21F（a）.
a
p（x）dx
a
0p（x）dx;
1p（x）dx
1F（a）
p（x）dx
a
0
p（x）dx
p（x）dx
a
p（x）dx
&）P（
a）
a
ap（x）dx
2o
p（x）dx,由
（1）知1F（a）
1
2
1
2
a
0P（x）dx;
a
0P（x）dx
故上式右端=
⑶P（丨a）
2F（a）-1;
1-P（|a）
1-2F（a）1。
设F，x）与
F2（x）都是分布函数，证明
F（x）=aF（x）+bF（x）
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型证：
因为f'x）与f2（x）都是分布函数，于
F（x1）=aF1（x1）+bF2（x2）<=aF1（x1）+bF2（x2）=F（x2）
又
F（x-0）=aF1（x1-0）+bF2（x2-0）
=aF1（x）+bF2（x）=F（x）所以，F（x）也是分布函数。
取a=b=1/2,又令
F1（x）=0x<=0,1x>0F2（x）=0x<=0x01
此时
0x0
F（x）
（1x）/20x1
1x1
既然，与
F（x）对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故
F（x）不是离散型的，而F（x）不
是连续函数，所以它也不是连续型的。
设随机变量的分布函数为
1
（1
x
x）e
x0
F（x）
0
x0
求相应的密度函数,
并求
P
（1）。
解:
d[1
（1
x
x）e]xe
x，所以相应的密度函数为
dx
xe
1）F
（1）1
0
0
2
e
设随机变量
的分布函数为
0x<0
F（x）
Ax20
x<1
0x
1
求常数A及密度函数。
解：
因为F（1-0）=F
（1）
，所以A=1,密度函数为
P（x）
2x0x<1
0其他
随机变量
的分布函数为
F（x）=A+Barctg（x）.
常数A与B及相应的密度函数。
解：
因为
lim
lim
x
x
r）
因而
所以
F（x）=
arctg
p（x）
（x）
（1
x2）
已知崔机变量
的分布函数为
x0p（x）=
2-x1其他
（1）
求相应的分布函数F（x）;
求P（
0.5）,p（
1.3）,
P（0.2
1.2）
解:
F（x）
ydy
ydy
12
x
2
x
1（2
y）dy
x>2
11
（1）p（x）
Ae
P（
0.5）
F（0.5）
1
8,
P（
1.3）
1P（
1.3）1F（1.3）0.245,
P（0.2
1.2）F
（1.2）F（0.2）0.66
确定下列函数仲的常数
A使该函数成为一兀分布的密度函数。
0
2
hx
x
1
在半径为R,球心为O的球内任去一点P,求
OP的分布函数
（2）
p（x）
Acos
0
x
一x一
2
其他
2
Ax
2
1
x2
（3）
p（x）
Ax
20
其他
解：
（1）_
Ae
凶dx
2A
exdx
0
2A1,
所以A-；
2
（2）
2A
cos
xdx
2A
2cosxdx
2A
1,所以A1
T
0
2
2
2
8
29
（3）
Ax
2dx
Axdx
A
1,所以
A6。
1
2
6
29
在厶ABC中任取一点
P,P到AB的距离为，求
的分布函数
解：
作厶ABC的高CD,设CD=h当0当0F（x）=P（vx）=S^FBA=1-汪=1-（U）2,
SABCSABCh
因此
F（x）=
43
一X3
F（x）=P（4R3R
3
0x0
3
X
F（x）=0xR
R
1xR
某城市每天用电量不超过一百万度
表示每天的耗电率（即用电量除以一百万度
）,它具
有分布密度为
（x）
2
12x（1x）0x1
0其他
若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率是多少如每天供电量为又是怎样呢
P（0.8）0812x（1x）2dx0.0272,
解：
P（0.9）0912x（1x）2dx0.0037.
90万度
因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为，若每天的供电量为
则供电量不够需要的概率为.
设随机变量服从（0,5）上的均匀分布，求方程
90万度,
4x24x20
有实根的概率.
解:
当且仅当
（4）16
（2）0
（1）
成立时，方程4x24x
20有实根.不等式
（1）的解为:
2或1因此,该方程有实根的概率
513
P
（2）P
（1）P
（2）5~dx-.
55
设随机变量服从正态分布N（0,1）,求
（1）P（0.02
2.33）;
（2）P
1.85
0.04;
（3）2.80
1.21
解:
（1）P（0.02
2.33）
（2.33）
（0.02）
0.4901
0.00800.4821;
⑵P（1.85
0.04）
（0.04）
（1.85）
（0.04）1（1.85）
0.5160（1097678）
（3）P（2.80
1.21）
（1.21）（2.80）1（1.21）1
（2.80）
（2.80）
（1.21）0.99740.88690.1105
设随机变量E服从正态分布N（108,9）,
（1）求P（<；
（2）求常数a,使P（E（3）求常数a,使P（IE-a|>a）=。
解：
（1）P（=P（2.31083.2）
（3.2）（2.3）（3.2）1（2.3）
0.999313
0.989276
0.988589;
P
⑵
a108
3__
1.28,即a
所以
2a
108
3
2a
108
36
a108
3
111.84;
108
2a108
3
0.99,查表得空
0.90,.所以
2a108
0.01,
2.33即a57.5
解:
（1）P
250
P（-
300
35
1.43）
300
P
1.43
1.43
0.9236;
35
rx
300x
2Pa
xa
x
P
35
3535
x
x
x
2
10.9,1卩
35
35
35
x
0.95,所以
x
1.65,即
x57.75
35
35
3.17某种电池的寿命服从正态Na,2分布,其中a300（小时）,35（小时）
（1）求电池寿命在250小时以上的概率;
（2）求x,使寿命在ax与ax之间的概率不小于0.9
0,1分布的分布函数
3.18设
x为N
证明当x0有
1
2xe
x2
71
x
证:
1
1
2x
1
.2xe
e2dy
x2
~2
xe^dy
1
2xe
x2
2
—1
2?
丄
x
2?
!
x
x3
1
、2x
x2e£y
y
ge£y,所以
y
1
.2xe
x2
xx3
3。
19设二维随机变量
的联合分布函数为Fx,y,Fx,y表示下列概率d;2Pab,y;
1Pa
b,c
3Pa,
y;4
Px,;
5P
解:
1Pa
b,c
d
Fb,d
Fb,c
Fa,dFa,c;
2Pa
b,
y
P
b,yPa,y
Fb
0,y
F
a,y;
3P
a,
y
P
a,
yPa,y
Fa
0,y
F
a,y;
4P
x,
F
x,
Fx;
5P,0
3.20设二维随机变量（
）的联合函数为F（x,y）,用它表示（，）落在区域D（如
F图所示）内的概率:
y4
b5
64
63
62
ai
a2
a3
a4
解:
P[（,）D]FGb）F（a5,bJF®®）F^bJ[F©®）F^Q）
F（a「b3）F（ai,bi）][F^b）F^b）FQb）FQb）
F（a5,b5）F（a5,bi）F（a4,b4）F®®）F©®）F®®）F（a2,bJ
F（a「b3）F（a「b5）.
3。
21证明：
二元函数
F（x,y）
1,xy0
0,xy0
对每个变元单调非降、左连续，且F（-g,y）=F（x,-g）=0,F（-g，+g）=0,但是F（x,y）
并不是一个分布函数。
证：
设"x>0,
若x+y>0,由于x+"x+y>0,所以F（x,y）=F（x+"x,y）=1,
若x+y<0,贝VF（x,y）=0.当x+"x+y<0时,F（x+zdx,y）=0,当x+zdx+y>0时,F（x+"x,y）=1。
所以
F（x,y）（x+dx
y）。
可见,
F（x,y）对
x非降。
同理，
F（x,
y）
对y非降。
（2）
x+yw0时，
帧
F（xx,y）
F（x,y
y）
0
F（x,y）,
xy
f0时，
iim
F（xx,y）
F（x,y
y）
1
F（x,y）,所以F（x,y）对x,y左连续
（3）
F（-g,y）=
F（x,-g
）=0,F（+
g+
J
g）=0.
（4）P（0w2,02）F（2,2）F（2,0）F（0,2）F（0,0）1,所以F（x,y）不是个分布函数。
3.22设在"ABC中，AB=I、BC=k,/B=90,在"ABC中任取一点M,M到AB的距离为,/
MAB=,求（，）的联合分布函数。
y,N与AB的距离为
xk
解：
设0
x.作ND
P（x,
、Sandb
y）
SABO
1
x（lxctgyl）
-kl
x（2lxctgy）
kl
至于0
xk,0y
arctg-时,
譽所以
0,x0或y
0
x（21xctgy）
丄x丄x
kl
0
x
k,arctgxarctg-
哑,0xk
k,0
y
arctgf
2kxx2
k
k2
x
k,y
arctg
ltgy_门
k
xk,0k
y
arctg—
1,xk,yarctg
k
同理可得
F（x,y）
F（x,y）
3.23二维随机变量（，）的密度函数为
1
p（x,y）
sin（xy）,0x,0y—
222
0,其它
求（，）的分布函数。
解:
当0X2'0
F（x,y）P（
y2时,
x,y）
xy11x
sin（ts）dsdt[cost
00220
cos（t
y）]dt
1、[sinxsinysin（xy）],所以2
0,（x0）（y0）
1
-[sinxsinysin（x
y）],0
x0
2,
1
F（x,y）=（sinx1cosx）,0
x—
y
2
2
2
1
（1sinycosy）,x
1,x-,y
22.
y2
3.24设二维随机变量（
）的联合密度为
y2
P（x,y）
ke
0,
3x4y,x0,y0
其它
（1）求常数k；
（2）求相应的分布函数;
（3）求P（0
1,0
解：
（1）ke3x4ydxdy
00
所以K=12；
（2）x>0,y>0时，
xy
F（x,y）12e3t4sdtds
00
k
4e
0
3x
dx
k
12‘
x
y
12
3t.xedt
4s.
eds
0
0
2）。
=（1e3x）（1e4y），所以
F（x,y）
（1e3x）（1e4y）,x
0,y0
0,其它
（3）P（0
1,0
2）
=F（1,2）-F（0,2）-F（1,0）-F（0,0）
6e
3.25设二维随机变量（，）有密度函数
P（x,y）
A
222~
（16x）（25y）
求常数A及（，）的分布函数。
解：
p（x,y）dxdy
4A
A
2（16x2）（25y2
dxdy
dx
dy
2o16x2o25y2
A
—1，所以A=20;
20
20
~2
（16t2）（25s2）
20
~2
dt
16t2
yds
25s2
arctg寸
y
arctg
252
3.26设二维随机变量（
）的密度函数为
xy
F（x,y）p（t,s）dtds
dtds
4xy,0x1,0y1
PS0,其它
11
求
（1）P（02，；1）；
（2）P（）;
（3）P（）；（4）P（）。
11
解：
（1）P（0—,—1）
24
1
21
4xydxdy
01
4
1
21
4xdxydy
01
■4
15
64；
（2）P（
4xydxdy
Y
0；
（3）P（
4xydxdy
xy
P（
3.27设二维随机变量
p（x,y）
求P（
解：
P（
或利用
设（
p（x,y）=
解：
P[（
1
4xydydx
1
2（x
0
x8）dx
）的密度函数为
¥，。
x10y
0,其它
1）。
1）
p（x,y）dxdy
xy1
2
（x2
01
少ydx
1（6x3
06
）dx
65
72
P（
1）
P（
1）求•
的密度函数为
1
0x1,0
2
0,其他
中至少有一个小于
丄的概率。
2
11
2）（尹-P（
=1-iip（x,y）dxdy
22
1215
=1-11dxdy=.
2228
一台机器制造直径为的轴，另一台机器制造内径为的轴套，设（，）的密度函数为
2500,0.49x0.51,0.51y0.53
p（x,y）=
0,其他
如果轴套的内径比轴的直径大于，但是不大于，则两者就能很好地配合成套。
现在随机地选
择轴和轴套，问两者能很好配合的概率是多少
f（x,y）dxdy
0.004yx0.036
22
（0.02）（0.04）?
2500a96。
3.30一个电子器件包含两个主要元件，分别以
和表示这两个元件的寿命（以小时计），
设（，）的分布函数为
0.01x0.01y0.01（xy）
F（x,y）
1eee,x0-y0
0.09
0,其他
1
P[（120）
（
120）]
1
P（120）
p（
120）
P（
120,120）
1
F（1200,
）F（
120
0）
F（1200,120
0）
1.2
1.
2
1.22.4
1
（1e）
（1e
）（1
2e
e）
求两个元件的寿命都超过120的概率。
解：
P（120,120）
2.4
3.31设p（x）,p（x）都是一维分布的密度函数，为使
P（x,y）pi（x）?
p2（y）h（x,y）
为一个二维分布的密度函数，问其中的h（x,y）必须且只需满足什么条件
解：
若p（x,y）为二维分布的密度函数，则
p（x,y）0,
p（x,y）dxdy1。
P（x,y）0,
因此，为使p（x,y）成为二维分布的密度函数,
h（x,y）必需且只需满足条件
（1）和
（2）。
3.32设二维随机变量（
）具有下述密度函数,
求边际分布。
（i）
p（x,y）
2ey1厂，xx
0其他
i,y1
p（x,y）
1e扣2
y2）
x
0,y
0,y0
所以条件
（1）h（x,y）pi（x）?
p（y）;
（2）h（x,y）dxdy0得到满足。
反之，若条件
（1）,
（2）满足，则
p（x,y）dxdy1,p（x,y）为二维分布的密度函数。
0.其他
k11
p（x,y）
（kJ（k2）
0其他
（y
\k21
x）2
ey,0xy
（1）
p（x）
2ey1
1丁
dy
3,（x
x
1）；
（x）
0,（x
1）.
（y）
1二3
y1
dx
1
（y1）;
（y）
0,（y1）.
1
x2
e2
.2
-D
1
x2
e2
2
012（x2y2）
p（x）-edy
x0时，
11（x2y2）
P（x）0—edy
所以，p（x）
2
1e2同理,
Q2
P（y）
1
、2
2y~2
（3）p（x）
xk1
（kJh）
x（y
k21y.
x）edy
（kJ
xk11
x
e,（x
0）；
P（x）0,（x0）.
P（y）
（kJh）
xk1
（y
x）k21dx
y
k1
ey,（y
）；
P（y）0,（y0）.
3.33设二维随机变量在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴,求边际分布密度。
解:
所以,
同理,
p（x,y）
p（x）
x0时,
p（x）
（x）
（x）
（y）
p（y）
—,（x,y）Ga
0,（x,y）G
xa21
xa2a2dy
x）,
a2x1
xa2玄2dy
了（.2x）,
右（：
x）,（x；）;
0,（x
y）,（y-2）；
2
a
o,（y
证明：
若随机变量
只取一个值a,则与任意的随即变量
独立。
证：
的分布函数为
F（x）
0,xa;
1.xa.
设的分布函数、（，
的联合分布函数分别为
（y）、F（x,
当xa时，F（x,y）
=P（x,y）0
（x）F（y）.
当x>a时，F（x,y）=P（x,y）P（
y）F（x）
所以，对任意实数x,y,都有F（x,y）=F
（x）F（y）.故
y）
f（y）.
与相互独立。
由于P（x）P（x,x）P（x）P（x）
F（x）
[F（x）]2,F（x）
0或1。
由于F（
）0,F（）1,F（x）非降、
左连续，所以存
在常数
c,使得
F（x）
0,xa;
1.xa.
=c）=1。
设二维随机变量（
的密度函数为
P（x,y）1/
0
x2
2
y
others
冋，是否独立是否不相关
jr?
2J1x2
解：
p1（x）1x2dy/,（|x|1）;p1（x）,（|x|1）.
同理，p
升级会员 