第23章 旋转综合习题精选含答案.docx
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第23章旋转综合习题精选含答案
第23章旋转习题精选（含答案）
一．解答题（共16小题）
1．（2014•龙东地区）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
2．（2014•抚顺）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？
如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
3．（2014•眉山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），
B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
4．（2014•新泰市模拟）把边长为1的正方形纸片沿对角线剪开，得△ABC和△DEF．然后，将△DEF的顶点D置于△ABC斜边中点处，使△DEF绕点D沿顺时针旋转．
（1）当△DEF旋转到DF过直角顶点C时（如图1）此时DF与AC的交点H与点C重合，试判断∠DGB与∠DGH的关系，并给以证明；
（2）当△DEF继续旋转的角度为α（0＜α＜45°）（如图2）时，
（1）中的结论是否成立？
若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由．
5．（2014•江西模拟）
（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2
，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
6．（2014•营口模拟）已知，Rt△ABC和Rt△BDE，AC=BC，BD=DE，F是AE的中点，连结CF、DF．
（1）当点E在AB上时，如图①，线段CF和DF有怎样的关系？
并证明你的结论．
（2）将图①中△BDE绕点B逆时针旋转90°，如图②，那么
（1）中的结论是否成立？
如果成立，请写出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BDE绕点B逆时针旋转180°，如图③，那么线段CF和DF又有怎样的关系？
请直接写出你的猜想．
7．（2014•葫芦岛一模）如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′，B′，C′）
（1）画出△A′B′C′．
（2）求点B在旋转过程中所经过的路线的长（结果保留π）．
8．（2014•石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为O（0，0），A（4，2），B（3，0）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1O1B1．
（1）在平面直角坐标系中，画出△A1B1O1，并填写A1的坐标为（ _________ ， _________ ），B1的坐标为（ _________ ， _________ ）；
（2）将△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，O′B′交OA于D，．O′A′交x轴于E，此时A′（1，3），O′（3，﹣1），B′（3，2），且O′B′经过B点，在刚才的旋转过程中，我们发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，则四边形CEBD的面积是 _________ ．
9．（2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？
请写出猜想，并给予证明．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？
请直接写出猜想，不需证明．
10．（2012•铁岭）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？
_________ （填“是”或“否”），∠BOE= _________ 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=
AB′，AC=
AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
11．（2012•宿迁）
（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
∠ABC（0°＜∠CBE＜∠
ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，
求证：
DE′=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
求证：
DE2=AD2+EC2．
12．（2012•绍兴模拟）阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：
受到
（1）的启发，请你证明下面命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：
BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
13．（2012•包河区二模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
14．（2012•高淳县一模）如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．
（1）求证：
△OC1M≌△OA1E；
（2）试说明：
△OMN的边MN上的高为定值；
（3）△MNB1的周长p是否发生变化？
若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．
15．（2012•崇安区二模）已知：
点P是三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，将△PBC绕点B顺时针旋转60°到△P′BC′的位置．若AB的长为a，BP的长为b（b＜a），求△PBC旋转到△P′BC′的过程中边PC所扫过区域（图1中阴影部分）的面积．（用a、b表示）
（2）如图2，若△ABC为任意锐角三角形，问：
当∠APC、∠APB和∠BPC满足什么大小关系时，AP+BP+CP的和最小，并说明理由．
16．（2012•延庆县一模）如图1，已知：
已知：
等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：
BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：
把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：
BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：
BD+DC＞
AD．
（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？
直接写出结论．
创新应用：
（3）已知：
如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？
写出你的猜想，并证明．
第23章旋转习题精选（含答案）
参考答案与试题解析
一．解答题（共16小题）
1．（2014•龙东地区）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
考点：
作图-旋转变换；作图-平移变换．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
解答：
解：
（1）如图所示：
△A1B1C即为所求；
（2）如图所示：
△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
点评：
此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
2．（2014•抚顺）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？
如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
考点：
作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图-平移变换．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据轴对称的性质确定出对称轴的位置，然后写出直线解析式即可．
解答：
解：
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△D1E1F1如图所示；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，
对称轴为直线y=x．
点评：
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．
3．（2014•眉山）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），
B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
考点：
作图-旋转变换；作图-平移变换．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
解答：
解：
（1）△A1B1C如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．
点评：
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
4．（2014•新泰市模拟）把边长为1的正方形纸片沿对角线剪开，得△ABC和△DEF．然后，将△DEF的顶点D置于△ABC斜边中点处，使△DEF绕点D沿顺时针旋转．
（1）当△DEF旋转到DF过直角顶点C时（如图1）此时DF与AC的交点H与点C重合，试判断∠DGB与∠DGH的关系，并给以证明；
（2）当△DEF继续旋转的角度为α（0＜α＜45°）（如图2）时，
（1）中的结论是否成立？
若成立，请给以证明；若不成立，请说明理由．
考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
探究型．
分析：
（1）∠DGB=∠DGH，△ABC中，可以得到△ACD和△BCD都是等腰直角三角形，再根据三线合一定理与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出结论．
（2）
（1）中的结论仍然成立，可以证明△DBI≌△DCH，进而证明△DGH≌△DGI．
解答：
证明：
（1）∠DGB=∠DGH．
在等腰Rt△ABC中，D是AB中点，
∴HD⊥AB，
∴DH=
AB=DB．
∵∠FDG=45°=∠BDG，
∴DG⊥HB，
因此∠DGB=∠DGH．
（2）
（1）中的结论仍然成立．∠DGB=∠DGH．
连接DC，在BC上截取BI=CH，连接DI．
∵BI=CH，∠DBI=∠DCH=45°，DB=DC，
∴△DBI≌△DCH，
∴DI=DH，∠HDC=∠IDB，
∴∠HDI=∠CDB=90°，
∵∠FDE=45°=∠GDI，DG公共，
∴△DGH≌△DGI，
∴∠DGB=∠DGH．
点评：
本题主要是理解特殊与一般的关系，通过特殊的图形的证明，发现一般图形中存在的结论．
5．（2014•江西模拟）
（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2
，PC=5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．
考点：
旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；
（2）由题意可得出：
△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，进而得出∠PP'C=90°，即可得出∠BPA的度数．
解答：
解：
（1）连接PQ．
由旋转可知：
，QC=PA=3．
又∵ABCD是正方形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC2=PQ2+QC2．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．
（2）将此时点P的对应点是点P′．
由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，
得∠PBP′=60°，
又∵P′B=PB=5，
∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．
因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，
∴PC2=PP′2+P′C2．
即∠PP′C=90°．
故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．
点评：
此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理逆定理和正方形的性质等知识，熟练利用勾股定理逆定理得出是解题关键．
6．（2014•营口模拟）已知，Rt△ABC和Rt△BDE，AC=BC，BD=DE，F是AE的中点，连结CF、DF．
（1）当点E在AB上时，如图①，线段CF和DF有怎样的关系？
并证明你的结论．
（2）将图①中△BDE绕点B逆时针旋转90°，如图②，那么
（1）中的结论是否成立？
如果成立，请写出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BDE绕点B逆时针旋转180°，如图③，那么线段CF和DF又有怎样的关系？
请直接写出你的猜想．
考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）根据矩形的判定与性质，可得BD与CG的关系，根据直角三角形的性质，可得FG与EF的关系，根据SAS，可得△DEF≌△CGF，根据全等三角形的性质，可得CF=DF，∠EFD=∠GFC，根据等角的余角相等，可得答案；
（2）根据平行线的判定，可得AC与DE的关系，根据AAS，可得△DEF≌△CGF，根据全等三角形的性质，可得DF与GF，DE与AG的关系，
根据等腰直角三角形的性质，可得答案；
解答：
解：
（1）CF=DF，CF⊥DF
证明：
图中的图①
延长DE交AC于G，连接FG，
∵∠ACB=∠CBD=∠BDG=90°，
∴四边形BCGD是矩形
BD=CG
∵BD=DE，
∴DE=CG．
∵∠AGE=90°，AF=EF，
∴FG=
AE=EF．
∵∠BED=45°，
∴∠DEF=135°，
∵AF=FG
∴∠AGF=∠A=45°．
∴∠CGF=135°
∴∠DEF=∠CGF
在△DEF和△CGF中，
∴△DEF≌△CGF（SAS）
∴CF=DF，∠EFD=∠GFC，
∴∠GFE=90°
∴∠GFC+∠CFB=90°
∠EFD+∠CFB=90°
∴CF⊥DF；
（2）成立
延长DF交CA的延长线于点G，如图中的图②
∵∠ACB=90°，∠CDE=90°
∴AC∥DE
∠G=∠EDF
在△DEF和△GAF中，
∴△DEF≌△GAF（AAS）
∴DF=GF，DE=AG
∵BC=AC
∴CD=CG
∵∠GCD=90°，DF=GF
∴CF=DF，CF⊥DF；
（3）CF=DF，CF⊥DF．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，利用了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，难度稍大．
7．（2014•葫芦岛一模）如图，在方格纸中，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′，B′，C′）
（1）画出△A′B′C′．
（2）求点B在旋转过程中所经过的路线的长（结果保留π）．
考点：
作图-旋转变换；弧长的计算．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据网格结构找出点A、B、C旋转后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
解答：
解：
（1）△A′B′C′如图所示；
（2）由勾股定理得，OB=3，
∴点A在旋转过程中所经过的路线的长=
=
π．
点评：
本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
8．（2014•石家庄一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为O（0，0），A（4，2），B（3，0）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1O1B1．
（1）在平面直角坐标系中，画出△A1B1O1，并填写A1的坐标为（ ﹣2 ， 4 ），B1的坐标为（ 0 ， 3 ）；
（2）将△AOB绕AO的中点C（2，1）逆时针旋转90°得到△A′O′B′，O′B′交OA于D，．O′A′交x轴于E，此时A′（1，3），O′（3，﹣1），B′（3，2），且O′B′经过B点，在刚才的旋转过程中，我们发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，则四边形CEBD的面积是 1 ．
考点：
作图-旋转变换．菁优网版权所有
专题：
作图题．
分析：
（1）根据网格结构找出点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可得到A1O1B1，再根据平面直角坐标系写出点A1、B1的坐标即可；
（2）根据网格结构求出点E的坐标为（2.5，0），点D的坐标为（3，1.5），然后根据重叠部分的面积=△OBD的面积﹣△OCE的面积，然后列式进行计算即可得解．
解答：
解：
（1）△A1B1O1如图所示，A1的坐标为（﹣2，4），B1的坐标为（0，3）；
（2）如图，点E的坐标为（2.5，0），点D的坐标为（3，1.5），
△OBD的面积=
×3×1.5=
，
△OCE的面积=
×2.5×1=
，
所以，重叠部分的面积=△OBD的面积﹣△OCE的面积=
﹣
=1．
故答案为：
﹣2，4；0，3；1．
点评：
本题考查了利用旋转变换作图，平面直角坐标系熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，
（2）要利用两个三角形的面积的差求解．
9．（2012•黑河）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？
请写出猜想，并给予证明．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=
∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？
请直接写出猜想，不需证明．
考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可
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