正方形与旋转变换综合题.doc

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正方形与旋转变换综合题专训

一、围绕正方形的中心旋转

试题１、（2016贵阳模拟）将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（　　）

A．2cm2 B．4cm2C．6cm2 D．8cm2

试题２、如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F为BC边上的两点，且∠EOF=45°，过点O作OE的垂线OG，交AB于点G，连接FG，下列结论：

①△COE≌△BOG；②△COE≌△BOF；③CE+BF＞EF；④CE2+BF2=EF2．其中正确的有（　Ｃ　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

试题３、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO=，那么AC的长等于（　　） A．12 B．7 C． D．

试题４、下列命题：

如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：

①BF⊥CE；②OM=ON；③；④．其中正确的命题

A．只有①②B．只有①②④ C．只有①④D．①②③④

二、围绕正方形的顶点旋转

试题5、如图，边长为4的正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且∠EAF=45°，以下结论中正确的个数为（　　）

①S△ABE+S△ADF=S△AEF；

②BE+DF=EF；

③当△ABE≌△ADF时，EF长为8﹣8；

④当EF=4时，△CEF是等腰直角三角形．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

试题6、如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交ED于点P．若AE=AP=1，PB=，下列结论：

①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S正方形ABCD=4+；⑤S△APD+S△APB=1+．

其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②⑤ C．①④⑤D．①③⑤

试题7、如图，正方形ABCD及正方形AEFG，连接BE、CF、DG．则BE：

CF：

DG等于（　　）

A．1：

1：

1 B．1：

：

1 C．1：

：

1 D．1：

2：

1

试题8、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M．下列结论：

①AE=CG，②AE⊥CG，③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°．正确结论的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

试题9、如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE=BC，连接CE，将△CDE绕点C逆时针旋转90°，得到△CBF．连接EF，交BC于点G，H为EF的中点，连接CH，则下列说法：

①△CDE≌△EBG；②BC平分∠HCF；③S△BGF=S△CGF；④FG=GH；⑤在不添加其他线段的条件下，图中有8个等腰三角形，其中正确的说法是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．①②③⑤

试题10、将边长为的正方形ABCD与边长为的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上．连BE，则BE长为　　．

试题１１、如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　　．

试题１２、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG=CG；EG⊥CG．

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

三、围绕正方形的对角线上的点旋转

试题13、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并证明；

（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

试题１２证明：

（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=，

∵EF⊥BD，

∴∠DEF=90°，

∵GF=GD，

∴EG=DG=GF=DF，GC=DG=GF=DF，

∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC，

∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC，

∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°，

∴EG⊥GC．

（2）图②中，结论仍然成立．

理由：

作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45°

∴GM=GN，

∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°，

∴四边形ANHD是矩形，

∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°，

∴HG=DH=AN，同理GH=CM，

∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°，

∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD，

∴AN=NE=GH=MC，

在△GNE和△GMC中，

，

∴△GNE≌△GMC，

∴GE=GC，∠NGE=∠MGC，

∴∠EGC=∠NGM=90°，

∴EG⊥GC．

试题13、【分析】

（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，

（2）证明思路同

（1）

【解答】

（1）PB=PQ，

证明：

过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，

证明：

过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．