双曲线离心率值与范围类型.docx
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双曲线离心率值与范围类型
圆曲之双曲线离心率值与范围类型
一．选择题（共40小题）
1．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，
则E的离心率为（）
A．B．2C．D．
2．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C
的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．4B．C．D．
3．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知
原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．2
B．
C．
D．
4．双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
F1、F2离心率为e．过F2的直线
与双曲线的右支交于
A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则
2
e
的值是（
）
A．1+2
B．3+2
C．4﹣2
D．5﹣2
5．已知
1，F2是双曲线E：
﹣
=1的左、右焦点，点
M在E上，MF1与x轴垂直，
F
sin∠MF2F1=
，则E的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
第1页（共38页）
6．如图，F1、F2是双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双
曲线的左右两支分别交于点
A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（
）
A．4B．C．D．
7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P
使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?
|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．3
8．设F1、F2分别为双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左
顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于
M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该
双曲线的离心率为（
）
A．
B．C．
D．
9．下列三图中的多边形均为正多边形，
M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的
F1，F2
为焦点，设图示①②③
中的双曲线的离心率分别为
e1，e2，e3、则e1，e2，e3的大小关系
为（
）
A．e1＞e2＞e3
B．e1＜e2＜e3
C．e2=e3＜e1D．e1=e3＞e2
10．设点P是双曲线
2
2
2
2
在第一象限的交点，
F1，
=1（a＞0，b＞0）与圆x+y=a
+b
F2分别是双曲线的左、右焦点，且
|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（
）
A．B．
C．
D．
第2页（共38页）
11．设F1，F2分别为双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点
2
2
）
P使得（|PF1|﹣|PF2|）=b﹣3ab，则该双曲线的离心率为（
A．B．C．4
D．
12．如图所示，A，B，C是双曲线
=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点
O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．D．3
13．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆
交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）?
=0，则双曲线的离心率e
为（）
A．2B．3C．D．
14．如图，F1，F2是双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l
与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：
|BF2|：
|AF2|=3：
4：
5，则双曲线的离
心率为（）
A．B．C．2D．
第3页（共38页）
15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点是F1，F2，设P是双曲线右支上一
点，上的投影的大小恰好为且它们的夹角为，则双曲线的离心率e
为（）
A．B．C．D．
16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，
与另一条渐近线交于点B，若=2，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
17．已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，F2是双曲线的左、
右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线
段PF2，则双曲线的离心率是（）
A．
B．2C．
D．
18．已知点P为双曲线
（a＞0，b＞0）的右支上一点，
F1、F2为双曲线的左、
右焦点，使
（O为坐标原点），且||=|
|，则双曲线离心
率为（
）
A．
B．
C．
D．
19．如图，已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为
F1，F2，|F1F2|=4，P
是双曲线右支上的一点，
F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边
PF1上的切点为Q，若
|PQ|=1，则双曲线的离心率是（
）
第4页（共38页）
A．3B．2
C．D．
20．设双曲线C：
（b＞a＞0）的左、右焦点分别为
1，F2．若在双曲线的右
F
支上存在一点
P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为（
）
A．（1，2]B．
C．
D．（1，2）
21．已知F1，F2分别为双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支
上任一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（0，3]C．（1，3]D．（0，2]
22．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直
于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取
值范围是（）
A．B．C．D．
23．已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，F1，F2分别是
双曲线的左、右焦点，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，则=（）
A．B．C．D．
24．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，
则该双曲线的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
第5页（共38页）
25．已知点F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与
双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率
e的取值范围是（
）
A．（1，+∞）B．
C．（1，2）D．
26．已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．（1，2）C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
27．设双曲线
﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线
l交两
渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ
（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
28．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双
曲线于P，Q两点且PQ⊥PF1，若|PQ|=λ|PF1|，，则双曲线离心率e的取值
范围为（）
A．B．C．D．
29．如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，
点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心
率e的取值范围为（）
A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]
30．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直
线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围
是（）
第6页（共38页）
A．（1，+∞）B．
C．
D．
31．过双曲线﹣
2
2
2
的切线，切点
=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x+y=a
为E，延长FE交抛物线y2
=4cx于点P，O为坐标原点，若
=（
+），则双曲线的离
心率为（
）
A．
B．C．
D．
32．已知双曲线C：
﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形AF1F2的一边AF1
与双曲线左支交于点
B，且
=4
，则双曲线C的离心率的值是（
）
A．+1
B．
C．
+1
D．
33．设双曲线
﹣
=1的两条渐近线与直线x=
分别交于A，B两点，F为该双曲线的
右焦点．若
60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．（1，
）B．（
，2）
C．（1，2）D．（
，+∞）
34．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=2|CD|，E为AC上
一点，且
．又以A、B为焦点的双曲线过
C、D、E三点．若
，则
双曲线离心率
e的取值范围为（
）
A．B．C．D．
35．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右
支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）
A．[，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]
36．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M
为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）
A．（1，8]B．C．D．（2，3]
第7页（共38页）
37．已知P点是双曲线
上一点，F1、F2是它的左、右焦点，若
|PF2|=3|PF1|，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．（1，2）B．（2，+∞）
C．（1，2]
D．[2，+∞）
38．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于
点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为
P，设O为坐标原点，若=λ+u
（λ，
2
2
）
μ∈R），λ+u=，则双曲线的离心率为（
A．
B．
C．
D．
39．已知在双曲线
中，F1，F2分别是左右焦点，A1，A2，B1，B2分别为双曲
线的实轴与虚轴端点，若以
A1A2为直径的圆总在菱形F1B1F2B2的内部，则此双曲线
离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
40．已知点F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2且垂直
于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若?
＞0，则该双曲线的离心率e的取值
范围是（）
A．（，+1）B．（1，+1）C．（1，）D．
第8页（共38页）
圆曲之双曲线离心率值与范围类型
参考答案与试题解析
一．选择题（共40小题）
1．（2015?
新课标II）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰
三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）
A．B．2C．D．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代
入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：
设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a，a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：
D．
2．（2016?
天津校级模拟）如图，F1、F2是双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过F1的直线l与C的左、右
2个分支分别交于点
A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲
线的离心率为（
）
A．4B．C．D．
第9页（共38页）
【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a，利用等边三角
形的定义可得：
|AB|=|AF2|=|BF2|，．在△AF1F2中使用余弦定理可得
：
=﹣，再利用离心率的计算公
式即可得出．
【解答】解：
∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，．
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．
又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．
在△AF1F2中，由余弦定理可得：
=﹣
，
∴
2
2
，化为c=7a
，
∴=．
故选B．
3．（2016?
肇庆三模）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，
b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）
A．2B．C．D．
【分析】直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，
据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．
【解答】解：
∵直线l的方程为
2
2
2
，
，c
=a
+b∴原点到直线l的距离为
∴
，
2
2
4
，
∴16a
b=3c
2
2
2
4
2
2
4
4
，
∴16a
（c﹣a）=3c
，∴16ac﹣16a
=3c
∴3e4﹣16e2+16=0，
解得
或e=2.0＜a＜b，∴e=2．
故选A．
第10页（共38页）
4．（2016?
河南模拟）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率
为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直
角三角形，则e2的值是（）
A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2
【分析】设|AF1|=|AB|=m，计算出|AF2|=（1﹣）m，再利用勾股定理，即可建立a，
2
c的关系，从而求出e的值．
【解答】解：
设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，
∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，
∴4a=
m，∴|AF2|=（1﹣
）m，
2
2
+|AF2|
2
∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|=|AF1|
2
﹣
2
∴4c=（
）m，
∵4a=
m
2
﹣
2
∴4c=（
）×8a，
2
∴e=5﹣2
故选D．
5．（2016春?
唐山校级期末）已知F1，F2是双曲线E：
﹣=1的左、右焦点，点M在
E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（
）
A．B．
C．D．2
【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=
，利用sin∠MF2F1=
，
求得x=a，可得
=a，求出a=b，即可得出结论．
【解答】解：
设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，
∵MF1与x轴垂直，
222
∴（2a+x）=x+4c，
∴x=
∵sin∠MF2F1=，
∴3x=2a+x，
∴x=a，
第11页（共38页）
∴=a，
∴a=b，
∴c=a，
∴e==．
故选：
A．
6．（2016?
锦州一模）如图，
F1、F2是双曲线
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过
F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点
A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的
离心率为（
）
A．4B．C．D．
【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：
因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，
A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，
B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，
由
，则
，
在△F1BF2中应用余弦定理得：
4c
2
2
2
=4a
+16a﹣2?
2a?
4a?
cos120°，
2
2
，则
．
得c
=7a
故选：
B．
第12页（共38页）
7．（2014?
重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线
上存在一点P使得|PF1|+|
PF2|=3b，|PF1|?
|PF2|=
ab，则该双曲线的离心率为（
）
A．B．C．
D．3
【分析】不妨设右支上P点的横坐标为
x，由焦半径公式有
|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结
合条件可得a=b，从而c=
=
b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：
不妨设右支上
P点的横坐标为x
由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，
∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?
|PF2|=
ab，
2
2
ab
∴2ex=3b，（ex）﹣a=
∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，
∴（3b﹣4a）（3b+a）=0
∴a=b，
∴c==b，
∴e==．
故选：
B．
8．（2016?
岳阳二模）设F1、F2分别为双曲线
C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
A为双曲线的左顶点，以
F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于
M，N两点，且满足∠
MAN=120°，则该双曲线的离心率为（
）
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