教学总结小学数学巧妙求和专题及习题解析.docx

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教学总结小学数学巧妙求和专题及习题解析

第十六周巧妙求和

（二）

专题简析：

某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。

如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例1：

刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。

这本书共有多少页？

分析与解答：

根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。

要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。

这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：

（30＋60）×11÷2=495（页）

想一想：

如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？

练习一

1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个？

2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。

最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。

丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

例2：

30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？

分析与解答：

开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。

所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习二

1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。

一共有几把锁的钥匙搞乱了？

3，有10只盒子，44只羽毛球。

能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

例3：

某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。

那么共握了多少次手？

分析与解答：

假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。

依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）

练习三

1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。

如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

2，在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。

那么一共握了多少次手？

3，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

例4：

求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。

分析与解答：

首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。

为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数字之和。

这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。

练习四

1，求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。

2，求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。

3，求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

例5：

求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。

分析与解答：

不妨先求0~199的所有数字之和，再求200~209的所有数字之和，然后把它们合起来。

0~199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。

所以，1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。

练习五

1，求1~308连续自然数的全部数字之和。

2，求1~20**连续自然数的全部数字之和。

3，求连续自然数20**~5000的全部数字之和。

第十七周数数图形

专题简析：

我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：

1，弄清被数图形的特征和变化规律。

2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

例1：

数出下面图中有多少条线段。

分析与解答：

要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。

从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：

AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：

BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：

CD。

因此，图中共有3+2+1=6条线段。

练习一：

数出下列图中有多少条线段。

（1）

（2）

（3）

例2：

数一数下图中有多少个锐角。

分析与解答：

数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：

1+2+3+4=10（个）

练习二：

下列各图中各有多少个锐角？

例3：

数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：

图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。

练习三：

数一数下面图中各有多少个三角形。

例4：

数一数下图中共有多少个三角形。

分析与解答：

与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。

显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。

练习四：

数一数下面各图中各有多少个三角形。

例5：

数一数下图中有多少个长方形。

分析与解答：

数长方形与数线段的方法类似。

可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。

练习五：

数一数下面各图中分别有多少个长方形。

第十八周数数图形

（二）

专题简析：

在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。

例1：

数一数下图中有多少个长方形？

分析与解答：

图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。

数长方形可以用下面的公式：

长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数

练习一：

数一数，下面各图中分别有几个长方形？

例2：

数一数，下图中有多少个正方形？

（每个小方格是边长为1的正方形）

分析与解答：

图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。

所以图中的正方形总数为：

1+4+9=14个。

经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：

1×1＋2×2＋…＋n×n。

练习二：

数一数下列各图中分别有多少个正方形？

（每个小方格为边长是1的小正方形）

例3：

数一数下图中有多少个正方形？

（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）

分析与解答：

边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。

所以，图中正方形的总数为：

6+2=8个。

经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：

mn+（m－1）（n－1）＋（m－2）（n－2）＋…＋（m－n＋1）n

练习三

1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。

2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？

例4：

从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？

这些车票中有多少种不同的票价？

分析与解答：

这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。

由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。

练习四

1，从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？

2，从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？

3，从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？

例5：

求下列图中线段长度的总和。

（单位：

厘米）

分析与解答：

要求图中的线段长度总和，可以这样计算：

AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE

=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米

从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的线段出现了（2×3）次，长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：

1×4+4×（3×2）+2×（2×3）+3×（1×4）

=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米

上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a（n－1）。

以上各线段长度的总和为L，那么L=a1×（n－1）×1+a2×（n－2）×2+a3×（n－3）×3+…+a（n－1）×1×（n－1）。

练习五

1，一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少？

2，求下图中所有线段的总和。

（单位：

米）

3，求下图中所有线段的总和。

（单位：

厘米）

第十九周应用题

（二）

专题简析：

解答复合应用题时一般有如下四个步骤：

1，弄清题意，找出已知条件和所求问题；

2，分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；

3，拟定解答计划，列出算式，算出得数；

4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

例1：

某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。

这堆煤还能烧多少天？

分析与解答：

条件摘录

前10天每天烧煤300吨

10200吨能烧多少天？

后来每天烧煤240吨

综合法思路：

前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；

已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；

根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。

分析法思路：

要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；

要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。

要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。

（10200－300×10）÷240=30（天）

练习一

1，某电冰箱厂要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。

剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务？

2，某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套，后来改进操作方法，平均每天可以生产2600套。

这样完成这批轴承生产任务共需多少天？

3，某机床厂计划每天生产机床40台，30天完成任务。

现在要提前10天完成任务，每天要生产多少台？

例2：

师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，徒弟还要做2小时才能完成任务。

徒弟每小时加工多少个？

分析与解答：

由条件可知，师傅完成任务用了200÷25=8小时，徒弟完成任务用了8+2=10小时。

所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。

练习二

1，张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师傅还要做1天才能完成任务。

李师傅每天做多少个？

2，小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4天才能完成。

小明每天写多少个字？

3，丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，这样可提前几天完成任务？

例3：

甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。

张强从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？

分析与解答：

根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米；步行200千米要40小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×8=40千米；全程有200千米，乘汽车行了200－40=160千米，所以，还需160÷40=4小时到达乙地。

练习三

1，玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需要4小时。

一车间工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？

2，甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。

张强从甲地出发，先乘汽车4小时，后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？

3，A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时。

王亮从A城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。

他从A城到B城共用了多少小时？

例4：

某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米，派21人来完成；实际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？

分析与解答：

要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完成。

原计划21人每天修4×21=84米，修4200米需要4200÷84=50天。

实际增加了4人，每天修4×（21+4）=100米，修同样长的公路需要4200÷100=42天。

所以可提前50－42=8天完成任务。

练习四

1，羊毛衫厂要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件，派18人来完成。

实际增加了3人，可以提前几天完成任务？

2，某筑路队修一条长8400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人来完成。

如果每人的工作效率不变，要提前8天完成任务，需要多少人参加？

3，友谊服装厂要加工192套服装，原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成。

如果每人工作效率不变，要提前4天完成任务，需要增加多少人加工？

例5：

自行车厂计划每天生产自行车100辆，可按期完成任务，实际每天生产120辆，结果提前8天完成任务。

这批自行车有多少辆？

分析与解答：

假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产8天可多生产120×8=960辆。

实际每天多生产120－100=20辆，可以求出多生产960辆所用的时间，这个时间就是原计划所需要的时间，960÷20=48天。

所以，这批自行车有100×48=4800辆。

练习五

1，农机厂生产柴油机，原计划每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务。

实际每天生产50台，结果提前6天完成，这批柴油机有多少台？

2，一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。

实际每天运20吨，结果提前3天运完。

这批黄沙有多少吨？

3，新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前25天就完成了任务。

这批机器有多少台？

第二十周速算与巧算

（一）

专题简析：

速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。

这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。

在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。

转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。

例1：

计算9+99+999+9999

分析与解答：

这四个加数分别接近10、100、1000、10000。

在计算这类题目时，常使用减整法，例如将99转化为100－1。

这是小学数学计算中常用的一种技巧。

9+99+999+9999

=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）

=10+100+1000+10000－4

=11106

练习一

1，计算99999+9999+999+99+9

2，计算9+98+996+9997

3，计算1999+2998+396+497

4，计算198+297+396+495

5，计算1998+2997+4995+5994

6，计算19998+39996+49995+69996

例2：

计算489+487+483+485+484+486+488

分析与解答：

认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。

489+487+483+485+484+486+488

=490×7－1－3－7－5－6－4－2

=3430－28

=3402

想一想：

如果选480为基准数，可以怎样计算？

练习二

1，50+52+53+54+51

2，262+266+270+268+264

3，89+94+92+95+93+94+88+96+87

4，381+378+382+383+379

5，1032+1028+1033+1029+1031+1030

6，2451+2452+2446+2453

例3：

计算下面各题。

（1）632－156－232

（2）128+186+72－86

分析与解答：

在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。

（1）632－156－232

（2）128+186+72－86

=632－232－156=128+72+186－86

=400－156=（128+72）+（186－86）

=244=200+100=300

练习三

计算下面各题

1，1208－569－208

2，283+69－183

3，132－85+68

4，2318+625－1318+375

例4：

计算下面各题。

1.248+（152－127）2.324－（124－97）3.283+（358－183）

分析与解答：

在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。

我们可以把上面的计算方法概括为：

括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号。

1．248+（152－127）2.324－（124－97）3.283+（358－183）

=248+152－127=324－124+97=283+358－183

=400－127=200+97=283－183+358

=273=297=100+358=458

练习四

计算下面各题

1，348+（252－166）3.462－（262－129）

2，629+（320－129）4.662－（315－238）

5，5623－（623－289）+452－（352－211）

6，736+678+2386－（336+278）－186

例5：

计算下面各题。

（1）286+879－679

（2）812－593+193

分析与解答：

在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：

括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。

（1）286+879－679

（2）812－593+193

=286+（879－679）=812－（593－193）

=286+200=812－400

=868=412

练习五

计算下面各题。

1，368+1859－859

2，582+393－293

3，632－385+285

4，2756－2748+1748+244

5，612－375+275+（388+286）

6，756+1478+346－（256+278）－246