第11讲巧妙求和教教案教学设计导学案.docx

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第11讲巧妙求和教教案教学设计导学案

学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

四年级

课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

奥数

学科教师：

授课主题

第11讲——巧妙求和

授课类型

T同步课堂

P实战演练

S归纳总结

教学目标

1掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；

2掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

一、数列的概念

按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

如：

2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列

100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列

二、等差数列与公差

一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

三、常用公式

等差数列的总和=（首项+末项）项数2

项数=（末项-首项）公差+1

末项=首项+公差（项数-1）

首项=末项-公差（项数-1）

公差=（末项-首项）（项数-1）

等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数

中项定理：

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

考点一：

等差数列的基本认识

例1、下面的数列中，哪些是等差数列？

若是，请指明公差，若不是，则说明理由。

①6，10，14，18，22，…，98；

②1，2，1，2，3，4，5，6；

③1，2，4，8，16，32，64；

④9，8，7，6，5，4，3，2；

⑤3，3，3，3，3，3，3，3；

⑥1，0，1，0，l，0，1，0；

【考点】等差数列的基本认识

【解析】①是，公差d=4.

②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.

③不是，因为4-2≠2-1.

④是，公差d=l.

⑤是，公差d=0.

⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。

例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141

例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？

第19项是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】把数列列出来：

答案：

例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数

的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．

例5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？

它的第201项是多少？

65是其中的第几项？

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第项首项公差，所以，第201项，对于数列5，8，11，，65，一共有：

，即65是第21项．

答案：

无限多项；第项是；是第项

考点二：

等差数列求和

例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：

．

答案：

例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：

，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：

答案：

例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。

在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。

小马虎求和时漏掉的数是。

【考点】等差数列的求和

【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1，才能使结果正确，共要补上2006，因此这个漏掉的数是2006。

例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？

【考点】数阵中的等差数列

【解析】方法一：

用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比

较慢，这里不再写具体过程）

方法二：

每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数．

先看行，因为是偶数行没有中间项，首项，末项或者．这100个数之和．按列算同上．

方法三：

从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和．

答案：

考点三：

等差数列的应用

例1、已知数列：

2，1，4，3，6，5，8，7，，问2009是这个数列的第多少项？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】偶数项的排列规律是：

1、3、5、7，

奇数项的排列规律是：

2、4、6、8，

方法一：

可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇

数，所以在偶数项数列中，它的项数是：

，所以在整个数列中，2009的项数是，所以2009是这个数列的第2010项．

方法二：

仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数，偶数的项数是该数，所以2009是这个数列的第项．

答案：

例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

【解析】先求被3整除的数的和；11～45中能被3整除的数有12，15，…，45，和为：

；于是，满足要求的数的和为：

．

例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍          根。

【考点】找规律计算

【解析】找规律3，3+6，3+6+9…,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45

答案：

例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：

第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有___________个小圈。

【考点】找规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试

【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1×2，2×3，3×4，……，

第6个图有6×7＋4＝46个小圆。

答案：

P（Practice-Oriented）——实战演练

Ø课堂狙击

1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？

如果继续写下去，第201个数是多少？

【解析】

（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：

项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。

（2）根据公式：

末项=首项+公差（项数-1）

解：

项数=（201-3）3+1=67

末项=3+3（201-1）=603

答：

共有67个数，第201个数是603

2、全部三位数的和是多少？

【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。

要求和可以利用等差数列求和公式来解答。

　　解：

（100+999）9002

=10999002

=494550

答：

全部三位数的和是494550。

3、求下列方阵中所有各数的和：

1、2、3、4、……49、50；

2、3、4、5、……50、51；

3、4、5、6、……51、52；

……

49、50、51、52、……97、98；

50、51、52、53、……98、99。

【解析】这个方阵的每一横行（或竖行）都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行（或竖行）数列之和，再求出这个方阵的和。

　　解：

每一横行数列之和：

第一行：

（1+50）502=1275

第二行：

（2+51）502=1325

第三行：

（3+51）502=1375

……

第四十九行：

（49+98）502=3675

第五十行：

（50+99）502=3725

方阵所有数之和：

1275+1325+1375+……+3675+3725

=（1275+3725）502

=125000

4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？

最内圈有多少人？

5、【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912，项数是16，公差是6。

题目要求是的等差数列末项=d×（n-1）=6×（16-1）=90（人）

解：

a+a=S2n=912216=114（人）

外圈人数=（90+114）2=102（人）

内圈人数=（114-90）2=12（人）

答：

最外圈有102人，最内圈有12人。

5、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。

【解析】6+4（2003-1）

=6+42002

=8014

6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有多少个座位。

【解析】首项=70-（25-1）×2=22

总和=（22+70）×25÷2=1150

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。

最上面一层放本书，最下面一层放本书。

【解析】100、140

中间一层本数：

6005=120（本）

最上面一层：

12-102=100（本）

最下面一层：

120+12=140（本

8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？

【解析】题中要求办不到。

9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：

这堆圆木一共有多少根？

【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（层）102892=4539（根）

10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？

【解析】第100层有点：

6+（99-1）6

=6+986

=699

=594（个）

点阵只有点：

1+（6+594）992

=1+600992

=29701（个）

答：

这个点阵共有点29701个。

Ø课堂反击

1、观察右面的五个数：

19、37、55、a、91排列的规律，推知a=________。

【解析】19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=73

答案：

2、2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？

【考点】等差数列的基本认识

【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。

末项=2+（21-1）×3=62

答案：

3、在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．

【考点】等差数列公式的简单运用

【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项的公式得，列式得：

即第285个数是1994．

4、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】末项是：

，和是：

答案：

5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

【考点】等差数列的求和

【解析】由题可知：

由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.

答案：

6、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:

这个数列中第2000个数是多少？

第2003个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】奇数项的排列规律是：

2、4、6、8，

偶数项的排列规律是：

3、6、9、12，

可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：

第2000个数在偶数项等差数列中是第个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第个数，所以第2000个数是，第2003个数是．

答案：

7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

【考点】等差数列的公式运用

【解析】平均数：

248÷8=31，第4个数：

31-1=30。

第1个数：

30-6=24，末项：

24+（8-1）×2=38。

即：

最大的数为38。

答案：

8、观察下列四个算式：

=20，

=10，

=

，

=

。

从中找出规律，写出第五个算式：

。

【考点】找规律计算，2009年，希望杯，第七届，六年级，二试

【解析】发现规律，第5个算式为

÷16=。

9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如对于a，差为7-5=2，所有差的总和为。

【考点】数阵中的等差数列

【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0，和为0

第二行第一个圈为1，第二个圈为0，和为1

第三行第一个圈为2，第二个圈为1，第三个圈为0和为

第四行第一个圈为3，第二个圈为2，第三个圈为1，第四个圈为0，和为

……

所以这些差有7个1，6个2，5个3，4个4，3个5，2个6，1个7

和为

答案：

1、（2005年，第3届，希望杯，4年级，1试）从1开始的奇数：

1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。

【考点】等差数列的基本认识

【解析】

2、（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式：

2＋4＝6＝2×3，

2＋4＋6＝12＝3×4

2＋4＋6＋8＝20＝4×5

……

然后计算：

2＋4＋6＋……＋100＝。

【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100以内的偶数有50个，所以2＋4＋6＋……＋100＝50×51＝2550

答案：

3、（2005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1～N中去掉一个数，剩下的（N一1）个数的平均值是15.9，去掉的数是_____。

【考点】等差数列的公式运用

【解析】因为“剩下的（N-1）个数的平均值是15．9”，所以（N-1）是10的倍数，且N在15．9×231．8左右，推知N=31.去掉的数是

（1+2+3+…+31）-15.9×30496-47719。

答案：

S（Summary-Embedded）——归纳总结

一、等差数列的定义

⑴定义：

从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列．

⑵首项：

一个数列的第一项，通常用表示

末项：

一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。

项数：

一个数列全部项的个数，通常用来表示；

公差：

等差数列每两项之间固定不变的差，通常用来表示；

和：

一个数列的前项的和，常用来表示．

二、等差数列的相关公式

（1）三个重要的公式

①通项公式：

递增数列：

末项首项（项数）公差，

递减数列：

末项首项（项数）公差，

②项数公式：

项数（末项首项）公差+1

③求和公式：

和=（首项末项）项数÷2

（2）中项定理：

对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．

Ø本节课我学到

Ø我需要努力的地方是