输油管的布置数学建模.docx
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输油管的布置数学建模
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
年月日
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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
输油管的布置
摘要
“输油管的布置”数学建模的目的是建立起数学模型寻求使铺设管道费用最低
的设计方案。
但是不同于普遍的最短路径问题，他受各种实际情况影响，例如，
城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等都会对设计产
生影响。
我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问
题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。
问题一：
此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同
设计相应的模型，我们根据光的传播原理和两大间线段最短的原则设计了最短路
径模型，在不考虑共用管线价格差异时，只需考虑如何设计最短路线即可得到最
低费用的设计方案；在考虑共用管线差价的情况下，只需建立两个未知变量，当
代入已知常量，就可以解出变量的值。
问题二：
此问给出了两个加油站的具体位置，在此基础上增加了城区和郊区
铺设管线单位价格的不同，我们进一步改进了数学模型，由于铺设费用存在差异，
输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，基于该模型，我们在模型基础上
建立直角坐标系，设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用C++编辑程序求
借出最小值。
问题三：
该问题的解答方法和问题二类似，但由于城郊管线和共用管线三者
的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型进行改进，在坐标系内增加
一个变量，建立最低费用函数，并且利用C++解出最低费用和路径坐标。
关键字：
c++程序设计光的传播原理数学模型最低费用
输油管的布置
一、问题的重述
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2.设计院目前需对复杂情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：
千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3.在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二、模型假设
1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。
2、不考虑管道的接头处费用。
3、忽略铺设过程中的劳动力费用，只考虑管线费用。
4、将两炼油厂和车站近似看作三个点。
5、将铁路近似看作一条直线。
6、不考虑施工之中的意外情况，所有工作均可顺利进行。
7、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管
线价格，小于两条非公用管线价格之和。
8、根据查询资料我们可以为所给出的三个工程咨询公司进行分权，甲级资质分权0.4，
乙级资质分权为0.3。
9、假设共用管线与非共用管线存在价格差时，共用管线价格大于非共用管线价格低于
两倍的非共用管线价格。
10、默认A炼油厂距离铁路比B炼油厂近。
三、符号说明
W：
方案的经费
a：
A厂到铁路的距离
b：
B厂到铁路的距离
c:
A厂到城郊分界线的距离
l:
A、B两厂之间的铁路长度
m：
共用管道的费用（万元/千米）
n：
非共用管道费用（万元/千米）
L:
为管线总长度
h：
共用管线的长度
x1：
车站的横坐标（问题二）
y1：
城郊分界处拐点的纵坐标（问题二）
x2：
共用管线和非共用管线交点的横坐标（问题三）
y2：
城郊分界处拐点的纵坐标（问题三）
p：
附加费用的估计值。
四、问题分析
问题一：
首先要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同
一侧那么一定要考虑共用管线的问题。
如果不在铁路的同一侧那么就没有必要考
虑共用管线这个问题。
当两个工厂在铁路两边时，根据两点之间线段最短的原理
只要求出两厂之间的距离，就可以得到最低费用设计；当两个工厂在铁路的同一
侧时，且当没有共用管线时，只需利用光的传播原理可得到最短路径；在考虑到
有共用管线时，需建立方程求解最低消费设计方案。
问题二：
这个问题从市区和郊区分两个部分分析，火车站建立在郊区费用要少；因为郊区非共用管线与共用管线的费用相同，所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以通过方程解出最低费用及对应的铺设线路。
问题三：
通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表示出管线的长度，然
后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。
即确定了管线的
路线。
五、模型的建立与求解
5.1关于问题1的模型建立与求解
对于管线布置的分析，分为两种情况：
1、两个炼油厂在铁路两侧，如图所示：
两炼油厂A,B直接的连线与铁路的交点E为车站位置此时L=
此时为最低费用设计方案。
2、两个炼油厂位于铁路的同一侧,则需考虑有无共用管线两种情况：
a.当没有公用管线时，此时找出两厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图：
过铁路CD作A点的对称点A’，连接A’B，与铁路相交于点E即为车站所在位置，此时L=
此时为最低费用设计方案。
b．当存在共用管线时：
A、当共用管线与非共用管线价格相同，均为m时：
设计方案如图所示
假设公共管线长度为h；（0＜h＜b）
x=a-h
（1）
L=
+h
（2）
L=
+h（3）
W=Lm=m*
+m*h（4）
当实际情况下已知a，b，l的情况下，上式只存在一个未知数h，再结合h的范围即可得出最低费用的设计方案。
B、当共用管线价格为m，非共用管线价格为n；（n＜m＜2n）
设计方案如图所示：
W=h*m+n*
+n*
其中：
0＜x＜l；
0＜h＜b；
实际情况下的费用可以根据已知道的常量a、b、l再结合x、h的取值范围可以得出最小费用。
5.2关于问题2的模型建立与求解
因为在城区和郊区铁路管线的费用相同，而在城区有拆迁和工程补偿等费用，所以城区和郊区要分为两部分来考虑。
我们从三家咨询公司给出的三个方案来看，我们考虑到甲级资质和乙级资质的评估准确性，所以我们对三家公司进行分权，甲级资质的权重为40%，乙级资质的权重为30%
所需要的附加费预估值为p=0.4*21+0.3*24+0.3*20=21.6（万元/千米）
由于城区管线铺设所花费的费用比较大，所以车站站点建设在郊区才是相
对节约经费的。
我们根据共用管线与非共用价格相同设计出如下图所示模型：
如上图所示建立坐标系，在城区部分我们可以得到每千米铺设管线费用为21.6+7.2=28.8万元。
W=7.2*（h+
）+28.8*
（1）
x=5-h
（2）
W=7.2*（h+
）+28.8*
（3）
其中0＜h＜8
0＜y1＜8
利用C++程序编辑器编辑程序求解：
最小费用W=283.201万。
5.3关于问题3的模型建立与求解
根据城郊管线之间以及共用管线之间存在价格差异，我们建立出如下图的模型：
G为B管线与分界线之间的交点；F为A，B管线间的交点；
A厂到F点距离：
AF=
；
GF之间距离：
FG=
；
B厂到G点距离：
BG=
；
共用管道FE距离为h；
0＜h＜8；
5＜x2＜20；
0＜y2＜8；
总费用：
W=5.6*AF+6*GF+7.2*EF+（21.6+6）*BG
（1）
W=5.6*
+6*
+7.2*h+27.6*
利用C++程序编辑器编辑程序求解：
得到最低的费用为W=252.474万元。
六、模型的评价与应用
从实际的生活出发输油管道是石油生产过程中的重要环节，石油工业始终离不
开输油管线的铺设问题。
它是炼油厂、车站、用户、产地之间的重要环节。
优点：
利用数学模型的建立，是复杂的实际问题简单化，同时又与实际情况相
联系。
建立合适的数学模型可以使设计达到最优的目的，使解决复杂的时间问题
更加简单化，更加得节约和快捷。
缺点：
该模型进行了很多假设，比如忽略接头问题，和施工费用问题，以及忽
略了地形对施工的影响。
在计算过程中由于C++程序编程循环过于庞大，即采用
由粗至细的运算方法，存在一定误差。
应用：
模型在实际运用中，不仅仅可以用在成品油运输管布置，还可运用到原
油输送和污水处理，电线电缆的布置还有公路铁路的修建等一些列的线路布置问
题。
附录
问题二的C++程序片段
#include
#include
voidmain（）
{
doubleh,y1,w;
doublea,b;
h=0;
inti,j;
doublemin=10000;
for（j=0;j<=80000;j++）
{h=h+0.0001;
y1=0;
for（i=0;i<=80000;i++）
{y1=y1+0.0001;
w=28.8*sqrt（（8-y1）*（8-y1）+25）+（sqrt（（y1+5-2*h）*（y1+5-2*h）+225）+h）*7.2;
if（min>w）
{
min=w;
a=h;
b=y1;
}
}
}
cout<<"w="<cout<<"h="<cout<<"y1="<}
问题二的C++程序片段：
#include
#include
voidmain（）
{
doubleh,y2,x2,w;
doublea,b,c;
h=0;
y2=0;
x2=5;
inti,j,k;
doublemin=10000;
for（i=0;i<=8;i++）
{h=h+1;
y2=0;
for（j=0;j<=8;j++）
{y2=y2+1;
x2=5;
for（k=0;k<=15;k++）
{x2=x2+1;
w=27.6*sqrt（（8-y2）*（8-y2）+25）+5.6*sqrt（（5-h）*（5-h）+（20-x2）*（20-x2））+6*sqrt（（x2-5）*（x2-5）+（y2-h）*（y2-h））+7.2*h;
if（min>w）
{
min=w;
a=h;
进一步细化：
#include
#include
voidmain（）
{
doubleh,y2,x2,w;
doublea,b,c;
h=0.13;
y2=0;
x2=5;
inti,j,k;
doublemin=10000;
for（i=0;i<=20;i++）
{h=h+0.1;
y2=6;
for（j=0;j<=20;j++）
{y2=y2+0.1;
x2=12;
for（k=0;k<=20;k++）
{x2=x2+0.1;
w=27.6*sqrt（（8-y2）*（8-y2）+25）+5.6*sqrt（（5-h）*（5-h）+（20-x2）*（20-x2））+6*sqrt（（x2-5）*（x2-5）+（y2-h）*（y2-h））+7.2*h;
if（min>w）
{
min=w;
a=h;
循环最终可得到
怎样写作数学建模竞赛论文
一如何建立数学模型—建立数学模型的涉骤和方法
建立数学模型没有固定的模式，通常它与实际问题的性质、建模的目的等有关。
当然，建模的过程也有共性，一般说来大致可以分以下几个步骤：
1.形成问题
要建立现实问题的数学模型，首先要对所要解决的问题有一个十分明晰的提法。
只有明确问题的背景，尽量弄清对象的特征，掌握有关的数据，确切地了解建立数学模型要达到的目的，才能形成一个比较明晰的“问题”。
2.假设和简化
根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的假设和简化。
现实问题通常是纷繁复杂的，我们必须紧紧抓住本质的因素（起支配作用的因素），忽略次要的因素。
此外，一般地说，一个现实问题不经过假设和简化，很难归结为数学问题。
因此，有必要对现实问题作一些简化，有时甚至是理想化
3.模型的构建
根据所作的假设，分析对象的因果关系，用适当的数学语言刻画对象的内在规律，构建现实问题中各个量之间的数学结构，得到相应的数学模型。
这里，有一个应遵循的原则：
即尽量采用简单的数学工具。
4.检验和评价
数学模型能否反映厡来的现实问题，必须经受多种途径的检验。
这里包括：
（1）.数学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾的地方；
（2）.适合求解，即是否有多解或无解的情况出现；（3）.数学方法的可行性，即迭代方法是否收敛，以及算法的复杂性等。
而更重要和最困难的问题是检验模型是否真正反映厡来的现实问题。
模型必须反映现实，但又不等同于现实；模型必须简化，但过分的简化则使模型远离现实，无法解决现实问题。
因此，检验模型的合理性和适用性，对于建模的成败是非常重要的。
评价模型的根本标准是看它能否准确地反映现实问题和解决现实问题。
此外，是否容易求解也是评价模型的一个重要标准。
5.模型的改进
模型在不断检验过程中经过不断修正，逐步趋向完善，这是建模必须遵循的重要规律。
一旦在检验中发现问题，人们必须重新审视在建模时所作的假设和简化的合理性，检查是否正确刻画对象内在的量之间的相互关系和服从的客观规律。
针对发现的问题作出相应的修正。
然后，再次重复上述检验、修改的过程，直到获得某种程度的满意模型为止。
6.模型的求解
经过检验，能比较好地反映厡来现实问题的数学模型，最后将通过求解得到数学上的结果；再通过“翻译”回到现实问题，得到相应的结论。
模型若能获得解的确切表达式固然最好，但现实中多数场合需依靠电子计算机数值求解。
电子计算机技术的飞速发展，使数学模型这一有效的工具得以发扬光大。
数学建模的过程是一种创造性思维的过程，对于实际工作者来说，除了需要具有想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领悟、理解、推理和判断。
它要求人们具有丰富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进行艰苦探索和反复思考。
这种能力的培养要依靠长期的积累。
此外，用数学模型解决现际问题，还应当注意两方面的情况。
一方面，对于不同的实际问题，通常会使用不同的数学模型。
但是，有的时候，同一数学模型，往往可以用来解释表面上看来毫不相关的实际问题。
另一方面，对于同一实际问题要求不同，则构建的数学模型可能完全不同。
二写作数学建模竞赛论文应注意的问题：
1.论文格式
论文的封面：
题目………
参赛队员：
………
指导教师：
……
单位：
………
论文的第一页是摘要，第二页开始是论文的正文，论文要有以下几方面的内容：
一.问题的提出
二.问题的分析
三.模型的假设
四.模型的建立
五.模型的求解
六.模型的检验
七.模型的修正
八.模型的评估
九.附录
以上各部分内容应该都是要具备的，但有些步骤可以合并在一起。
例如：
问题的提出与问题的分析，模型的假设与模型的建立，模型的检验与模型的修正等。
下面就每一步以及建模过程中应注意的几个问题作一简要介绍。
2.审题：
赛题一般有两道（研究生的竞赛有4道题），我们可以从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问题。
因此，首先必需弄清题目的意义。
数学建模的题目有时很长，有时很复杂。
不易弄懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能弄清楚它的含义。
因此我们要求：
（1）.深刻理解题意
（2）.弄清题目的实际背景
（3）正确选择题目，根据自身的特长和优势作出决定。
要注意不要被题目的繁长的叙述哧住，碰到长的题目要有耐心，要仔细的分析题目的各部分内容、条件和要求。
3.当选定题目后，接下来就应该是对题目进进一步的分析。
下面的几项工作是必需要做的：
（1）.在弄清问题的背景下，说清事情的来龙去脉。
（2）.列出必要的数据，题目所给的数据往往是不够的，还要寻找题目以外的数据。
（3）.列出和题目相关的各种条件和变量，分清各变量之间的主从关系。
（4）.给出研究对象的关键信息内容。
4.在分析问题的基础上，提出合理的假设
模型是在假设的前提下建立起来的。
对情景的说明不可能也不必要提供问题的每一个细节。
由题目所提供的假设来建立数学模型还是不够的，还要补充一些假设。
假设是建立数学模型很关键的一步，关系到模型的成败和优劣。
所以应该仔细地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。
这部分内容就应该在论文的问题的假设部分中体现。
由于假设不是实际问题直接提供的，它因人而异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下几个方面：
（1）论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解。
（2）所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立数学模型无关的假设只会扰乱读者的思考
（3）假设应该是合理的；怎样的假设才是合理的呢？
a.假设应合乎生活常识。
b.假设不能与已知的科学定律相悖。
c.假设必需是对建模有用的。
d.尽量使用数学的语言。
e.假设不要超出题目要求的范围。
假设这一步是数学建模的一个难点，它关系到建模的成败和优劣，数学建模的假设就是要发挥每个人的想象力和创造力，提出适当的、合理的、有创新的见解。
如果这一步成功了，那么你的整个建模过程也就成功了一半。
5在假设的基础上下一步当然就是模型的建立。
在建立模型之前要引进变量及其记号。
每个字母所表达的确切含义。
经过抽象，确切表达各变量之间的关系，用一定的数学方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数学关系式，如图形、表格等。
在建模过程中要注意以下几个问题：
（1）要用分析和论证的方法，让读者清楚地了解得到建模的过程。
（2）上下文之间切忌逻辑推理过程中跃度过大，影响论文的说服力。
（3）需要推理和论证的地方，应该有推导过程且应该力求严谨。
引用现成定理时，要先验证满足定理的条件。
论文中用到的各种数学符号，必须在第一次出现时加以说明。
6.模型的求解
把实际问题归结为一定的数学问题后，就要求解或进行分析，数学模型的求解多数是数值求解。
在求解时应对计算方法有所说明。
使用何种数学软件，给出计算程序（通常以附录形式给出）。
有时还用图形或表格形式表出计算结果。
有些模型还要作稳定性或灵敏度分折。
7.模型的检验
数学模型未必都是正确的，这就需要检验，如何检验
（1）检验是否符合生活常识；
（2）用己给的数据检验；
（3）用分析推理检验。
8.模型的评估
（1）模型的优缺点对自已建立的模型要有正确的评价，既要实事求是，不要过分谦虚，也不要过分誇张。
（2）模型的推广,模型的适用范围。
对所作的模型，可以作多方面的讨论，例如可以就不同的情景，探索模型将如何变化；也可以根据实际情况，改变文章中的某些假设，指出由此引起数学模型的变化。
还可以用不同的数值方法进行计算，并比较所得结果。
甚至可以拓广思路，考虑由于建模方法的不同选择而引起的变化。
9.论文写作中语言表述应注意的问题。
语言是构成论文的基本元素，数学模型论文的语言与其他科学论文的语言一样，要求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，使人不甚辛读。
语言中应多用客观陈述句，切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向的语句。
要特别注意以下几点：
（1）语言要简炼清晰，不要用含糊不清、莫临两可的语言。
（2）不要随意造句。
（3）不要用倒装句
（4）要通俗易懂
10.如何写论文摘要
竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论文写完最后写。
摘要不是提纲，摘要应把论文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清楚。
让人看到论文的新意。
摘要是给读者和评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖的重要因素。
从98年开始，由于参赛规模的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规定论文摘要写祥细一些（研究生的也一样）。
即评阅论文时，先看摘要，如果看了你论文的摘要,认为这篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。
因此希望大家要十分重视论文摘要的写作。
最后论文要用计算机打印出来，装订好连同电子版上缴，论文一律用A4打印。
数学建模竞赛为大学生（研究生）提供了一个表达聪明才智的舞台。
你们有这样的机会应该感到高兴。
希望大家发扬赶想、赶干，勇于创新，不畏困难的精神。
多用形象思维的方法。
什么是形象思维，李大潜院士举了两个非常生动有趣的例子：
一个是毛主席诗词的“渔家傲”词的最后一句“换起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱”用了共工头触不周山的故事。
毛主席的原词是：
渔家傲反第一次大“围剿”一九三一年春
万木霜天红烂漫，天兵怒气冲霄汉。
雾满龙冈千嶂暗，齐声唤，前头捉了张辉瓒。
二十万军重入赣，风烟滚滚来天半。
唤起工农千百万，同心干，不周山下红旗乱。
《关于共工头触不周山的故事：
“淮南子.天文训”：
“昔者共工
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