六年级数学思维训练 立体几何.docx
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六年级数学思维训练立体几何
2014年六年级数学思维训练：
立体几何
一、兴趣篇
1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？
长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？
2．如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？
如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？
3．用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？
4．
（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？
（2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？
5．（2013?
北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为
厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为
厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
6．（2012?
北京模拟）
（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？
（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？
如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？
7．这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：
圆锥体积与圆柱体积的比是多少？
8．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为分米、1分米和分米的圆柱体组成．请问：
（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？
（л取）
（2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？
9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？
（结果精确到小数点后两位）
10．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？
二、拓展篇
11．将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．
12．（2012?
深圳校级模拟）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．
13．如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：
这个立体图形的表面积等于多少？
14．如图1，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图2的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？
如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？
15．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：
原正方体的体积是多少？
16．如图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？
如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
17．一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？
这个木盒的容积又是多少？
18．有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图）．这个零件的体积为多少立方厘米？
（л取）
19．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？
（л取3）
20．张大爷去年用长2米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
21．左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？
22．如图一个底面长30分米，宽10分米，高12分米的长方体水池，存有四分之三池水，请问：
（1）将一个高11分米，体积330立方分米的圆柱放入池中，水面的高度变为多少分米？
（2）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
（3）如果再放人一个同样的圆柱，水面高度又变成了多少分米？
三、超越篇
23．有一个棱长为20的大立方体，在它的每个角上按如图的方式各做一个小立方体，于是得到8个小立方体．在这些立方体中，上面4个的棱长为12，下面4个的棱长为13．请问：
所有这8个小立方体公共部分的体积是多少？
24．地上有一堆小立方体，从上面看时如图1，从前面看时如图2，从左边看时如图3．这一堆立方体一共有几个？
如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
25．
（1）已知一个圆柱的底面直径为6厘米，高为4厘米．求它的体积和表面积；（答案用兀表示）
（2）用一个半径为25厘米，圆心角为°的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少？
如果圆心角是216°呢？
（答案用丌表示）
26．将图1、图2中的平面图形分别折叠成一个四棱锥和三棱柱，这两个立体图形的体积分别是多少？
（图1正中央是一个面积为18平方厘米的正方形，每边上分别有一个腰长为5厘米的等腰三角形；图2中的图形由三个长方形和两个直角三角形组成．）
27．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，如图圆柱体的底面直径和高都是12厘米，其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时，水面离顶部5厘米．请问：
这个容器的容积是多少立方厘米？
（兀取）
28．有一个长方体水池，底面为边长60厘米的正方形，里面插着一根长1米的木桩，木桩的底面是一个边长15厘米的正方形，木桩有一部分浸在水中，一部分露出水面．现在将木桩提起来24厘米（仍有部分浸在水里），那么露出水面的木桩浸湿部分面积为多少平方厘米？
29．右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是 毫升．
30．有一个三棱柱和一个正方体，三棱柱的底面是一个等边三角形，边长恰好等于正方体的面对角线长度，三棱柱的高恰好等于正方体的体对角线长度，如果正方体的棱长为6，那么三棱柱的体积为多少？
2014年六年级数学思维训练：
立体几何
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？
长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？
【分析】首先根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，求出棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式：
s=（ab+ah+bh）×2，正方体的表面积公式：
s=6a2，长方体的体积公式：
v=abh，正方体的体积公式：
v=a3，把数据分别代入公式解答．
【解答】解：
（3+2+1）×4÷12
=6×4÷12
=24÷12
=2（厘米），
（3×2+3×1+2×1）×2：
（2×2×6）
=11×2：
24
=22：
24
=11：
12；
2×2×2﹣3×2×1
=8﹣6
=2（立方厘米），
答：
长方体与正方体的表面积之比是11：
12，长方体体积比正方体体积少2立方厘米．
2．如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？
如果四角去掉边长为3厘米的正方形呢？
【分析】先根据题意计算出折成的长方体的长，宽，高，即长方体的长=原长方形的长﹣2个正方形的边长，长方体的宽=原长方形的宽﹣2个正方形的边长，长方体的高=正方形的边长，再根据长方体的容积=长×宽×高，计算出容积．
【解答】解：
长方体的长：
13﹣2﹣2=9（厘米）
长方体的宽：
9﹣2﹣2=5（厘米）
容积为：
9×5×2=90（立方厘米）
答：
这个容器的容积为90立方厘米．
如果四角去掉边长为3厘米的正方形：
长方体的长：
13﹣3﹣3=7（厘米）
长方体的宽：
9﹣3﹣3=3（厘米）
容积为：
7×3×3=63（立方厘米）
答：
这个容器的容积为63立方厘米．
3．用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？
【分析】可以从上下左右前后观察各有几个正方形的面，然后用一个正方形的面的面积乘它的个数，即是这个图形的表面积，据此解答．
【解答】解：
上、下共：
9+9=18（个），
左、右共：
7+7=14（个），
前、后共：
7+7=14（个），
表面积：
1×1×（18+14+14），
=46（平方厘米）；
答：
这个图形的表面积是46平方厘米．
4．
（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？
（2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？
【分析】图1由图意可知，减少的面积的和新增的面的面积相等，所以剩余部分的表面积就是原来长方体的表面积．
图2由图意可知，减少的是长是4，宽是3的两个长方形的面积，用减少的面积除以正方体的表面积即可．
【解答】解：
（1）6×6×6=216
答：
剩余部分的表面积是216．
（2）2×4×3÷（5×5×6）
=24÷150
=16%
答：
它的表面积减少了16%．
5．（2013?
北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为
厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为
厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【分析】立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方体的下底面剩下的面积和等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自的侧面；计算出原表面积再加上增加的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积．
【解答】解：
原正方体的表面积是：
2×2×6=24（平方厘米），
增加的面积：
1×1×4+（
×
）×4+（
×
）×4，
=4+
×4+
×4，
=4+1+
，
=5
（平方厘米），
总表面积为：
24+5
=29
（平方厘米）．
答：
最后得到的立体图形的表面积是29
平方厘米．
6．（2012?
北京模拟）
（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？
（2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？
如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？
【分析】
（1）观察图形可知，拼组后的长方体的表面积比原来减少了6个小正方体的面的面积，由此即可解答；
（2）每切一刀，就增加2个正方体的面，所以这两部分的表面积之和就是8个正方体的面的面积之和；在此基础上再切4刀后，表面积比原来又增加了8个小正方体的面，由此即可解答．
【解答】解：
（1）6×1×1=6，
答：
拼组后表面积减少了6．
（2）切一刀，得到的两个长方体的表面积之和是：
1×1×（6+2）=8；
再切4刀，则表面积之和是：
1×1×（6+10）=16；
答：
切一刀后，表面积之和是8，再切4刀后，表面积之和是16．
7．这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：
圆锥体积与圆柱体积的比是多少？
【分析】利用V=
sh求得圆锥的体积，V=sh求得圆柱的体积，依此可得圆锥体积与圆柱体积的比．
【解答】解：
圆锥体积：
圆柱体积
=（
××22×4）：
（×42×8）
=（
×22×4）：
（42×8）
=1：
24；
答：
圆锥体积与圆柱体积的比是1：
24．
8．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为分米、1分米和分米的圆柱体组成．请问：
（1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？
（л取）
（2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？
【分析】由题意可知：
这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可．如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和圆柱的表面积加上3个长方形的面积乘以2即可．
【解答】解
（1）大圆柱的表面积：
××2+2×××1，
=+，
=（平方米），
中圆柱侧面积：
2××1×1=（平方米），
小圆柱侧面积：
2×××1=（平方米），
这个物体的表面积：
++=（平方米）；
答：
这个物体的表面积是平方米．
（2）（1×+1×1+1×）×2+
=6+
=（平方分米）
答：
将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是平方分米．
9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？
（结果精确到小数点后两位）
【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积．沉入在中水池的碎石的体积，即3×3×=（米3），而沉入小水池中的碎石的体积是：
2×2×=（米3）；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题．
【解答】解：
6厘米=米
4厘米=米
3×3×=（米3）
2×2×=（米3）
+=（米3）
大水池的底面积是：
6×6=36（米3）
大水池的水面升高了：
÷36=
（米）
米≈（厘米）．
答：
大水池的水面大于会升高厘米．
10．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？
【分析】放入圆柱体木棒前后的水的体积不变，根据原来水深24÷2=12厘米，可以先求得水的体积，那么放入圆柱体木棒后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度，进一步即可求解．
【解答】解：
[×102×（24÷2）]÷（×102﹣×22）
=（×1200）÷（×96）
=1200÷96
=（厘米）
﹣24÷2
=﹣12
=（厘米）．
答：
这时水面升高了厘米．
二、拓展篇
11．将表面积分别为54、96和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积．
【分析】因为正方体的每一个面的面积相等，所以这三个正方体的每一个面面积是9、16、25平方厘米．故三个正方体的棱长分别是3、4、5厘米．则大正方体的体积只需将三个正方体的体积相加即可．
【解答】解：
54÷6=9（平方厘米），因为3×3=9，所以这个正方体的棱长是3厘米，
96÷6=16（平方厘米），因为4×4=16，所以这个正方体的棱长是4厘米，
150÷6=25（平方厘米），因为5×5=25，所以这个正方体的棱长是5厘米，
33+43+53，
=27+64+125，
=216（立方厘米），
答：
这个大正方体的体积是216立方厘米．
12．（2012?
深圳校级模拟）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米．求原长方体的表面积．
【分析】由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米．同理可知长×高=30平方厘米，长×宽=24平方厘米，根据长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2．列式解答．
【解答】解：
长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高×2=40立方厘米，则宽×高=20平方厘米．
同理可知长×高=90÷3=30平方厘米，长×宽=96÷4=24平方厘米，
（长×宽+长×高+宽×高）×2
=（24+30+20）×2，
=74×2，
=148（平方厘米）；
答：
原长方体的表面积是148平方厘米．
13．如图，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：
这个立体图形的表面积等于多少？
【分析】这个几何体的表面积就是露出小正方体的面的面积之和，从上面看有16个面；从下面看有16个面；从前面看有10个面；从后面看有10个面；从左面看有10个面；从右面看有10个面．由此即可解决问题．
【解答】解：
图中几何体露出的面有：
10×4+16×2=72（个）
所以这个几何体的表面积是：
1×1×72=72（平方米）
答：
这个立体图形的表面积等于72平方米．
14．如图1，将一个棱长为10的正方体从顶点A切掉一个棱长为4的正方体，得到如图2的立体图形，这个立体图形的表面积是多少？
如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积又是多少？
【分析】将原正方体切去一个小正方体后，减少的表面积正好被新增加的表面积所补充，因此新的立体图形的表面积就等于原正方体的表面积，根据正方体的表面积公式即可求解，如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，那么剩下的立体图形的表面积是原正方体的表面积﹣边长是4的两个正方形的面积．
【解答】解：
10×10×6=600
答：
这个立体图形的表面积是600．
如果再从顶点B切掉一个棱长为6的正方体，剩下的立体图形的表面积为：
10×10×6﹣4×4×2
=600﹣32
=568
答：
剩下的立体图形的表面积是568．
15．一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：
原正方体的体积是多少？
【分析】由题意，一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，每次会增加两个答正方体的面，所以共增加12个大正方体的面，又知这些小长方体的表面积之和为162平方厘米，即原来大正方体的6+12=18个面的面积是162平方厘米，由此可求得一个面的面积，进而得到大正方体的棱长，再根据正方体的体积公式解答即可．
【解答】解：
一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，共增加12个大正方体的面，
一个面的面积：
162÷（12+6）=9（平方厘米），
因为3×3=9，所以可知大正方体的棱长是3厘米，
大正方体的体积：
3×3×3=27（立方厘米），
答：
原正方体的体积是27立方厘米．
16．如图是一个棱长为4厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的小正方体，做成一种玩具．该玩具的表面积是多少平方厘米？
如果把这些洞都打穿，表面积又变成了多少？
【分析】这个玩具的表面积是大正方体的面积，加上6个边长为1厘米的小正方体的4个侧面的面积，如果把这些洞都打穿，表面积增加4个边长4厘米的小正方体的4个侧面的面积，据此解答即可．
【解答】解：
玩具的表面积：
4×4×6+1×1×6×4
=96+24
=120（平方厘米）
如果把这些洞都打穿，表面积：
4×4×6﹣6+×1×4×6
=90+36
=126（平方厘米）
答：
它的表面积是120平方厘米．如果把这些洞都打穿，表面积变成了126平方厘米．
17．一个无盖木盒从外面量时，其长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米，已知木板厚1厘米，那么做一个木盒，需要这样的木板多少平方厘米？
这个木盒的容积又是多少？
【分析】如下图：
假设用长10厘米，宽8厘米，厚1厘米的木板作底面，那么4个侧面的木板的高就是（5﹣1）厘米，如果前后面用长10厘米，宽4厘米的木板，那么左右面的木板长是（8﹣1﹣1）厘米，左右面木板的宽也是4厘米．然后根据长方体表面积的计算方法，求这5个面的总面积即可．木盒里面的长是（10﹣1﹣1）厘米，宽是（8﹣1﹣1）厘米，高是（5﹣1）厘米，再根据长方体的容积（体积）公式解答．
【解答】解：
如图：
根据分析：
4个侧面的木板的宽是：
5﹣1=4（厘米）
10×8+10×4×2+（8﹣1﹣1）×4×2
=80+80+6×4×2
=160+48
=208（平方厘米）
（10﹣1﹣1）×（8﹣1﹣1）×（5﹣1）
=8×6×4
=192（立方厘米）
答：
做这个木盒至少需用1厘米厚的木板208平方厘米．这个木盒的容积是192立方厘米．
18．有一根长为20厘米，直径为6厘米的圆钢，在它的两端各钻一个4厘米深，底面直径也为6厘米的圆锥形的孔，做成一个零件（如图）．这个零件的体积为多少立方厘米？
（л取）
【分析】根据题意可知：
这个零件的体积等于圆柱的体积减去两个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：
v=sh，圆锥的体积公式：
v=
，把数据分别代入公式解答即可．
【解答】解：
×
（6÷2）2×4×2
=
=﹣
=（立方厘米），
答：
这个零件的体积为立方厘米．
19．现有一块长、宽、高分别为10厘米、8厘米、6厘米的长方体木块，把它切成体积尽可能大且底面在长方体表面上的圆柱体木块，这个圆柱体木块的体积为多少？
（л取3）
【分析】削出最大的圆柱的方法有三种情况：
（1）以8厘米为底面直径，6厘米为高；
（2）以6厘米为底面直径，8厘米为高；（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高，由此利用圆柱的体积公式分别计算出它们的体积即可解答．
【解答】解：
（1）以8厘米为底面直径，6厘米为高，
3×（8÷2）2×6
=3×16×6
=288（立方厘米）；
（2）以6厘米为底面直径，8厘米为高；
3×（6÷2）2×8
=3×9×8
=216（立方厘米）；
（3）以6厘米为底面直径，10厘米为高，
3×（6÷2）2×10
=3×9×10
=270（立方厘米）；
答：
这个圆柱最大的体积是288立方厘米．
20．张大爷去年用长2米宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
【分析】依据经验可得：
用长方形的长作底面周长，宽作高，围成的圆柱的容积最大，据此利用圆柱的体积公式即可得解．
【解答】解：
π×
×2÷[π×
×1]
=
×2÷
=
÷
=倍；
答：
今年粮囤的容积是去年粮囤容积的倍．
21．左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，
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