北师大版高中数学必修二学案第一章 章末复习课.docx

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北师大版高中数学必修二学案第一章章末复习课

学习目标

　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积．

1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积

名称

定义

图形

侧面积

体积

多面体

棱柱

有两个面____________，其余各面都是__________，并且每相邻两个四边形的公共边都__________

S侧＝Ch，C为底面的周长，h为高

V＝Sh

棱锥

有一个面是__________，其余各面都是________________的三角形

S正棱锥侧＝

Ch′，C为底面的周长，h′为斜高

V＝

Sh，h为高

棱台

用一个________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

S正棱台侧＝

（C＋C′）h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高

V＝

（S上＋S下＋

）h，h为高

旋转体

圆柱

以________________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高

V＝Sh＝πr2h

圆锥

以直角三角形的______________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

S侧＝πrl，r为底面半径，h为高

V＝

Sh＝

πr2h

圆台

用__________________的平面去截圆锥，____________之间的部分

S侧＝π（r1＋r2）l，r1，r2为底面半径，l为母线

V＝

（S上＋S下＋

）h＝

π（r

＋r

＋r1r2）h

球

以__________所在直线为旋转轴，________旋转一周形成的旋转体

S球面＝4πR2，R为球的半径

V＝

πR3

2.空间几何体的三视图与直观图

（1）三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；

它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．

（2）斜二测画法：

主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：

平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．

三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.

（3）转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面

①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线（折线）化为线段．

②等积变换，如三棱锥转移顶点等．

③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．

3．四个公理

公理1：

如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

公理2：

过________________________的三点，有且只有一个平面．

公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____________________________．

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相________．

4．直线与直线的位置关系

5．平行的判定与性质

（1）直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

（2）面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∥β，aβ

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

（3）空间中的平行关系的内在联系

6．垂直的判定与性质

（1）直线与平面垂直

图形

条件

结论

判定

a⊥b，bα（b为α内的________直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、nα，________________

a⊥α

a∥b，________

b⊥α

性质

a⊥α，________

a⊥b

a⊥α，b⊥α

（2）平面与平面垂直的判定与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

（3）空间中的垂直关系的内在联系

7．空间角

（1）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________________叫作异面直线a，b所成的角（或夹角）．

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则________________．

（2）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线和由这条直线出发的__________所组成的图形叫作二面角．

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作________________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．

类型一　由三视图求几何体的表面积与体积

例1　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．12B．18

C．24D．30

反思与感悟　

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．

（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

跟踪训练1　已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.

B．3π

C.

D．6π

类型二　平行问题

例2　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

反思与感悟　

（1）证明线线平行的依据

①平面几何法（常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行）；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．

（2）证明线面平行的依据

①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．

（3）证明面面平行的依据

①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质定理；④面面平行的传递性．

跟踪训练2　如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC.

类型三　垂直问题

例3　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

反思与感悟　

（1）两条异面直线相互垂直的证明方法

①定义；

②线面垂直的性质定理．

（2）直线和平面垂直的证明方法

①线面垂直的判定定理；

②面面垂直的性质定理．

（3）平面和平面相互垂直的证明方法

①定义；

②面面垂直的判定定理．

跟踪训练3　如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.

（1）求证：

平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；

（2）求证：

BC1⊥AB1.

类型四　空间角问题

例4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．

（1）求证：

平面MNF⊥平面ENF；

（2）求平面MEF与NEF的夹角的正切值．

反思与感悟　

（1）面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法．

（2）找二面角的平面角的方法有以下两种：

①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线．

跟踪训练4　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝

，⊙O的直径AB＝2，C是

的中点，D为AC的中点．

（1）证明：

平面POD⊥平面PAC；

（2）求二面角B－PA－C的余弦值．

1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）

A．①是棱台B．②是圆台

C．③是棱锥D．④不是棱柱

2．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中正确命题的序号是（　　）

A．①B．②和③C．③和④D．①和④

3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　　）

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D

D．异面直线AD与CB1所成的角为45°

4．某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.

5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．

求证：

（1）C1O∥平面AB1D1；

（2）A1C⊥平面AB1D1.

1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为

2．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．

另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．

答案精析

知识梳理

1．互相平行　四边形　互相平行　多边形

有一个公共顶点　平行于棱锥底面　矩形的一边　一条直角边　平行于圆锥底面　底面和截面　半圆的直径　半圆面

3．两点　不在同一条直线上　一条过该点的公共直线　平行

4．平行　相交　任何

5．

（1）a∩α＝∅　aα，　b

α，　a∥b

a∥α　a∥α，aβ，　α∩β＝b　

（2）α∩β＝∅　aβ，bβ，　a∩b＝P，　a∥α，b∥α

α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b

6．

（1）任意　m∩n＝O　a⊥α　bα　a∥b

（2）垂线

7．

（1）①锐角（或直角）　②0°<θ≤90°

（2）①两个半平面　②垂直于棱

题型探究

例1　C　[由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的．在长方体中分析还原，如图

（1）所示，故该几何体的直观图如图

（2）所示．在图

（1）中，

＝S△ABC·AA1＝

×4×3×5＝30，

＝

·PB1＝

×

×4×3×3＝6.故几何体ABC－PA1C1的体积为30－6＝24.故选C.]

跟踪训练1　B　[将三视图还原为直观图求体积．

由三视图可知，此几何体（如图所示）是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的

，

所以V＝

×π×12×4＝3π.]

例2　解　

当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：

如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝

PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点．∴OF∥PD.

又OF

平面PMD，PD平面PMD，

∴OF∥平面PMD.又MA綊

PB，

∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形．

∴AF∥PM.又AF

平面PMD，PM平面PMD.

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.

∴平面AFC∥平面PMD.

跟踪训练2　证明　

（1）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

（2）连接OG并延长交AC于点M，

连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．

由Q为PA中点，得QM∥PC，

又O为AB中点，得OM∥BC.

因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，

所以平面QMO∥平面PBC.

因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.

例3　证明　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，

CD平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE.

跟踪训练3　证明　

（1）设BC的中点为M，

∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.

∵AC平面ABC，∴B1M⊥AC.

又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，

∴AC⊥平面B1C1CB.

又∵AC平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.

（2）连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，

∴AC⊥BC1.

在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵BC＝CC1.

∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.

又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.

例4　

（1）证明　连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，

∴NF⊥平面A1B1C1D1.

而MN平面A1B1C1D1，

∴NF⊥MN.

又∵M，E均为所在棱的中点，

∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．

∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，

∴∠MNE＝90°，

∴MN⊥NE，∴MN⊥平面NEF.

而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.

（2）解　在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，

连接MG.

由

（1）知MN⊥平面NEF，

又EF平面NEF，∴MN⊥EF.

又MN∩NG＝N，

∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.

∴∠MGN为平面MEF与平面NEF的夹角．

设该正方体的棱长为2，

在Rt△NEF中，NG＝

＝

，

∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝

＝

＝

.

∴平面MEF与平面NEF的夹角的正切值为

.

跟踪训练4　

（1）证明　连接OC.

∵PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，

∴AC⊥PO.

∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.

又∵OD∩PO＝O，

∴AC⊥平面POD.

又∵AC平面PAC，

∴平面POD⊥平面PAC.

（2）解　在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.

由

（1）知，平面POD⊥平面PAC，

∴OH⊥平面PAC.

又∵PA平面PAC，∴PA⊥OH.

在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，

则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG.

故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．

∵C是

的中点，AB是直径，

∴OC⊥AB.

在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝

.

在Rt△POD中，

OH＝

＝

＝

＝

.

在Rt△POA中，

OG＝

＝

＝

＝

.

在Rt△OHG中，sin∠OGH＝

＝

＝

.

∴cos∠OGH＝

＝

＝

.

故二面角B－PA－C的余弦值为

.

当堂训练

1．C　2.A

3．C

4．80　40

解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2cm，下面长方体的底面边长为4cm，高为2cm，其直观图如图所示，其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80（cm2）．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40（cm3）．

5．证明　

（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，连接AO1，

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，

∴A1ACC1是平行四边形，

∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，

∴四边形AOC1O1是平行四边形，

∴C1O∥AO1，

AO1平面AB1D1，C1O

平面AB1D1，

∴C1O∥平面AB1D1.

（2）∵CC1⊥平面A1B1C1D1，

B1D1平面A1B1C1D，

∴CC1⊥B1D1，

又∵A1C1⊥B1D1，CC1∩A1C1＝C1，

∴B1D1⊥平面A1C1CA，

∵A1C平面A1C1CA，

∴A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，

又B1D1∩AB1＝B1，

∴A1C⊥平面AB1D1.