人教A版数学必修5 必修5 第3章 32 第1课时 一元二次不等式及其解法.docx

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人教A版数学必修5必修5第3章32第1课时一元二次不等式及其解法

3．2　一元二次不等式及其解法

第1课时　一元二次不等式及其解法

1．掌握一元二次不等式的解法．（重点）

2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　一元二次不等式的概念

阅读教材P76第一行～P76倒数第四行，完成下列问题．

1．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）．

（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）．

（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．

（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）mx2－5x<0是一元二次不等式．（　　）

（2）若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．（　　）

（3）x2－

>0为一元二次不等式．（　　）

【解析】　

（1）×.当m＝0时，是一元一次不等式；

当m≠0时，它是一元二次不等式．

（2）×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.

（3）×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有

，故该说法错误．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×

教材整理2　一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系

阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．

三个“二次”的关系：

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

解不等式f（x）＞0或f（x）＜0的步骤

求方程f（x）＝0的解

有两个不等的实数解x1，x2

有两个相等的实数解x1＝x2

没有实数解

画函数y＝f（x）的示意图

得等的集不式解

f（x）＞0

{x|x＜x1_或x＞x2}

R

f（x）＜0

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

1．不等式x2≤1的解集为________．

【解析】　令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．

【答案】　{x|－1≤x≤1}

2．不等式2x≤x2＋1的解集为________．

【解析】　2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔（x－1）2≥0，

∴x∈R.

【答案】　R

3．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．

【解析】　因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0

N＝{x|x2<4}＝{x|－2

所以MN.

【答案】　MN

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如下表：

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

y

6

0

－4

－6

－6

－4

0

6

则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．

【解析】　可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象（略）求解．

【答案】　{x|x＜－2或x＞3}

[小组合作型]

解一元二次不等式

　求下列一元二次不等式的解集．

（1）x2－5x>6；

（2）4x2－4x＋1≤0；

（3）－x2＋7x>6.

【精彩点拨】　

【自主解答】　

（1）由x2－5x>6，得

x2－5x－6>0.

∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，

∴原不等式的解集为

{x|x<－1或x>6}．

（2）4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0，

方程（2x－1）2＝0的根为x＝

，

∴4x2－4x＋1≤0的解集为

.

（3）由－x2＋7x>6，得x2－7x＋6<0，

而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，

∴不等式x2－7x＋6<0的解集为

{x|1

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

（1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．

（2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．

（3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．

（4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．

（5）写解集．根据图象写出不等式的解集．

[再练一题]

1．解下列不等式：

（1）2x2－x＋6>0；

（2）（5－x）（x＋1）≥0.

【解】　

（1）∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×2×6<0，

∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，

与x轴无交点，

∴原不等式的解集为R.

（2）原不等式可化为（x－5）（x＋1）≤0，

∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

解含参数的一元二次不等式

　解关于x的不等式x2－ax－2a2<0（a∈R）．

【精彩点拨】　

【自主解答】　原不等式转化为（x－2a）（x＋a）<0.

对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.

（1）当a>0时，x1>x2，

不等式的解集为{x|－a

（2）当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；

（3）当a<0时，x1

不等式的解集为

{x|2a

综上所述，原不等式的解集为：

a>0时，{x|－a

a＝0时，x∈∅；

a<0时，{x|2a

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

注：

对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

[再练一题]

2．解关于x的不等式：

ax2－2≥2x－ax（a<0）.

【解】　原不等式移项得ax2＋（a－2）x－2≥0，

化简为（x＋1）（ax－2）≥0.

∵a<0，∴（x＋1）

≤0.

当－2

≤x≤－1；

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤

.

综上所述，

当－2

；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为

.

[探究共研型]

一元二次不等式、二次方程、

二次函数的关系

探究1　利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？

这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？

【提示】　y＝x2－2x－3的图象如图所示．

函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．

探究2　方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？

观察结果你发现什么问题？

这又说明什么？

【提示】　方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．

不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）和ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

即不等式的解集的端点值是相应方程的根．

　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是

，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

【精彩点拨】　一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．

【自主解答】　法一：

由ax2＋bx＋c≥0的解集是

，知a＜0,又

×2＝

＜0，则c＞0.

又－

，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－

＝

，

∴

＝－

.

又

＝－

，

∴b＝－

a，c＝－

a，

∴不等式变为

x2＋

x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集为

.

法二：

由已知得a＜0且

＋2＝－

，

×2＝

，知c＞0，

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－

，x1·x2＝

，

其中

＝

，

－

＝

＝

＝

＋

，

∴x1＝－3，x2＝

.

∴不等式cx2＋bx＋a＜0（c＞0）的解集为

.

已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：

（1）根据解集来判断二次项系数的符号；

（2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；

（3）约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．

[再练一题]

3．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．

【解】　由题意知

即

代入不等式cx2－bx＋a>0，

得6ax2＋5ax＋a>0（a<0），

即6x2＋5x＋1<0，

解得－

，

所以所求不等式的解集为

.

1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为（　　）

A.

B.

C.

D.

【解析】　因为6x2＋x－2≤0⇔（2x－1）·（3x＋2）≤0，所以原不等式的解集为

.

【答案】　A

2．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则（∁RS）∪T＝（　　）

A．（－2,1]　B．（－∞，－4]

C．（－∞，1]D．[1，＋∞）

【解析】　T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以（∁RS）∪T＝{x|x≤1}，选C.

【答案】　C

3．二次函数y＝x2－4x＋3在y<0时x的取值范围是________.

【解析】　由y<0，得x2－4x＋3<0，

∴1

【答案】　（1,3）

4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1

【解析】　由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．

由根与系数的关系得

解得a＝－1，b＝1.

【答案】　－1　1

5．解下列不等式：

（1）x（7－x）≥12；

（2）x2>2（x－1）．

【解】　

（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，

所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．

（2）原不等式可以化为x2－2x＋2>0，

因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，

所以原不等式的解集为R.