利用导数解决恒成立问题讲课讲稿.docx

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利用导数解决恒成立问题讲课讲稿

利用导数解决恒成立

问题

利用导数求函数最值

•基础知识总结和逻辑关系

一、函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法：

1）确定函数的f（X）的定义区间；

2）求f'（x），令f'（x）0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3）把函数f（x）的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小

区间；

4）确定f'（x）在各个区间内的符号，由f'（x）的符号判定函数fx在每个相应小区间内的单调性•

二、函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1）求导数f'（x）；

2）求方程f'（x）0的所有实数根；

3）检验f'（x）在方程f'（x）0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右

正），则f（x）在这个根处取得极大（小）值.

三、求函数最值

1）求函数f（x）在区间（a,b）上的极值；

2）将极值与区间端点函数值f（a）,f（b）比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.

四利用导数证明不等式

1）利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）•因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

1直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增

（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立

2把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目

的•

2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式

导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.

•解题方法总结和题型归类

利用导数研究含参变量函数的恒成立问题

1）其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式，转化

成最值问题。

2）首先找不等式。

一般来说，有以下五类题型：

1在某个区间上“单调递增减”：

表明f（X）0（f（X）0）恒成

立；

2“无极值点”，表明f（X）0恒成立或f（X）0恒成立；

③“曲线yf（x）在曲线yg（x）上方（下方）”：

表明f（x）g（x）0（f（x）g（x）0）恒成立；

③“无零点”：

表明f（x）0恒成立或f（x）0恒成立；

⑤标志词：

“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此时题干

已给出不等式

例1设函数f（x）=ax3—3x+1（x€R），若对于任意x€[—1,1]，都有f（x）》0成立,

贝U实数a的值为？

【解析】若x=0,则不论a取何值，f（x）>0显然成立;

31—2xg（x）=x4—，

111所以g（x）在区间0,2上单调递增，在区间21上单调递减，因此g（x）max=g1

=4，从而a>4.

31

当x<0，即x€［—1,0）时，同理a<"32—~3.

xx

g（x）在区间［—1,0）上单调递增，

g（x）min=g（—1）=4,从而aW4,

综上可知a=4.

【点评】首选考虑参量分离。

得到aF（x）或aF（x），然后求F（x）的最值

【答案】a=4.

【难度】***

【题】设函数f（x）=（xa）2lnx,a€R

（I）若x=e为yf（x）的极值点，求实数a;

（U）求实数a的取值范围，使得对任意的x€（o,3e]，恒有

f（x）W4成立.

注：

e为自然对数的底数.

[难度】****

例2：

已知a€R，函数f（x）=（—x2+ax）ex（x€R,e为自然对数的底数）.

（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；

⑵若函数f（x）在（—1,1）上单调递增，求a的取值范围.

【解析】

（1）当a=2时，f（x）=（—x2+2x）ex，

所以f'（x）=（—2x+2）ex+（—x2+2x）ex

=（—x2+2）ex.

令f'（x）>0，即（一x2+2）ex>0，因为ex>0，

所以一x2+2>0，解得一2

所以函数f（x）的单调递增区间是[—2，2].

（2）因为函数f（x）在（一1,1）上单调递增，

所以f'（x）>0对x€（—1,1）都成立.

因为f'（x）=（—2x+a）ex+（—x2+ax）ex

=[—x2+（a—2）x+a]ex，

所以[—x2+（a—2）x+a]ex>0对x€（—1,1）都成立.

因为ex>o，所以一x2+（a—2）x+a>0对x€（—1,1）都成立，

x2+2xx+12—11

即a>==（x+1）—一对x€（—1,1）都成立.

x+1x+1x+1

11

令y=（x+1）—，则y'=1+2>0.

x+1x+12

1

所以y=（x+1）—=在（—1,1）上单调递增，

xII

3

【答案】a的取值范围为a>2

【难度】***

2

例3:

已知函数f（Xalnx2（a0）.x

（I）若曲线yf（x）在点P（1,f

（1））处的切线与直线yx2垂直，

求函数yf（x）的单调区间；

（U）若对于x（0,）都有f（x2（a1）成立，试求a的取值范围;

【解析】（I）直线yx2的斜率为1.函数f（x）的定义域为（0,）,因为f（x）$?

所以f

（1）彳？

1，所以a1.

XX’11

2x2

所以f（x）—Inx2.f（x）—2~

xx■

由f（x）0解得x2;由f（x）0解得0x2.

（II）f（x）

2

x

aax2

xx2，

由f（x）

0解得x

—

-;由f（X）0解得

a

c2

0x—

a'

—

所以f（x）在区间（2,）上单调递增，在区间

a

（0,

—

-）上单调递减.

a

所以当x

2时,

a

函数f（x）取得最小值，

ymin

2

f（）.因为对于x（0,

a

都有f（x）

2（a

1）成立，

所以f

（2）

a

2（a

2

1）即可.则■—

2

aIn2

a

2（a

1）.

2

由aIna解得

a

a

c2

0a—

e'

—

所以a的取值范围是（0,^）.…

8分

所以f（x）的单调增区间是（2,），单调减区间是（0,2）.•……4分

）

【点评】此题直接求最值。

此时不等式一般形如

f（x）A或f（x）A，直接求

f（x）的最值。

【答案】a的取值范围是（0,1）

【难度】***

例4:

已知函数f（x）ln（1x）mx.

（I）当m1时，求函数f（x）的单调递减区间；

（II）求函数f（x）的极值；（III）若函数f（x）在区间0,e21上恰有两

个零点,

求m的取值范围.

f（x）

丄1

1x

由f（x）0得丄1

1x

解得x0或x1,

f（x）的单调递减区间为（0,

1

（H）f（x）厂

-m,（x

x

1）

（1）m0时,

f（x）0恒成立

f（x）在（1,

）上单调递增，无极值.

1

由于11

m

所以f（x）在1,丄1上单调递增，在

m

—1,上单调递减,

m

接求f（x）的最值

［难度】****

例5：

已知函数f（x）lnxax-—-1.

x

（I）当0a丄时，讨论函数f（x）的单调性；

2

1

（U）设g（x）x22bx4，当a—时，若对任意x（0,2），f（x）g（x）恒

4

成立，求实数b的取值范围.

[ax（1a）]（x1）（x0）

x

令f/（x）0

得％-a,x213-分

a

1

当a一时，f（x）0，函数f（x）在（0,）上单减…・4分

2

1口」1a

当0a时，1,

2a

1a

在（0,1）和（，）上，有f（x）0,函数f（x）单减，

a

1a

在（1,）上,f（x）0,函数f（x）单增……分

a

11a13

（U）当a-时，3,f（x）Inx-x一1

4a44x

由（I）知，函数f（x）在（0,1）上是单减，在（1,2）上单增

1

所以函数f（x）在（0,2）的最小值为f

（1）—8•分

2

若对任意花（0,2），当X2［1,2］时，f（x）g（x）恒成立，

1

只需当x［1,2］时，gmax（x）—即可

2

1

g

（1）2

所以，11分

1

g

（2）-

2

11

代入解得b“

4

所以实数b的取值范围是［,）.••…13分

4

【点评】注意如果条件改为“f（xjg（X2）”恒成立，怎么样解答，还可以移项构

造新函数吗？

11

【答案】b的取值范围是［耳，）

4

【难度】****

例6:

设I为曲线C:

y—在点（1，0）处的切线•

x

（I）求I的方程；

【解析】（I）设fx巴，则fx.

xx

所以f'11.

所以L的方程为yx1.

（U）令gxx1fx，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于

0，x1.

x21Inx

2

x

当0VXV1时，x21vO,lnxv0,所以gxvo,故gx单调递减;

当x>1时，x21>0,1nx>0,所以gx>0，故gx单调递减.

所以gx>g1=0x0，x1.

所以除切点之外，曲线C在直线L的下方.

【点评】构造函数，转化直接求最值。

此时不等式一般形如f（x）A或

f（x）A，

直接求f（x）的最值。

【答案】（I）yx1

【难度】**

【题】已知函数f（x）ax2（a2）xInx.（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在

点（1，f

（1））处的切线方程；（U）当a>0时，函数f（x）在区间［1，e］上的最

小值为-2，求a的取值范围；

（川）若对任意人兀（0,）,XiX2，且f（xj+2xif（X2）+2x2恒成立，求a

的取值范围.：

【难度】***

1

【题】己知函数f（x）-x32ax2（a1）x5是R上的单调增函数，求实数a

3

的取值范围.

【难度】***

1

【题】已知函数f（x）—x22ex3e21nxb在（x°,0）处的切线斜率为零.

2

（I）求xo和b的值；

（U）求证：

在定义域内f（x）>0恒成立；

【难度】***

【题】已知函数f（x）-x3ax2bx.（a,bR）

3

（I）若f'（0）f'

（2）1，求函数f（x）的解析式；

（II）若ba2,且f（x）在区间（0,1）上单调递增，求实数a的取值范围.

【难度】****

【题】（2015北京理）已知函数fxIn—.

1x

（I）求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

3

（n）求证：

当x0,1时，fx2x—；:

3

【难度】****