利用导数研究函数的零点.doc

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利用导数研究函数的零点

（求导求出极值，画出函数的草图分析）

1.已知曲线C：

，直线

（1）若直线与曲线C有唯一一个交点，求的取值范围；（或）

（2）若直线与曲线C有两个不同的交点，求的取值范围；（或）

（3）若直线与曲线C有三个不同的交点，求的取值范围.（）

解：

令得或

当时，；当或时，.

所以在为减函数，在，为增函数.

当时，取得极大值；当时，

取得极大值；

（1）当或时，直线与曲线C有唯一一个交点；

（2）当或时，直线与曲线C有两个不同的交点；

（3）当时，直线与曲线C有三个不同的交点.

2.已知函数

（1）函数的单调区间；

（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（-3,1）

解:

（1）f′（x）＝3x2－3a＝3（x2－a），当a<0时，对x∈R，有f′（x）>0，

∴当a<0时，f（x）的单调增区间为（－∞，＋∞）．当a>0时，由f′（x）>0，解得x<－或x>.

由f′（x）<0，解得－0时，f（x）的单调增区间为

（－∞，－），（，＋∞），单调减区间为（－，）．

（2）∵f（x）在x＝－1处取得极值，∴f′（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，

∴a＝1.∴f（x）＝x3－3x－1，f′（x）＝3x2－3，

由f′（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.

由

（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x＝－1处取得极大值

f（－1）＝1，在x＝1处取得极小值f

（1）＝－3.∵直线y＝m

与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合如图所示f（x）的图象可知：

实数m的取值范围是（－3,1）．

3.已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围.

解：

（1）当a＝3时，函数f（x）＝-x3+2x，得f′（x）＝－x2＋3x－2＝－（x－1）（x－2）．

所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜1或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调递增区间为（1,2），单调递减区间为（－∞，1）和（2，＋∞）.

（2）设点P是函数y＝f（x）图象上的切点，则过点P的切线的斜率k＝f′（t）＝－t2＋at－2，

所以过点P的切线方程为y＋＝（－t2＋at－2）（x－t），

因为点在该切线上，所以＝（－t2＋at－2）（0－t），即.

若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同切线，则函数g（t）＝有三个不同的零点．

即函数y＝g（t）的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．令g′（t）＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝.

因为g（0）＝＞0，所以必须，即a＞2.

所以实数a的取值范围为（2，＋∞）．

4.（2012江苏）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点，已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.

（1）求和的值；（）

（2）设函数的导函数，求的极值点；（-2是1不是）

（3）设，其中，求函数的零点的个数.

（当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点）

解：

（1）由题设知f′（x）＝3x2＋2ax＋b，且f′（－1）＝3－2a＋b＝0，f′

（1）＝3＋2a＋b＝0，

解得a＝0，b＝－3.

（2）由

（1）知f（x）＝x3－3x.因为f（x）＋2＝（x－1）2（x＋2），

所以g′（x）＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g（x）的极值点只可能是1或－2.

当x<－2时，g′（x）<0；当－20，故－2是g（x）的极值点．

当－21时，g′（x）>0，故1不是g（x）的极值点．所以g（x）的极值点为－2.

（3）令f（x）＝t，则h（x）＝f（t）－c.先讨论关于x的方程f（x）＝d根的情况，d∈[－2,2]．

当|d|＝2时，由

（2）可知，f（x）＝－2的两个不同的根为1和－2，

注意到f（x）是奇函数，所以f（x）＝2的两个不同的根为－1和2.

当|d|<2时，因为f（－1）－d＝f

（2）－d＝2－d>0，f

（1）－d＝f（－2）－d＝－2－d<0，

所以－2，－1,1,2都不是f（x）＝d的根．由

（1）知f′（x）＝3（x＋1）（x－1）．

①当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f

（2）＝2，此时f（x）＝d无实根．

同理，f（x）＝d在（－∞，－2）上无实根．

②当x∈（1,2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数．又f

（1）－d<0，f

（2）－d>0，y＝f（x）－d的图象不间断，所以f（x）＝d在（1,2）内有唯一实根．同理，f（x）＝d在（－2，－1）内有唯一实根．

③当x∈（－1,1）时，f′（x）<0，故f（x）是单调减函数．又f（－1）－d>0，f

（1）－d<0，y＝f（x）－d的图象不间断，所以f（x）＝d在（－1,1）内有唯一实根．

由上可知：

当|d|＝2时，f（x）＝d有两个不同的根x1，x2满足|x1|＝1，|x2|＝2；当|d|<2时，f（x）＝d有三个不同的根x3，x4，x5满足|xi|<2，i＝3,4,5.现考虑函数y＝h（x）的零点．

（i）当|c|＝2时，f（t）＝c有两个根t1，t2满足|t1|＝1，|t2|＝2，

而f（x）＝t1有三个不同的根，f（x）＝t2有两个不同的根，故y＝h（x）有5个零点．

（ii）当|c|<2时，f（t）＝c有三个不同的根t3，t4，t5满足|ti|<2，i＝3,4,5，而f（x）＝ti（i＝3,4,5）有三个不同的根，

故y＝h（x）有9个零点．

综上可知，当|c|＝2时，函数y＝h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y＝h（x）有9个零点．

5.已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间（-2,0）内恰有两个零点，求实数的取值范围.

解析：

（1）f′（x）＝x2＋（1－a）x－a＝（x＋1）（x－a）．由f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝a>0.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x

（－∞，－1）

－1

（－1，a）

a

（a，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

故函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1），（a，＋∞）；单调递减区间是（－1，a）．

（2）由

（1）知f（x）在区间（－2，－1）内单调递增，在区间（－1,0）内单调递减，从而函数f（x）在区间（－2,0）内恰有两个零点.当且仅当解得0

6.已知函数在（1,2]是增函数，在（0,1）为减函数.

（1）求函数、的解析式；（求得）

（2）求证：

当时，方程有唯一解.

解:

（1）　f′（x）＝2x－，依题意f′（x）≥0，x∈（1,2]，即a≤2x2，x∈（1,2]．

∵上式恒成立，∴a≤2……………………①

又g′（x）＝1－，依题意g′（x）≤0，x∈（0,1），

即a≥2，x∈（0,1）．∵上式恒成立，∴a≥2.…………②

由①②得a＝2.∴f（x）＝x2－2lnx，g（x）＝x－2.

（2）证明　由

（1）可知，方程f（x）＝g（x）＋2，即x2－2lnx－x＋2－2＝0.

设h（x）＝x2－2lnx－x＋2－2，则h′（x）＝2x－－1＋.

当h′（x）＝0时，（－1）（2x＋2x＋＋2）＝0，解得x＝1.令h′（x）>0，并由x>0，

解得x>1.令h′（x）<0，由x>0，解得0

x

（0,1）

1

（1，＋∞）

h′（x）

－

0

＋

h（x）

递减

极小值

递增

可知h（x）在x=1处有一个最小值0，当x>0且x≠1时，h（x）>0，∴h（x）＝0在（0，＋∞）上只有一个解．

即当x>0时，方程f（x）＝g（x）＋2有唯一解．

7.已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）若方程在区间上有两个不等的实数解，求实数的取值范围.

解:

（1）F（x）＝ax2－2lnx，其定义域为（0，＋∞），∴F′（x）＝2ax－＝（x>0）．

①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.由ax2－1<0，得0

故当a>0时，F（x）的递增区间为，递减区间为.

②当a≤0时，F′（x）<0（x>0）恒成立．故当a≤0时，F（x）在（0，＋∞）上单调递减．

（2）≤a<

8.已知函数（其中，是自然对数的底数）

（1）若，判断函数在区间上的单调性；

（2）若函数有两个极值点，求的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，试证明：

.

解：

（1）当时，.所以在为减函数

（2）令，得，设，令，得

显然在为减函数，在为增函数，在取得最大值为

当时，，当时，，∴

（3）由

（2）可知，由，得

∵∴

9.（2013湖北卷）已知为常数，函数有两个极值点，则

（A）（B）（C）（D）

解：

令得

令 ，

∴在为增函数，在为减函数，在取得最大值.

当时，，且当时.∴

[法一]消去参数化为确定的一元函数：

∵函数的两个极值点为.

∴，

，记

∴在为增函数，即选（D）

[法二]消去超越式，化为代数函数式：

∵，∴函数的两个极值点满足：

.

由得

故选（D）

10.设函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.

解：

（1）函数的定义域为，令

得.∴函数的单调递增区间为

（2）[法一]：

由得.令

.当时，；当时，.

所以在为增函数，在为减函数.

∵∴

故实数的取值范围为.

[法二]∵f（x）＝2ln－2，∴f（x）＋x2－3x－a＝0⇔x＋a＋1－2ln＝0.

令g＝x＋a＋1－2ln.∵g′（x）＝1－＝，且x>1，

由g′（x）>0，得x>3；由g′（x）<0，得1

故f（x）＋x2－3x－a＝0在区间内恰有两个相异实根⇔即

解得2ln3－5≤a<2ln2－4.

11.（2013惠州一模改编）已知函数在处的切线方程为

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程恰有两个不同的实数根，求实数的值.

解：

（1），∴…………①

令代入得切点（3，7）.∴…………②

由①②解得.故所求函数的解析式为

（2）由得.令

令得

当时，；当时，.

∴在为增函数；在、为增函数.当时，取得极小值；当时，取得极大值；

∴当时，关于的方程恰有两个不同的实数根.

12．已知函数f（x）＝x3－ax2－bx＋a2，x∈R，a，b为常数。

（1）若函数f（x）在x＝1处有极值10，求实数a，b的值；

（2）若函数f（x）是奇函数，

①方程f（x）＝2在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；

②不等式f（x）＋2b≥0对x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围。

（1）f’（x）＝3x2－2ax－b，

由f（x）在x＝1处有极值10，得f’

（1）＝0，f

（1）＝10。

即3－2a－b＝0，1－a－b＋a2＝10，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11。

经检验，a＝3，b＝－3不合题意，舍去。

∴a＝－4，b＝11。

（2）由于函数f（x）的定义域为R，由函数f（x）是奇函数，得f（0）＝0，∴a＝0。

①由f（x）＝2，得f（x）－2＝0，令g（x）＝f（x）－2＝x3－bx－2，则方程g（x）＝0在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解。

∵g’（x）＝3x2－b，

（ⅰ）若b≤0，则g’（x）≥0恒成立，且函数g（x）不为常函数，∴g（x）在区间[－2,4]上为增函数，g（0）＝0，所以，g（x）＝0在区间[－2,4]上有且只有一个实数解。

不合题意，舍去。

（ⅱ）若b＞0，则函数g（x）在区间（－∞，－）上为增函数，在区间（－，）上为减函数，在区间（，＋∞）上为增函数，由方程g（x）＝0在x∈[－2,4]上恰有3个不相等的实数解，可得

解得∴b∈

②由不等式f（x）＋2b≥0，得x3－bx＋2b≥0，即（x－2）b≤x3，

（ⅰ）若x－2＝0即x＝2时，b∈R；

（ⅱ）若x－2＜0即x∈时，b≥在区间上恒成立，令h（x）＝，则b≥h（x）max。

∵h’（x）＝，∴h’（x）＜0在x∈上恒成立，所以h（x）在区间上是减函数，∴h（x）max＝h

（1）＝－1，∴b≥－1。

（ⅲ）若x－2＞0即x∈时，b≤在区间上恒成立，则b≤h（x）min。

由（ⅱ）可知，函数所以h（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，∴h（x）min＝h（3）＝27，∴b≤27。

综上所述，b∈[－1，27]。

13．已知函数，（Ⅰ）求的值域；

（Ⅱ）设，函数。

若对任意，总存在，使,求实数的取值范围.

解：

⑴方法一：

对函数求导，令=0，得或，

当时，>0，在上单调递增；当时,<0,在（1,2）上单调递减。

又当时的值域是；

方法二：

当时=0；当时当且仅当时的值域是；

（2）设函数在的值域是，∵对任意，总存在，使。

∴对函数求导，，

①当时，函数在上单调递减，

∴当时，不满足；

②当时，，令得（舍去），

（i）当，时，列表

0

2

－

0

＋

0

∵又∵，∴解得

（ii）当时,,∴函数在上单调递减，

∴当时，不满足.综上,实数的取值范围是.

14．已知函数，

（Ⅰ）若函数在为增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）讨论方程解的个数，并说明理由.

解：

（1）若函数在上恒成立。

则在上恒成立，

即：

在上恒成立。

所以有

（2）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；

当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。

，，所以方程有惟一解。

当时，

因为当时，，在内为减函数；

当时，在内为增函数。

所以当时，有极小值即为最小值。

当时，，此方程无解；

当时，此方程有惟一解。

当时，

因为且，所以方程在区间上有惟一解，

因为当时，，所以

所以，因为，所以，

所以方程在区间上有惟一解。

所以方程在区间上有惟两解。

综上所述：

当时，方程无解；当时，方程有惟一解；

当时方程有两解

15、已知函数单调递减，

（I）求a的值；

（II）是否存在实数b，使得函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。

解：

（I）由函数单调递减。

知

（II）函数的图象恰好有3个交点，

等价于方程

是其中一个根，

故存在实数：

…………12分

16．已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

解析：

（Ⅰ）因为.所以.因此

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,

当时，当时，

所以的单调增区间是的单调减区间是

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，.所以的极大值为，极小值为

因此.

所以在的三个单调区间直线与的图象各有一个交点，

当且仅当

17．f（x）＝x－ln（x＋a）在x＝1处取得极值.

（1）求实数a的值；

（2）若关于x的方程f（x）＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

（3）证明：

（n∈N，n≥2）.参考数据：

ln2≈0.6931.

解：

（1）f'（x）＝1＋，由题意，得f'

（1）＝0Þa＝0 ……2'

（2）由

（1）知f（x）＝x－lnx.∴f（x）＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0

设g（x）＝x2－3x＋lnx＋b（x＞0）.则g'（x）＝2x－3＋＝ ……4'

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x

（0，）

（，1）

1

（1，2）

2

g'（x）

＋

0

－

0

＋

G（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

b－2＋ln2

……6'

当x＝1时，g（x）最小值＝g

（1）＝b－2，g（）＝b－－ln2，g

（2）＝b－2＋ln2

∵方程f（x）＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根

由ÞÞ＋ln2≤b≤2 ……9'

（3）∵k－f（k）＝lnk∴

ó（n∈N，n≥2） ……10’

设Φ（x）＝lnx－（x2－1）,则Φ'（x）＝－＝

当x≥2时，Φ'（x）＜0Þ函数Φ（x）在[2，＋∞）上是减函数，

∴Φ（x）≤Φ

（2）＝ln2－＜0Þlnx＜（x2－1） ……12'

∴当x≥2时， ……13'

∴＞2[（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋……（）]

＝2（1＋－）＝.∴原不等式成立

18．已知x=1是的一个极值点

（1）求的值；

（2）求函数的单调增区间；

（3）设，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？

请说明理由。

解：

（1）因x=1是的一个极值点,∴

又所以2+b+1=0

∴b=-3经检验，适合题意，所以b=-3．

（2）又∴x>1

∴函数的单调增区间为

（3）=2x+lnx

设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为

∴

即∴

令h（x）=

∴==0∴

∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增

又，h

（2）=ln2-1<0，

∴h（x）与x轴有两个交点

∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线.

19、已知是函数的一个极值点。

（1）求a

（2）求函数的单调区间；

（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

（1）解：

…………2分

…………4分

（2）当

令 …………6分

（—1，1）

1

（1，3）

3

+

0

—

0

+

极大值

极小值

∴由上表可知，的单调递增区间为，其单调减区间为（1，3）…………9分

（3）由

（2）知……10分

若直线的图象有3个交点,则

13