09年高教社杯全国大学生数学建模竞赛b题一等奖1.docx
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09年高教社杯全国大学生数学建模竞赛b题一等奖1
2009年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题一等奖1
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料，必须按照规定的
16.I为闲期的平均长度17. B为忙期的平均长度 18. Pi为服务窗口空闲时间的概率19.Pb为服务窗口繁忙时间的概率20.?
为服务强度 21.xi为第i类病人的病床占用比例 22.aj为第j类病的平均等待入院时间与病床占用比例的关系系数23.bk为第k类病的平均术前准备时间与病床占用比例的关系系数24.cn为第n类病的平均术后观察时间与病床占用比例的关系系数 五模型的建立及求解 问题一的解决：
评价指标模型总成本评价 成本指标模型用于分析总成本，患者就诊到入院等待时消耗的成本和住院医院的床位服务成本，入院前等待时间越长，对患者和医院的损失越大，住院时间短会提高医院的病床使用率，优化医院资源配置，所以建立成本模型指标评价病床安排模型，是综合患者损失和医院资源配置优劣的评价。
第i天总成本Qi分为两部分，一部分是入院前等待的损失成本，另一部分是每位住院患者在医院的消耗成本，只有这两部分成本越小，病床安排模型越优。
设xi为第i天患者就诊后等待入院的总人数，yi为第i天住院人数，a为每位患者就诊后等待入院时每天损失成本系数，b为每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数。
则第i天总成本Qi可表示为：
Qi?
axi?
byi 每位患者就诊等待入院时每天损失成本系数[9]a?
126每位患者住院时每天医院消耗资源成本系数[10]b?
题目中所给表格得出从2008-7-13到2008-7-31这19天的等待入院患者人数如表1所示。
表1 从2008-7-13到2008-7-31这19天的等待入院患者人数日期7月13日7月14日7月15日7月16日7月17日7月18日7月19日人数xi71525324352 60 日期人数xi 7月20日7月21日7月22日7月23日7月24日7月25日7月26日 68 76 80 94 99 102 1027月27日7月28日7月29日7月30日7月31日 103 104 98 95 97 日期人数xi 这19天住院患者人数：
yi?
79 。
代入Qi?
axi?
byi则对应的Qi即可得出。
画出总成本Qi关于日期的图像如图1所示：
4 图1总成本与时间关系图像 从图形粗略分析得出，按FCFS规则的病床安排模型会造成总成本较高，使医院的综合效益较低；总成本Qi图像随时间推移呈增加趋势，也就是说总成本在一定程度内会越来越高；此规则造成等待入院的队越排越长，等待入院接受治疗前的时间较长，给患者带来的病痛和损失较大，总花费也随之增大。
长期发展下去，会对医院的长期发展造成威胁。
所以不论是从患者还是医院的角度出发，用此模型安排病床都是不利的。
“归一分析法”分析床位利用效率 “归一分析法”模型就是将病床使用率和病床周转次数综合起来，建立床位工作效率指数模型。
该指数用以下指数求解：
床位效率指数?
同一时期床位实际周转次数同一时期床位标准周转次数?
床位使用率 其中，期内床位实际周转次数和床位使用率的求解公式如下：
同一时期床位实际周转次数?
病床使用率?
出院人数平均开放病床数?
100% 实际占用总床日数实际开放总床日数 此可知：
实际周转次数等于标准周转次数且床位使用率为100%时，床位运转状况达到床位管理的最佳状态，此状态下床位效率指数为1，因此以1为标准判断床位工作效率情况。
当效率指数小于1时，床位低效率运行；当效率指数等于1时，床位等效率运行；当效率指数大于1时，床位高效率运行。
从题目中给的表格，得出按照FCFS规则安排住院的以下指标：
实际周转次数为，床位使用率为1，床位效率指数为?
1，故床位低效率运行。
综合成本模型指标和病床效率指数对按照FCFS规则安排 5 住院的情况评价可知，此模型下的床位运作情况，不仅对医院还是患者不利，而且床位运行效率过低，所以此规则安排床位有待改进。
问题二、三的解决：
抢占型优先权排队模型 排队论模型，是通过数学方法定量地对一个客观复杂的排队系统结构和行为进行动态模拟研究，科学、准确地描述排队系统的概率规律，排队论也是运筹学的分支学科。
在医院的病床安排系统中如果进行科学的模拟和系统的研究，从而对病床安排和住院手术安排进行最优设计，以获得反映系统本质特征的数量指标结果，进行预测、分析或评价，最大限度的满足患者及家属的需求，将有效避免资源浪费。
模型系统的描述 我们所考虑的排队系统是一个抢占型优先权服务机制下多类排队网络，其服务窗口79张病床组成，每个服务窗口有一个无限容量的等待缓存，接受服务的病人的病情情况各不相同，服务内容包括安排入院、进行手术和术后观察。
此系统具有如下特征：
1.输入过程：
各类顾客单个到达，形成一个顾客流，一定时间内患者到达服从泊松分布。
2.服务时间：
患者得到安排住院时间服从负指数分布。
3.服务窗口：
C个床位代表C个窗口，窗口之间并连服务。
4.排队规则：
服从等待制和优先权服务，即当一个病患进入该系统时，如果该病患优先权等级比已经被安排床位的患者病种优先权等级高时，那个已经被安排床位但还没入院的病种将被终止服务直到比它优先权高的工作完成服务后，它才恢复未完成的服务。
分析建立模型二 各类患者病情情况不同：
外伤病情比较紧急，需要首先安排入院，并要尽快进行手术，一般需要第二天进行手术；双眼白内障必需在间隔一天的三天内进行手术，即必需安排在周一和周三进行手术，术前准备时间一般为1~2天，最宜安排在周六和周日入院；单眼白内障也需在周一或周三进行手术，术前准备时间一般也为1~2天，宜安排在周六、周日、周一和周二入院；青光眼和视网膜疾病的手术时间都不能安排在周一和周三，其术前准备时间一般为2~3天，另外其术后观察时间比较长。
根据患者病情情况不同，把四类患者分为急症、双眼白内障、单眼白内障、青光眼与视网膜疾病四个优先等级（从高到低）考虑，优先级类型用mi标记。
根据患者四个优先级类型建立抢占型优先权排队模型。
优先权说明 设同优先等级类型的病人有相同的服务优先权，服从FCFS排队规则，并且设服务机制是抢占型恢复的，即当一个病患进入该系统时，如果该病患优先权等级比已经被安排床位的患者病种优先权等级高时，那个已经被安排床位但还没入院的病种将被终止服务直到比它优先权高的工作完成服务后，它才恢复未完成的服务。
最后我们设我们的策略是非空闲的，即所有病床都一直在进行接受安排工作。
各优先等级类型的病人的服务等级分别为：
等级一m1急症：
只要有空床位就首先安排急症患者入院，安排其第二天进行手术。
等级二m2双眼白内障：
优先权次于急症患者，只要最近的周六和周日有未安排的空位就安排其入院，如果是周六安排其入院，则相应的术前准备时间为2天；如果是周日安排其入院，则相应的术前准备时间为1天。
等级三m3单眼白内障：
优先权次于双眼白内障患者，只要最近的周六、周日、周一和 6 周二有未安排的空位就安排其入院，如果是周六和周一安排其入院，则相应的术前准备时间为2天；如果是周日和周二安排其入院，则相应的术前准备时间为1天。
等级四m4青光眼与视网膜疾病：
优先权次于单眼白内障患者，只要最近日期有未安排的空位就安排其入院，如果是周六和周一安排其入院，则相应的术前准备时间为3天；其他时间内安排其入院相应的术前准备时间为2天。
另外，从题中所给数据中可得出第一手术后所需观察时间：
外伤的为6天、单眼白内障的为3天、双眼白内障的为5天、青光眼的为7天、视网膜疾病的为10天。
然后根据此模型中安排的入院时间和手术时间，便可得出大约入住时间和大约住院时长告诉病人。
模型的状态概率和主要运行指标 假设设患者平均到达率为?
，单个病床的平均服务率为?
，整个机构的平均服务率C?
，服务强度等于平均到达率与平均服务率之比：
?
?
?
C?
，只有当?
?
1时，才不会排成无限的队列，Pn为C个服务台在任意时刻有 C?
1n个患者的概率，当平均到达率为?
，平均服务率为C?
到达稳态系统时，可得：
P0?
[?
k?
01?
k11?
（）?
?
?
（k!
?
C!
1?
?
?
C）?
1
（1）]?
n?
1?
（?
n!
?
）?
P0,0?
n?
C?
Pn?
?
1?
n?
?
（）?
P0,n?
Cn?
1?
C!
C?
?
（2） 当系统在平衡状态时， 平均队列长为：
Lq?
（C?
）?
C!
（1?
?
）2C?
P0 平均对长为：
L?
Lq?
C?
?
Lq?
患者在系统中的平均等待时间：
Wq?
患者在队伍中的平均逗留时间：
W?
服务台的工作强度和利用程度：
闲期的平均长度I：
I?
1LqC（C?
）?
C!
（1?
?
）22C?
P0?
?
?
?
L?
（C?
）?
C!
（1?
?
）?
（C?
）?
C2?
P0 1?
?
C!
（1?
?
）?
?
P0?
?
?
1忙期的平均长度B：
B?
LI?
?
?
?
模型二的求解 根据该住院部当前已知的情况拟出院病人数，拟出院情况见附表1。
对模型二进行c程序设计，求得病人安排住院方案一，统计方案一中9月12日至9月20日各类病人的入院人数如表2所示，表2中可看出该模型中病床周转次数较快，床位效率指数较大。
得出安排方案后便可告诉病人大概入住时间和大约住院时长告诉病人。
程序流程图参见附录2。
7 表2方案一中9月12日至9月20日各类病人的入院人数日期外伤白内障青光眼视网膜总计121023613020002014060061500022160900917001341800134190029112001591539 经得知服务强度?
= Lq=?
10-242 L=Wq?
?
10?
242W= 服务台的工作强度和利用程度：
服务窗口空闲时间的概率 Pi= 服务窗口繁忙时间的概率 Pb= 根据以上数据指标可得：
病床%的时间是处于被占用的，只有%的时间是空闲的；系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者为人；除已安排好住院床位的患者外,系统中排队等候的患者数为?
10-242人；患者在系统中平均逗留时间为天，平均等待时间为?
10?
242天。
用模型一检验模型二 用成本指标模型检验模型二如下：
根据求得病人安排住院方案得出从2008-8-30到2008-9-11这13天的等待入院患者人数Xi如表3所示：
表3从2008-8-30到2008-9-11这13天的等待入院患者人数Xi日期8月30日8月31日9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日人数6142429375060 64日期9月6日9月7日9月8日9月9日9月10日9月11日人数6467758089102这13天住院患者人数：
yi=79 代入Qi?
axi?
byi得出对应的Qi，因为从2008-8-30到2008-9-11期间天数较少，受之前床位占用一直到9月11日还为周转开来影响，Qi在这13天期间只能呈现一直增长状态。
用归一分析法检验模型二如下：
附表2该住院部当前情况的病人安排方案可以看出，病人安排类型分散变为集中，有效的缩短了手术前的观察时间，加快了病床周转次数，床位效率指数增大，床位运行效率比FCFS模型要高，使多数患者的等待时间缩短。
患者的大概入院时间和大约住院时长附表2可看出。
问题四的解决：
特殊情况排队模型 8
分析建立模型 下面考虑周六和周日不做手术这种情形的病床安排问题。
问题分析中可知，首先，需避免入院后等待手术时间过长，如急症患者住院后第二天便会安排手术，则周五和周六不宜安排急症患者住院；其次，需尽可能缩短住院时间，如青光眼和视网膜疾病患者大致住院以后2-3天内就可以接受手术，但是术后的观察时间较长，而且一般不安排在周一、周三手术，所以青光眼和视网膜疾病患者不宜安排在周四和周五入院。
此考虑时，周四时除急症外便只安排给白内障患者住院，而周五时便只安排给白内障患者住院。
综合考虑这些限制因素，在模型二的基础上建立考虑特殊情况的抢占型优先权排队模型，从而医院的手术时间安排并不用作出相应调整。
同理，在此模型也可得出大约入住时间和大概住院时长告诉病人。
模型三的求解 本模型在模型二的基础上增加以上限制条件，而且在本模型中还设计了对周六和周日不做手术这种特殊情况出现与不出现两种情形进行分别处理。
若该住院部周六、周日不安排手术，则根据拟出院情况，模型三求得病人安排住院方案二，统计方案二中9月12日至9月20日各类病人的入院人数如表4所示，表4中可看出该模型中病床周转次数较快，床位效率指数较大。
得出安排方案后便可告诉病人大概入住时间和大约住院时长告诉病人。
表4方案二中9月12日至9月20日各类病人的入院人数日期外伤白内障青光眼视网膜总计121500613020002014060061500112160900917001341806006190424102000112733 计算服务强度?
= Lq=?
10-252（人）L==?
10-252 （天）W=（天）服务台的工作强度和利用程度：
服务窗口空闲时间的概率Pi= 服务窗口繁忙时间的概率Pb= 根据以上数据指标可得：
病床%的时间是处于被占用的，只有%的时间是空闲的；系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者为人；除已安排好住院床位的患者外,系统中排队等候的患者数为?
10-252人；患者在系统中平均逗留时间为天，平均等待时间为?
10-252天。
用模型一检验模型三 用成本指标模型检验模型三如下：
因为从2008-8-30到2008-9-11期间的天数较少，受之前床位占用一直到9月11 9 日还为周转开来影响，Qi在这13天期间只能呈现一直增长状态。
用归一分析法检验模型三如下：
附表3该住院部当前情况的病人安排方案可以看出，病人安排类型也是分散变为集中，但于受周六、周日不安排手术的限制，因此并不能尽多的缩短手术前的观察时间，使病床周转次数增加。
同时为了尽量避开周六、周日不做手术所带来的影响，导致部分患者等待住院时间延迟。
问题五的解决:
线性规划模型、分类排队模型 从便于管理的角度出发，在一般情形下，医院病床安排可采取按照各类病人占用病床的比例进行分类排队的方案。
分配比例确定：
线性规划模型 因为单眼白内障和双眼白内障病人所需住院时间不一样，把病人再细分为外伤、单眼白内障、双眼白内障、青光眼和视网膜疾病五类。
设这五类病人的占用病床比例为x1:
x2:
x3:
x4:
x5。
病人在系统内的平均逗留时间T主要等待入院时间axi、术前准备时间bxi和术后观察时间cxi决定。
为了使得所有病人在系统内的平均逗留时间T最短，我们以T做为目标函数，建立线性规划模型：
minW=ajxi?
bjxi?
cjxi 首先xi都不能超过79张床，且x1,x2,x3,x4,x5的和为79。
其次，考虑不同病症的病情、手术时间安排和术后观察时间长度等情况各不相同，术前准备时间长和术后观察时间长的病症因为病床周转慢，所以应多分配占用多一些床数，统计2008-07-13到2008-09-11的病人信息表中可以得出x2?
x4?
x1 目标函数为：
minW=ajxi?
bkxi?
cnxi ?
?
0?
x?
79i?
?
约束条件为：
?
x2?
x4?
x1 建立分类排队模型 根据平均逗留时间最短优化得到各类病人占用病床的比例x1:
x2:
x3:
x4:
x5进行分配床数。
根据这个床位占用比例建立分类排队模型。
每一类病症做为一个独立的排队模型，按照FCFS的规则进行排队安排服务。
模型四求解 对线性规划模型用LINGO求解得到：
x1:
x2:
x3:
x4:
x5?
12:
7:
14:
10:
36根据拟出院情况,对分类排队模型用MATLAB求解，得到病人安排住院方案三，统计方案二中9月12日至9月20日各类病人的入院人数如表5所示，表5中可看出该模型中病床周转次数较快，床位效率指数较大。
得出安排方案后便可告诉病人大概入住时间和大约住院时长告诉病人。
10 表5方案三中9月12日至9月20日各类病人的入院人数日期外伤白内障青光眼视网膜总计121212613093820141516030360101203159170220418052310190613102001125182103104220212523021142601034计算服务强度?
= Lq=?
10-242 L= Wq?
?
10?
242W= 服务台的工作强度和利用程度：
服务窗口空闲时间的概率 Pi= 服务窗口繁忙时间的概率 Pb= 根据以上数据指标可得：
病床%的时间是处于被占用的，只有%的时间是空闲的；系统中的患者数，包括排队等候的和正在接受服务的所有患者为人；除已安排好住院床位的患者外,系统中排队等候的患者数为?
10-242人；患者在系统中平均逗留时间为天，平均等待时间为?
10?
242天。
六模型评价与推广 模型的优点 1.模型所运用的信息量比较大，对医院的实际问题和统计数据进行了全面分析。
2.主要运用了抢占型优先权排队论的方法，对优先级别不同的病症进行了全 面系统的床位安排。
排队论对于解决医院的床位安排问题准确而合理，不仅解决了医院的床位安排问题还充分的利用了医院的资源。
3.模型的实施可操作性强，可运用到类似的医院就诊或者床位安排问题中，模型 中对病患流的随机性使得该模型更接近实际。
4.构建模型简单，“归一分析法”分析病床效率指标科学严谨。
模型的缺点 运用模型解决问题时，仅有两个月的数据，具有一定的局限性，另外对外伤患者都按急症处理，考虑的情况比较简单。
模型的推广 该模型对床位分配问题可扩展运用到就诊，银行等排队模型中，有利于资源的有效利用，排队论涉及面广泛，可用于解决实际问题中类似的问题。
七有关建议 通过通过对上述建模的求解与研究，发现现在医院中等待入院时间和术前准备时间过长，究其原因主要是医疗服务制度和设施不够完善，医院综合考虑不够全面，为了解 11 决这个问题我们建议相关单位部门：
1.在病床的设置上，应根据本地的人口密度、经济水平、地理位置、发病趋势、技术实力等实际情况，适当的增加或减少床位。
2.要根据科室床位使用情况、住院疾病分类、疾病构成、发病情况，阶段性进行科室床位调整，使医院的床位得到充分利用。
3.建立全民医疗保健制度，提高基层医疗能力，建立相应的调节机制，扭转有病就去大医院就诊的不利局面，避免过分利用大医院服务，而忽视基层卫生机构的服务，共同促医疗事业健康和谐发展。
4．提高医疗质量和技术水平，增加服务项目，提高服务效率，尽可能满足病患及家属的需求。
4647484950515253视网膜疾病视网膜疾病白内障视网膜疾病白内障（双眼）视网膜疾病白内障白内障（双眼）2008-8-272008-8-272008-8-272008-8-272008-8-272008-8-282008-8-282008-8-282008-9-82008-9-82008-9-82008-9-82008-9-92008-9-92008-9-92008-9-102008-9-112008-9-112008-9-102008-9-112008-9-152008-9-112008-9-102008-9-15////2008-9-17 //2008-9-17 2008-9-212008-9-212008-9-132008-9-212008-9-202008-9-212008-9-132008-9-2054视网膜疾病55视网膜疾病56视网膜疾病57白内障（双眼）58白内障（双眼）59青光眼60青光眼61视网膜疾病62青光眼63白内障（双眼）64视网膜疾病65白内障66白内障（双眼）67白内障68白内障（双眼）69视网膜疾病70白内障71视网膜疾病72外伤73外伤74外伤75外伤76外伤77外伤78外伤79外伤 2008-8-282008-8-282008-8-282008-8-282008-8-282008-8-282008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-292008-8-302008-8-302008-8-302008-9-42008-9-52008-9-52008-9-52008-9-62008-9-82008-9-92008-9-92008-9-102008-9-102008-9-102008-9-102008-9-102008-9-92008-9-102008-9-102008-9-102008-9-102008-9-102008-9-112008-9-112008-9-112008-9-112008-9-112008-9-112008-9-112008-9-52008-9-62008-9-62008-9-62008-9-72008-9-92008-9-102008-9-1014 2008-9-122008-9-122008-9-122008-9-152008-9-152008-9-112008-9-122008-9-122008-9-122008-9-152008-9-122008-9-152008-9-152008-9-152008-9-152008-9-132008-9-152008-9-132008-9-62008-9-72008-9-72008-9-72008-9-82008-9-102008-9-112008-9-11///2008-9-172008-9-17 ////2008-9-17 //2008-9-17 /2008-9-17 ///////////2008-9-222008-9-222008-9-222008-9-202008-9-202008-9-182008-9-192008-9-222008-9-192008-9
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