第5练 数学文化.docx
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第5练数学文化
第5练 数学文化
[明晰考情] 1.命题角度：
近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：
中档难度.
考点一 算法、数列中的数学文化
方法技巧
（1）和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行.
（2）数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.
1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a为（ ）
A.4B.2C.0D.14
答案 B
解析 由题意可知输出的a是18，14的最大公约数2，故选B.
2.（2018·石嘴山模拟）《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：
“今有女善织，日益功疾（注：
从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋
d＝390，解得d＝
.
3.（2018·葫芦岛模拟）20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：
任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：
如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成
，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（ ）
A.5B.16
C.5或32D.4或5或32
答案 C
解析 当n＝5时，执行程序框图，
i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，
n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6；
当n＝32时，执行程序框图，
i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，
n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6.
易知当n＝4时，不符合，故n＝5或n＝32，故选C.
4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：
松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）
A.2B.3C.4D.5
答案 C
解析 当n＝1时，a＝
，b＝4，满足进行循环的条件，
当n＝2时，a＝
，b＝8，满足进行循环的条件，
当n＝3时，a＝
，b＝16，满足进行循环的条件，
当n＝4时，a＝
，b＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.
5.（2018·北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A.
fB.
fC.
fD.
f
答案 D
解析 由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为
的等比数列，则第八个单音的频率为（
）7f＝
f.
6.（2018·浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：
“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则
当z＝81时，x＝____，y＝____.
答案 8 11
解析 方法一 由题意，得
即
解得
方法二 100－81＝19（只），
81÷3＝27（元），
100－27＝73（元）.
假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95（元）.
因为95－73＝22（元），
所以鸡母：
22÷（5－3）＝11（只），
鸡翁：
19－11＝8（只）.
考点二 三角函数与几何中的数学文化
方法技巧
从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.
7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：
“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？
”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？
则此问题的答案是（ ）
A.3步B.6步C.4步D.8步
答案 B
解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，
设其内切圆半径为r，
则有
＋
＋
＝
×8×15（等积法），
解得r＝3，故其直径为6步.
8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα等于（ ）
A.
B.
C.5D.
答案 A
解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，
∴2＝10cosα－10sinα，
∴cosα－sinα＝
，
又α为锐角，易求得tanα＝
.
9.（2018·全国Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
答案 A
解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
10.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：
“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
A.4－
B.8－
C.8－πD.8－2π
答案 C
解析 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.
V正方体＝23＝8，V半圆柱＝
（π×12）×2＝π，
∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.
根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.
11.（2018·蚌埠模拟）我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：
“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？
”意思是：
现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？
（注：
1斛≈1.62立方尺，π≈3）若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为（ ）
A.5尺B.9尺 C.10.6尺D.21.2尺
答案 D
解析 设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.
粟米250斛，则体积为250×1.62＝
×π×92×h，h≈5.
谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.
则R2＝（h－R）2＋r2，解得R≈10.6（尺）.
∴2R≈21.2（尺）.
12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③
<
；④c1a2>a1c2.
其中正确的式子的序号是（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案 D
解析 ①由题图知2a1>2a2，2c1>2c2，
即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正确.
②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确.
④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴a
>a
，c
>c
.
又∵a1－c1＝a2－c2，
即a1＋c2＝a2＋c1，
即a
＋c
＋2a1c2＝a
＋c
＋2a2c1，
∴a
－c
＋c
－a
＋2a1c2＝2a2c1，即（a1－c1）（a1＋c1）－（a2－c2）（a2＋c2）＋2a1c2＝2a2c1，
整理得（a1－c1）（a1－a2＋c1－c2）＋2a1c2＝2a2c1.
∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正确.
③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴
>
，即
>
，∴③不正确.故选D.
考点三 概率、统计与推理证明中的数学文化
方法技巧
（1）概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型.
（2）推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.
13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：
粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
答案 B
解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为
×1534≈169（石）.
14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：
“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 三位数的回文数为ABA，
A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…，
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，
共有9×10＝90（个）；
其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，
B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，
其有4×10＝40（个），
∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝
＝
.
15.（2018·永州模拟）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：
将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15（如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn（如：
在3阶幻方中，N3＝15），则N10等于（ ）
4
9
2
3
5
7
8
1
6
A.1020B.1010C.510D.505
答案 D
解析 n阶幻方共有n2个数，其和为1＋2＋…＋n2＝
，∵n阶幻方共有n行，
∴每行的和为
＝
，即Nn＝
，∴N10＝
＝505.
16.（2018·贵港市联考）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：
有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？
其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，设水深为x尺，由题意得（x＋2）2＝x2＋52，求解关于实数x的方程，可得x＝
，即水深为
尺，又葭长为
尺，则所求问题的概率为P＝
.故选A.
17.（2018·北京朝阳区模拟）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：
“我或乙能中奖”； 乙说：
“丁能中奖”；
丙说：
“我或乙能中奖”； 丁说：
“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（ ）
A.甲B.乙 C.丙D.丁
答案 A
解析 由四人的预测可得下表：
中奖人
预测结果
甲
乙
丙
丁
甲
√
×
×
×
乙
√
×
√
√
丙
×
×
√
√
丁
×
√
×
√
由分析可知，中奖者是甲.
1.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：
“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差（即等差）降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：
每等人比下等人多得几斤？
”（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
由题意得
即
解得d＝
，
∴每一等人比下一等人多得
斤金.
2.（2018·山东、湖北部分重点中学模拟）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？
（ ）
A.1170B.1380 C.3090D.3300
答案 D
解析 设第n天派出的人数为an，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋
×7，所以前5天共分发的大米数为3（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝3[（1＋2＋3＋4＋5）×64＋（1＋3＋6＋10）×7]＝3300（升）.
3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：
“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？
”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）
A.3B.4C.5D.6
答案 B
解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞之和为
＝2n－1；
同理，小老鼠前n天打洞的距离
＝2－
，
∴2n－1＋2－
＝10，
解得n∈（3，4），取n＝4.
即两鼠在第4天相逢.
4.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？
答曰：
二千一百一十二尺.术曰：
周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：
圆堡瑽（圆柱体）的体积为：
V＝
×（底面的圆周长的平方×高）.则由此可推得圆周率π的取值为（ ）
A.3B.3.14 C.3.2D.3.3
答案 A
解析 由题意，圆柱体底面的圆周长48尺，高11尺，
∵圆堡瑽（圆柱体）的体积V＝
×（底面的圆周长的平方×高），
∴V＝
×（482×11）＝2112，
∴
∴π＝3，R＝8.
5.（2018·吉林调研）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？
”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 模拟程序的运行，可得
当i＝1时，S＝2S－1，i＝1满足条件i<3，执行循环体；
当i＝2时，S＝2（2S－1）－1，i＝2满足条件i<3，执行循环体；
当i＝3时，S＝2[2（2S－1）－1]－1，i＝3不满足条件i<3，退出循环体，输出S＝0，
∴2[2（2S－1）－1]－1＝0，∴S＝
.
6.（2018·聊城模拟）我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 不妨设两条直角边为3，1，故斜边，即大正方形的边长为
＝
，小正方形边长为2，故概率为
＝
.
7.（2018·南昌模拟）欧阳修在《卖油翁》中写道“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×
2＝4π（cm2），而边长为1cm的正方形的面积为1×1＝1（cm2），根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P＝
，故选B.
8.（2018·辽宁瓦房店模拟）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？
”其意思为：
“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？
”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.128π平方尺B.138π平方尺
C.140π平方尺D.142π平方尺
答案 B
解析 设四棱锥的外接球半径为r尺，
则（2r）2＝72＋52＋82＝138，
∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr2＝138π（平方尺）.
故选B.
9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.
答案 510
解析 由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.
10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程
＝x确定x＝2，则1＋
＝________.
答案
解析 由题意，可令1＋
＝x（x>0），即1＋
＝x，
即x2－x－1＝0，解得x＝
，
故1＋
＝
.
11.如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：
正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为
，则最小正方形的边长为________.
答案
解析 依题意，正方形的边长构成以
为首项，公比为
的等比数列.
因为共有4095个正方形，
则1＋2＋22＋…＋2n－1＝4095，所以n＝12.
所以最小正方形的边长为
×
12－1＝
12＝
.
12.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用如图A所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作（1655年）介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle），如图A.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图B.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：
C
＋C
＝C
，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是_______________________.
答案
＝
＋
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