人教版九年级锐角三角函数全章教案.docx

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人教版九年级锐角三角函数全章教案

第二十八章锐角三角函数

28．1锐角三角函数

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

能根据正弦概念正确进行计算。

2、过程与方法：

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3、情感态度与价值观：

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

教学难点：

引导学生比较、分析并得出：

对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。

下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：

锐角的正弦

二、探索新知

【活动一】问题的引入

【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。

现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

分析：

问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,

求AB

根据“在直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即

可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管

结论：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

【问题二】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对

边与斜边的比

，能得到什么结论？

（学生思考）

结论：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

。

【问题三】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：

Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠C=∠C1=90o，

∠A=∠A1=α，那么与有什么关系

分析：

由于∠C=∠C1=90o，∠A=∠A1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1，

，即

结论：

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

【活动二】认识正弦

如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c。

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。

记作sinA。

板书：

sinA＝

（举例说明：

若a=1,c=3,则sinA=

）

【注意】：

1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：

sinA、sin56°、sin∠DEF

3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位。

提问：

∠B的正弦怎么表示？

要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

三、例题讲解

例（教材P63-例1）如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

如图

（2）在Rt△ABC中，

四、课堂练习

教材P64-练习第1、2题

五、课时小结

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。

六、布置作业

教材P68-习题28.1第1题

28．1锐角三角函数

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

2、过程与方法：

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3、情感态度与价值观：

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

理解余弦、正切的概念．

教学难点：

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习】

1、口述正弦的定义

2、

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。

已知AC=

，BC=2，那么sin∠ACD＝（）

A．

B．

C．

D．

二、探索新知

余弦、正切的定义

一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：

Rt△ABC与Rt△A1B1C1，∠C=∠C1=90o，

∠B=∠B1=α，那么与有什么关系？

分析：

由于∠C=∠C1=90o，∠B=∠B1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A1B1C1，

即

结论：

在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB，即

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA，即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

三、例题讲解

例（教材P65-例2）如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6，sinA=

，求sinA、cosA、tanA的值．

教师对解题方法进行分析：

我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．

教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．

解：

略

四、课堂练习

教材P64-练习第1、2题

五、课时小结

在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

六、布置作业

教材P68-习题28.1第1题

28．1锐角三角函数（3）

教学目标：

1、知识与技能：

能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

2、过程与方法：

让学生经历观察、操作等过程，知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算．

3、情感态度与价值观：

通过锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．

教学重点：

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

教学难点：

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所得结论吗？

即

，

你还能推导出

的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？

二、探索新知

【活动】30°、45°、60°角的三角函数值的推导

【探索】1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求出它们的三角函数值。

归纳结果

30°

45°

60°

siaA

cosA

tanA

三、例题讲解

例1（教材P66-例3）求下列各式的值：

（1）cos260°+sin260°．

（2）

-tan45°．

教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．

例2（教材P66-例2）

（1）如图28．1-9

（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=

，BC=

，

求∠A的度数．

（2）如图28．1-9

（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的

倍，求a．

图28.1-9

（1）图28.1-9

（2）

教师分析解题方法：

要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

四、课堂练习

教材P67-练习第1、2题

五、课时小结

本节课应掌握：

30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算；

六、布置作业

教材P68-习题28.1第3题

28．1锐角三角函数（4）

教学目标：

1、知识与技能：

让学生熟识计算器一些功能键的使用，会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．

2、过程与方法：

自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值．

3、情感态度与价值观：

让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．

教学重点：

运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．

教学难点：

正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】

通过上节课的学习我们知道，当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。

二、探索新知

【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值

利用计算器求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）

sin37°24′，sin37°23′，cos21°28′，cos38°12′

tan52°；tan36°20′；tan75°17′；

【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.

例如：

sinA=0.9816.∠A＝；

cosA＝0.8607，∠A＝；

tanA＝0.1890，∠A=；

tanA＝56.78，∠A＝。

三、例题讲解

例1．求下列各式的值：

（1）sin42°31′

（2）cos33°18′24″（3）tan55°10′

例2．根据所给条件求锐角α．

（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）

（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）

（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

例3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）

四、课堂练习

教材P68-练习第1、2题

五、课时小结：

本节课应掌握：

已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndfsin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．

六、布置作业

教材P68-习题28.1第5题

28．2．1解直角三角形

教学目标：

1、知识与技能：

使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、过程与方法：

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．．

3、情感态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

直角三角形的解法．

教学难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。

见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．

sinA=

≈0.0954．

所以∠A≈5°08′．

二、探索新知

【活动一】理解直角三角形的元素

【提问】在三角形中共有几个元素？

什么叫解直角三角形？

总结：

一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

 【活动二】直角三角形的边角关系

直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）边角之间关系

如果用

表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

（2）三边之间关系

 a2+b2=c2（勾股定理）

 （3）锐角之间关系∠A+∠B=90°．

 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

三、例题讲解

例1：

（教材P73-例1）在△ABC中，∠C=90°，AC=

，BC=

，解这个三角形．

解：

略 

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

例2：

（教材P73-例2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．

 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

总结：

完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？

”

四、课堂练习

教材P74-练习

五、课时小结

本节课应掌握：

1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；

2．解决有关问题；

六、布置作业

教材P77-习题28.2第1、2题

28．2.2应用举例

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、过程与方法：

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．注意加强知识间的纵向联系．

3、情感态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

教学难点：

实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习引入】

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？

请学生口答．

2、在Rt△ABC中已知a=12,c=13求角B应该用哪个关系？

请计算出来。

二、探索新知

【活动】例：

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角

一般要满足

，（如图）.现有一个长6m的梯子，问:

（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m） 

（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角

等于多少（精确到1o） 这时人是否能够安全使用这个梯子 

引导学生先把实际问题转化成数学模型

然后分析提出的问题是数学模型中的什么量

在这个数学模型中可用学到的什么知识来求

未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

三、例题讲解

例1（教材P74-例3）2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。

“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？

最远点与P点的距离是多少?

（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）

分析:

从组合体上能最远直接看到的地球上的点，是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船

观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。

解：

略

例2（教材P75-例4）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果结果取整数）?

分析：

（1）可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。

（2）在

中，

，

.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.

四、课堂练习

教材P76-练习第1、2题

五、课时小结

本节课应掌握：

1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

六、布置作业

教材P77-习题28.2第3、4题

28．2.2应用举例

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角，巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

2、过程与方法：

学会这样分析问题．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、情感态度与价值观：

体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。

教学重点：

用三角函数有关知识解决方位角问题

教学难点：

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习】

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

二、例题讲解

例（教材P76-例5）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯

塔P的南偏东34方向上的B处.这时，这时，当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮

所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）?

解：

略

三、课堂练习

教材P77-练习第1、2题

四、课时小结

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．

2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．

3．得到数学问题的答案．

4．得到实际问题的答案．

五、布置作业

教材P77-习题28.2第5、6题