第一章 数学模型与数学建模竞赛.docx
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第一章数学模型与数学建模竞赛
第一章数学模型与数学建模竞赛
§1.1数学模型的建立过程
一、什么是数学模型？
我们常见的模型
玩具、照片、飞机模型…——实物模型；
风洞中的飞机、水箱中的舰艇…——物理模型；
地图、电路图、分子结构图…——符号模型；
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
二、你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
解：
用
表示船速，
表示水速，列出方程
.
答：
船速每小时20千米/小时.
三、航行问题建立数学模型的基本步骤
1）作出简化假设（船速、水速为常数）；
2）用符号表示有关量（x，y表示船速和水速）；
3）用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；
4）求解得到数学解答（x=20，y=5）；
5）回答原问题（船速每小时20公里）.
数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.
数学建模建立数学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检验）.
四、几个建模示例
示例一：
高跟鞋问题
女孩子都爱美，你知道你穿跟多高的高跟鞋最美吗？
设某人下肢躯干部分长为
，身高为
，鞋跟高
，我们知道黄金分割比为0.618，当人的下肢与身高比为0.618时应该看起来最美，即
，
则
，
由此模型可计算出任何一个女孩子应该穿多高鞋跟的鞋子.
以身高168cm，下肢长为102cm的人为例，其所穿鞋子的鞋跟高度与好看程度的关系可由表1.1.1说明.
表1.1.1鞋跟高度与好看程度的关系
原比（x/l）
身高（cm）
鞋跟高度
新比值
0.6071
168
2.5
0.6129
0.6071
168
3.55
0.6151
0.6071
168
4.5
0.6173
0.6071
168
4.7748
0.618
又如，按照上述模型，身高153cm，下肢长为92cm的女士，应该穿鞋跟高为6.6cm的高跟鞋显得比较美.
示例二：
如何选择广告上的优惠政策
实际背景：
为配合客户不同的需要，广告商设有以下优惠计划，以供客户选择（见表1.1.2）.
表1.1.2
计划A
计划B
每月基本服务费
98￥
168￥
免费通话时间
首60分钟
首500分钟
以后每分钟收费
0.38￥
0.38￥
选择性项目
30￥
30￥
问题：
若在两种计划中选择，你选择哪一种？
分析：
（1）两项服务的不同点：
计划A的每月基本服务费比计划B少，而计划B比计划A给客户的首段免费通话时间多.
（2）模型假设与建立
设t（分钟）为通话时间，而C（﹩）是所需付出的费用，则可列出计划A与计划B的付费函数关系式为：
计划A：
，
计划B:
，
（3）下面我们来解决：
究竟通话时间超过多少分钟，计划B会比计划A优惠？
将
（2）中的函数关系式表示成图表，如图1.1.1.
图1.1.1
计算
，得
（分钟），
故当客户使用该传呼服务的时间超过244分钟（约4个小时）时，便应选择计划B；若使用时间少于244分钟，则应选择计划A.
（4）问题推广
若客户真的选择了计划B，那最多可以比计划A省多少钱？
解决：
由图1.1.1可见，起初计划A比计划便宜70元（当
），当使用时间超过60分钟，则两者差距缩小，直到Q点，两者已无差距，即表示两个计划在此时的优惠相同，由图1.1.1可以看出，用户所得最大优惠差额为
元.
示例三：
某甲早8：
00从山下旅馆出发，沿着一条路径上山，下午5:
00到达山顶并留宿。
次日早8：
00沿同一路径下山，下午5：
00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
解答：
记出发时刻为
，到达目的时刻为
，从旅店到山顶的路程为
.
设某人上山路径的运动方程为
；下山运动方程为
，
是一天内时刻变量，则
，
在[a，b]是连续函数.
作辅助函数
它也是连续的，则由
可知
，由介值定理知存在
使
，即
.
讨论题：
分蛋糕问题
问题1：
有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，妹妹指着蛋糕让哥哥切成相等的两半，能办到吗？
问题2：
有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，如何将蛋糕分成两份，使得兄妹俩都满意自己拿到的那一份，能办到吗？
问题3：
有一边界形状任意的蛋糕，兄妹三人都想吃，如何将蛋糕分成三份，使得兄妹三人都满意自己拿到的那一份，能办到吗？
数据处理问题
某企业有股东5人，工人100人，1900—1992年3年间，该企业的收益情况如下表所示，要求根据表中数据绘制一幅坐标图.
年份
股东利润（万元）
工资总额（万元）
1990年
5
10
1991年
7.5
12.5
1992年
10
15
五、数学建模的方法和步骤
基本方法
1）机理分析：
根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律；
2）测试分析：
将研究对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数
据拟合最好的模型；
3）二者结合：
机理分析建立模型结构，测试分析确定模型参数.
分析没有统一的方法，主要通过实例研究（CaseStudies）来学习，以下建模主要指机理分析.
数学建模的一般步骤
模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义与建模目的，掌握对象的各种信息（要收集），用数学语言来描述问题.
模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设，是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑，是不现实的，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化.
模型建立在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）.
模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构.有高数、概率统计、图论、排队论、线性规划、对策论等等.
切记：
建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值.
模型求解利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）.可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.
模型检验将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释.如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，在次重复建模过程.
六、怎样学习数学建模
1）数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术；
2）技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则；
3）数学建模需要有丰富的想象力、敏锐的洞察力、准确的判断力和大胆的创新意
识；
4）开始学习建模时需要学习、分析、评价、改进别人作过的模型，然后亲自动手，
认真作几个实际题目.
§1.2数学建模竞赛及其发展历程
一、数学建模竞赛介绍
数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力.但数学建模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同.
数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理科学中的实际问题简化加工而成（见表1.2.1），它对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神.
表1.2.1历年竞赛题目
数学建模竞赛的形式
1．数学建模竞赛以通讯形式进行；
2．三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论；
3．时间：
三天，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文；
4．竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.合理性：
关键假设；不欣赏罗列大量无关紧要的假设；创造性：
特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理；正确性：
不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度；好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的；清晰性：
摘要应理解为详细摘要，提纲挈领表达严谨、简捷，思路清新格式符合规范，严禁暴露身份.
数学建模竞赛的宗旨：
创新意识，团队精神，重在参与，公平竞争.
二、数学建模竞赛的发展历程
1）20世纪60~70年代进入西方国家的大学（数学建模教材较集中地出现在70年代）；
2）1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办；
3）1988.6叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模竞赛发起者和负责人Fusaro教授了解这项竞赛的情况，商讨中国学生参赛的办法和规则；
4）1989.2.24~26我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学等4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年我国都有同学参加这项竞赛；
5）1989.3《高校应用数学学报》第4卷第1期发表叶其孝教授的文章“美国大学生数学建模竞赛及一些想法”，第一次向国内介绍这项竞赛；
6）1990.12.7~9上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国省、市级首次举办数学建模竞赛；
7）1992.11.27~29部分城市大学生数学模型联赛举行，这是全国性的首届竞赛，10省（市）79所院校的314队参加；
8）1993.10.15~17全国大学生数学建模竞赛举行，16省（市）101所院校的420队参加；
9）1994年全国大学生数学建模竞赛举行，21省（市、自治区）196所院校的870队参加；
10）2007年有30省/市/区的969所学校11742队参加，赛题和优秀答卷刊登于次年《数学的实践与认识》（2001年起刊登于当年《工程数学学报》）；
11）2008年有31省/市/区的1022所学校12836队（其中甲组10374队、乙组2462
队）、3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛.
三、数学建模竞赛的反响
1）学生欢迎：
“一次参赛，终身受益”奖励：
证书；等级：
全国一等~3%、二等~7%；赛区奖~1/3；
2）研究生导师们的认同；
3）企业界的认同／赞助；
4）教育改革同行的认同：
“成功范例”；
5）国际同行的认同；
6）网址：
.
四、后记
近几年，数学建模在国内得到不断发展，涌现出很多区域性数学建模竞赛，使得数学建模爱好者有一个相互交流经验和展示自我能力的舞台.数学建模出学者还可以通过区域赛事检验自我的能力，增加比赛经验.现在国内外的主要赛事有：
1）美国大学生数学建模竞赛每年2月份
2）大学生数学建模邀请赛每年5月份
3）苏北大学生数学建模联赛每年5月份
4）东北三省大学生数学建模联赛每年5月份
5）全国大学生数学建模竞赛每年9月份
6）全国研究生数学建模竞赛每年9月份
§1.3数学建模竞赛论文撰写
一、写好数模答卷的重要性
1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别数模答卷，是唯一依据；
2.答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式；
3.写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练.
二、评阅原则
1.假设的合理性；
2.建模的创造性；
3.结果的合理性；
4.表述的清晰程度.
三、答卷的文章结构
0．摘要
1.模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；
1.1建模的思想（思路）；
1.2算法思想（求解思路）；
1.3建模特点（模型优点，建模思想或方法；算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验…….）；
1.4主要结果（数值结果，结论）（回答题目所问的全部“问题”）.
1.5表述：
准确、简明、条理清晰、合乎语法；符合打印文章格式，务必认真校对.
例：
本文获2004年全国数学建模竞赛一等奖.（国防科大：
黄立波）
摘要：
本文所要讨论的问题可以归结为一个二元整数规划问题.首先，我们根据三次预演运动会的调查结果推断出奥运会期间观众在出行方式、餐饮、消费水平三个方面的行为规律以及不同性别、年龄的人群在这三个方面上的差异，然后根据这些规律估计了奥运会期间各主要场馆周围商业区的人流分布情况.为了更好地反映商业区的商业价值，本文在人流分布的基础上进一步讨论了各商区的消费潜力的分布并据此设计商业区的超市群：
首先，我们从招租方（组委会）、经营商和顾客三个不同角度讨论了大、小规模MS对各自利益的影响，并分别以地租总收入、单位面积上的平均利润和安全经营率、顾客满意度等量化指标来衡量三者的各自的利益.此时，问题转化为二元整数规划问题：
为各个商区确立大MS数目和小MS的数目，使得模型在满足经营商和顾客的一定的利益的前提下（约束条件），组委会获得的利益最大.通过计算，我们求解得到了全部商区的规划设计方案，比如在A6区（面积约为15000m2）中需要建设5个大MS（面积为450m2）和17个小MS（面积为150m2），该商业区内的超市的总建筑面积为4800m2，约占整个商业区面积的三分之一.为了说明我们方案的合理性和贴近实际的特性，我们从顾客满意度、零售单位与人口分布的一致性指数、公平竞争原则和共同盈利原则四个方面对模型的合理性进行了分析说明.在模型的进一步讨论中，我们讨论了经济增长、旅游人口等因素对设计方案可能产生的影响.另外，为了使同一商区内的超市间避免盲目竞争，同时也是为了奥运会结束后能更好地现有的临时商业点地面进行二次开发，我们利用商圈理论对商区内超市的布局原则做了讨论并得出“大店分散，小店聚集”的规律.最后，我们根据模型求解的结果给北京奥组委提出几点建议：
关注市场规模的增长、流动人口对市场的影响以及及时制定临时商业用地的二次开发方案.
1．问题重述
1.用自己的话去复述或理解一遍，实际是问题分析的开始.
2.切忌：
原封不动照写一遍.
2．模型的假设，符号说明（表）
1.根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要.
（1）根据题目中条件作出假设；
（2）根据题目中要求作出假设.
2.关键性假设不能缺；假设要切合题意.
3．模型的建立
1.基本模型；
2.简化模型；
3.模型要实用，有效，有特色，以解决问题有效为原则；
4.鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异；
5.在问题分析推导过程中，需要注意的问题.
4．模型的求解
1.需要建立数学命题时：
命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密.能用定理总结的，尽量给出定理，并证明（很专业）；
2.需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤.若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称；
3.计算过程，中间结果可要可不要的，如果篇辐大的，不要列出；
4.设法算出合理的数值结果.
5．结果表示、分析与检验，误差分析，模型检验……
1.最终数值结果的正确性或合理性是第一位的；
2.对数值结果或模拟结果进行必要的检验；
3.题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；
4.列数据问题：
考虑是否需要列出多组数据，或额外数据，对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；
5.结果表示：
要集中，一目了然，直观，便于比较分析；
6.必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论，最后结论要明确.
6．模型评价，特点，优缺点，改进方法，推广…….
1.优点突出，缺点不回避；
2.改变原题要求，重新建模可在此做；
3.推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语.
7．参考文献
力求规范，清晰：
标号，作者，论文名称，杂志名称或出版社名称，时间（年、月），页.
例：
［1］赵静，但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，2003.6
［2］徐茂良，张勇等，矩阵在基金使用计划模型中的应用，成都大学学报（自然科学版），2005
（1）:
1～4
8．附录
1.较详细的结果，较详细的数据表格，可在此列出，但不要错，错的宁可不列；
2.主要结果数据，应在正文中列出.
注：
切忌过于冗长的数据列表，因为太多的数据一般应用独立于主程序的数据文件来表示，以免主程序太长.
四、检查答卷的主要三点
1.模型的正确性、合理性、创新性；
2.结果的正确性、合理性；
3.文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩.
五、对分工执笔的同学的要求
1.执笔者思路清晰，文字流畅通顺，语言优美；
2.文章结构层次分明，思想表述明确又简洁；
3.摘要、问题重述、模型假设、模型的建立、模型求解、结果分析、检验、模型检验及模型修正、结果表示、模型评价、参考文献、附录各自安排要合理恰当，体现出既专业又中肯.
六、关于写答卷前的思考和工作规划
1.答卷需要回答哪几个问题――建模需要解决哪几个问题；
2.问题以怎样的方式回答――结果以怎样的形式表示；
3.每个问题要列出哪些关键数据――建模要计算哪些关键数据；
4.每个量，列出一组还是多组数――要计算一组还是多组数…….
七、答卷要求的原理
1.准确――科学性；
2.条理――逻辑性；
3.简洁――数学美；
4.创新――研究、应用目标之一，人才培养需要；
5.实用――建模，实际问题要求.
八、建模理念
1.应用意识：
要解决实际问题，结果、结论要符合实际；模型、方法、结果要易于理解，便于实际应用；站在应用者的立场上想问题，处理问题.
2.数学建模：
用数学方法解决问题，要有数学模型；问题模型的数学抽象，方法有普适性、科学性，不局限于本具体问题的解决.
3.创新意识：
建模有特点，更加合理、科学、有效、符合实际；更有普遍应用意义；不单纯为创新而创新.
讨论题
1．某种产品的半成品在生产过程中的废品率
与他的某种化学成分
有关，现将实验得到的一批数据记录如下：
化学成分
34
36
37
38
39
39
39
40
40
废品率
1.30
1.00
0.93
0.90
0.81
0.70
0.60
0.50
0.44
化学成分
41
42
43
44
45
47
48
50
废品率
0.56
0.30
0.42
0.45
0.40
0.41
0.60
0.75
其中
为废品率（%），
为化学成分含量（0.01%）.
（1）估计化学成分为多少时废品率最低；
（2）估计化学成分为55时，废品率的值.
2．随着人民生活水平的提高，饮水机以其方便、快捷等优点，受到越来越多家庭的青睐，但伴随而来的则是饮水机的用电问题，当人外出时，是否关掉引水机一定省电？
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