北师大版数学 数学选修11教师用书 111命题.docx
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北师大版数学数学选修11教师用书111命题
【课堂新坐标】数学选修1-1教师用书：
1.1.1命题
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．过程与方法
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：
命题的概念、命题的构成．
难点：
分清命题的条件、结论和判断命题的真假．
（教师用书独具）
●教学建议
命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．
●教学流程
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（对应学生用书第1页）
课标解读
1.了解命题的概念及构成．（重点）
2．会判断命题的真假．（难点、易错点）
命题的概念
【问题导思】
观察下列实例：
①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
②4是集合{1,2,3,4}的元素；
③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
④作△ABC∽△A′B′C′
上述语句中，哪些能判断真假？
【提示】 ①、②、③、④是祈使句不能判断真假．
1．定义
在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．分类
①真命题：
判断为真的语句叫做真命题；②假命题：
判断为假的语句叫做假命题.
命题的形式
【问题导思】
1．“同位角相等”是命题吗？
如果是命题，是真命题还是假命题？
【提示】 是命题，为假命题．
2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？
【提示】 若两个角为同位角，则这两个角相等．
命题的形式：
“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
（对应学生用书第1页）
命题的判断
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
（1）x－2＞0；
（2）梯形是不是平面图形呢？
（3）若a与b是无理数，则ab是无理数；
（4）这盆花长得太好了！
（5）若x＜2，则x＜3.
【思路探究】
（1）这些语句是陈述句吗？
（2）你能判断它们的真假吗？
【自主解答】
（1）不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．
（2）不是命题，疑问句不是命题．
（3）是命题，因为此语句是陈述句且是假的．（反例a＝b＝
）
（4）不是命题，感叹句不是命题．
（5）是命题，因为此语句是陈述句且是真的．
判断一个语句是否为命题的步骤：
（1）语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．
（2）该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
（1）一条直线l，与平面α不是平行就是相交；
（2）若xy＝1，则x，y互为倒数；
（3）作△ABC∽△A′B′C′.
【解】
（1）是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．
（2）是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．
（3）不是命题，祈使句不是命题．
命题真假的判定
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
（1）函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
（2）若x＝4，则2x＋1＜0；
（3）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
（4）求证：
x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．
【思路探究】
【自主解答】
（1）
（2）（3）是命题，（4）不是命题．
命题
（1）中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，为真命题．
命题
（2）中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．
命题（3）中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
（4）是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
1．真假命题的判定方法：
（1）真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
（2）假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．
在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．
【解】
（2）是假命题，改为真命题为：
若x＝4时，则2x＋1＞0.
（3）是假命题，改为真命题为：
一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．
（4）不是命题，改为真命题为：
若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.
命题的形式及改写
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）两个周长相等的三角形面积相等；
（2）已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
（3）当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；
（4）当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
【思路探究】
（1）这些命题的条件与结论分别是什么？
（2）第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？
【自主解答】
（1）若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；
（2）已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
（3）若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；
（4）若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．
2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）奇数不能被2整除；
（2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1；
（3）两个相似三角形是全等三角形；
（4）在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
【解】
（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
（2）若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
（4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
（对应学生用书第4页）
因知识欠缺，导致对命题真假判断失误
判断下列命题的真假．
（1）若a＞b，则
＜
；
（2）x＝1是方程（x－1）（x－2）＝0的一个根．
【错解】
（1）真命题．
（2）假命题．
【错因分析】
（1）误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a、b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞b但
＞
.
（2）因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．
【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．
【正解】
（1）假命题
（2）真命题
1．判断一个语句是否是命题要注意两点：
（1）是不是陈述句；
（2）能否判断真假．
2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p，则q”的形式再加以判断.
（对应学生用书第4页）
1．下列语句中是命题的是（ ）
A.
是无限不循环小数 B．3x≤5
C．什么是“温室效应”D．《非常学案》真好呀！
【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A是命题．
【答案】 A
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．5是15的约数 B．对任意实数x，有x2＜0
C．对顶角相等D．0不是奇数
【解析】 对任意实数x，有x2≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．
【答案】 B
3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．
【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行
4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
（1）求证：
是无理数．
（2）若G2＝ab，则a、G、b成等比数列．
（3）末位数字是0的整数能被5整除．
（4）你是高二的学生吗？
【解】
（1）不是命题，
（2）假命题，（3）真命题，（4）不是命题.
一、选择题
1．（2013·郑州高二检测）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是（ ）
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
【解析】 “若p，则q”的形式：
若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．
【答案】 C
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．若
＝
，则x＝y
【解析】 A中方程在实数范围内无解，故为假命题；B中，若x2＝1，则x＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C为假命题，D为真．
【答案】 D
4．给出命题：
方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．－3
【解析】 方程无实根应满足Δ＝a2－4＜0即a2＜4，故当a＝0时适合条件．
【答案】 C
5．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】 ①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，
所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；
②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；
③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．
【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．
7．如果命题“若x∈A，则x＋
≥2”为真命题，则集合A可以是________．（写出一个即可）
【解析】 当x＞0时，有x＋
≥2，故A可以为{x|x＞0}．
【答案】 {x|x＞0}
8．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac2＞bc2，④若x、y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．
【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a＞b，则ac2≥bc2，故为假命题，④为真命题．
【答案】 ①④
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
（1）实数的平方是非负数；
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（3）当ac＞bc时，a＞b；
（4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解】
（1）若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．
（2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．
（3）若ac＞bc，则a＞b，假命题．
（4）若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．
10．判断下列命题的真假并说明理由．
（1）合数一定是偶数；
（2）若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；
（3）若m＞
，则方程mx2－x＋1＝0无实根．
【解】
（1）假命题．例如9是合数，但不是偶数．
（2）真命题．因为ab＞0，则a、b同号．
又a＋b＞0故a、b不能同负，
故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.
（3）真命题．因为当m＞
时，Δ＝1－4m＜0；
∴方程无实根．
11．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 因为ax2－2ax－3＞0不成立，
所以ax2－2ax－3≤0恒成立．
（1）当a＝0时，－3≤0成立；
（2）当a≠0时，应满足
解之得－3≤a＜0.
由
（1）
（2），得a的取值范围为[－3,0]．
（教师用书独具）
下列四个命题：
①若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；
②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；
③在平面直角坐标系内，点M（|a|，|a－3|）与N（cosα，sinα）在直线x＋y－2＝0的异侧；
④规定下式对任意a，b，c，d都成立．
2＝
·
＝
，则
2＝
.
其中真命题是________（将你认为正确的命题序号都填上）．
【解析】 当a与b的夹角为π时，有a·b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是错误的；因为|a|＋|a－3|－2≥|a－a＋3|－2＝1＞0，cosα＋sinα－2＝
sin
－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有
2＝
·
＝
＝
，
所以④是真命题，故填③④.
【答案】 ③④
把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数f（x）＝3＋log2x（x＞0）的图象与g（x）的图象关于x轴对称，则g（x）＝________.
【解析】 设g（x）图象上任一点（x，y），则它关于x轴的对称点为（x，－y），此点在f（x）的图象上，故有：
－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x（x＞0）．
【答案】 －3－log2x（x＞0）
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