高考理科数学专题十一概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列期望与方差.docx
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高考理科数学专题十一概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列期望与方差
专题十
概率与统计
第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差
、选择题
该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P（X4）P（X6），则p=
2．
（2018浙江）设0p1，随机变量的分布列是
0
1
2
1p
1
p
P
2
2
2
则当p在（0,1）内增大时，
若0p1p21，则
2
随机抽取ii1,2个球放入甲盒中．
二、填空题
5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，
表示抽到的二等品件数，则DX=．
6．（2016年四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2
次试验中成功次数X的均值是.
1
7．（2014浙江）随机变量的取值为0,1,2，若P0，E1，则D__．
5
三、解答题
8．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢，“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系．
9．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定
是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不
合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的
检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
10．（2018天津）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中
抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
11．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，
未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多
少时，Y的数学期望达到最大值？
12．（2017江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，nN*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现
将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，⋯，mn的抽屉内，其中第k次取
球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，⋯，mn）．
1
2
3
mn
1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明
E（X）
n．
（mn）（n1）
13．（2017天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯
111
的概率分别为,,．
234
（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
14．（2017山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：
将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两
现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，
组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，
A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗
示．
B1的频率。
X的分布列与数学期望EX．
Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含
Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求
15．（2017北京）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另
组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*表”示服药者，
+表”示未服药者．
Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求
的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）
16．（2016年全国I）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个
500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示
2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？
17．（2015福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到
银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之
一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
18．（2015山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
19．（2015四川）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望．
20．（2014新课标1）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果
得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（,2），其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2．
（i）利用该正态分布，求P（187.8Z212.2）；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：
150≈12.2．若Z～N（,2），则P（Z）=0.6826，
P（2Z2）=0.9544．
21．（2014山东）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为
两个不相交的区域C,D．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：
回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上111
的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上
235
3
的概率为3．假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
5
（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．
22．（2014辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
23．（2014广东）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：
件），获得数据如下：
30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
（30,35]
5
0.20
（35,40]
8
0.32
（40,45]
n1
f1
（45,50]
n2
f2
（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的
概率．
24．（2014安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则
21判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为2，乙获胜的概率为1，各局比赛结果相互独立．
33
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
25．（2013新课标1）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4件作检验，这4件产
品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，
各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望．
26．（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天
（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望．（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？
（结论不要求证明）
27．（2012新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y（单位：
元）关于当天需求量n（单位：
枝，nN）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：
枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：
元），求X的分布列、数学期望及方差；
3
3，命中得1分，没有命中得0
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由．
28．（2012山东）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为
2
分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是2，每命中一次得2分，没命中得0分．该射手每次射击的结
3果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．
29．（2012福建）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x（年）
0x,1
1x,2
x2
0x,2
x2
轿车数量（辆）
2
3
45
5
45
每辆利润（万元）
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
（II）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为
X2，分别求X1,X2的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？
说明理由．
30．（2011北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法
确认，在图中以X表示．
甲组
99
11
乙组
X890
Y的分布列和数
Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树
学期望．
21222
（注：
方差s2x1xx2xKxnx，其中x为x1，x2，⋯⋯xn的平均数）
n
31．（2011江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种
不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，两种饮料没有鉴别能力．
1）求X的分布列；
公司要求此员工一若4杯选对3杯，假设此人对A和B
2）求此员工月工资的期望．
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