③并联电阻的分流
IkGk=IGeq
电流分配与电导成正比IoI2
两电阻的并联
RR2Req=1R+R21
I2=?
G1R2II1=I=GeqR+R21
R1o
I1
R2
G2RI1I=?
=?
（I?
I1）GeqR+R21
④功率各电阻消耗的功率等效电阻消耗的功率
Pk=UGk=Ik/Gk
22
Peq=∑Pk
2.1.3
电阻的串并联
由串联电阻和并联电阻组合成的二端电阻网络，由串联电阻和并联电阻组合成的二端电阻网络，这种连接方式又称电阻混联电路。
连接方式又称电阻混联电路。
1.无源二端网络等效电阻的计算无源二端网络等效电阻的计算等效（输入）等效（输入）电阻定义
无源
i
+u-
输入电阻
uRin=i
应用电阻的串、应用电阻的串、并联和?
—Y变换等方法求它的Y等效电阻；等效电阻；
若流经两电阻的电流为同若两电阻是首尾相连且中一电流，就是串联；一电流，就是串联；若承a.看电路的结构特点看电路的结构特点。
间又无分岔，则是串联；a.看电路的结构特点。
间又无分岔，则是串联；受的是同一个电压，受的是同一个电压若两阻是首与首、，就是若两阻是首与首、尾与尾b.看电压电流关系。
看电压、b.看电压、电流关系。
并联。
并联。
相连，则为并联。
相连，则为并联。
c.对电路作变形等效就是对电路作扭动变形处理。
对电路作变形等效。
c.对电路作变形等效。
就是对电路作扭动变形处理。
电阻串并联判别方法
Ru串联
Gi并联
.
ReqR1R2
.
R3
R2R3Req=+R1R2+R3
..
ReqR3
..
R2R1
（R1+R2）?
R3Req=R1+R2+R3
.
.
例:
求Rab解:
Rab=4+6=10?
12
c.
6
15
..a.b.
7
6
.c
6
.d
c
66
以上的关键在a.于识别各电阻的串联、的串联、并联关系！
关系！
.
6
...
d7
.
..b
1215
例:
求:
Rab,Rcd解:
ab
6?
c
5?
15?
15?
d
Rab=（5+5）//15+6=12?
Rcd=（15+5）//5=4?
5?
等效电阻是针对电路的某两端端口）而言，否则无意义。
（端口）而言，否则无意义。
例:
求:
RabciRai1Rd
对称电路c、d等电位等电位RRii2b断路短路aRR
cRbRd
Rab=R
电路中某一条支路电流为零，电路中某一条支路电流为零，则该支路可开路电路中某一条支路电压为零，电路中某一条支路电压为零，则该支路可短路
2.简单电阻电路的计算简单电阻电路的计算简单电路就是可以利用电阻串、简单电路就是可以利用电阻串、并联方法进行分析的电路。
电路。
求解串、求解串、并联电路的一般步骤：
（1）求出等效电阻或等效电导；）求出等效电阻或等效电导；应用欧姆定律求出端口电压或端口电流；
（2）应用欧姆定律求出端口电压或端口电流；应用欧姆定律或分压、（3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
计算各支路的电压和电流。
例:
计算各支路的电压和电流。
I1+
165V5?
I218?
4?
6?
I3I4
12?
6?
-
I5I1
5?
+
解:
I1=16511=15A
165V165
I2
18?
9?
I3
-
U2=6I1=6×15=90V
I1+
165V
5?
I218?
4?
6?
I3I4
12?
-
I5
I2=9018=5A
I3=15?
5=10A
I4=304=7.5A
U3=6I3=6×10=60V
U4=3I3=30V
I5=10?
7.5=2.5A
例:
求：
I1,I4,U4
I1+12V_2RI2R+U12R_I3R+U22R_I4
+
2RU4_
解:
①用分流方法做I4=?
1I3=?
1I2=?
1I1=?
112=?
32488R2R
U4=?
I4×2R=3VI1=12
R
②用分压方法做
U21U4==U1=3V24
3I4=?
2R
2.1.4无源三端网络电阻星形、三角形连接的等效变换无源三端网络（电阻星形三角形连接）的等效变换无源三端网络电阻星形、1.电阻的星形和三角形连接电阻的星形和公共节点上Y形连接：
将三个电阻的一端连接在一个公共节点上，形连接：
将三个电阻的一端连接在一个公共节点另一端分别接到三个不同的端钮上（外电路）三个不同的端钮上另一端分别接到三个不同的端钮上（外电路）。
三角形连接：
三角形连接：
将三个电阻分别接在三个端钮三个端钮的阻分别接在三个端钮的两个端钮之间之间，每两个端钮之间，两两连接的端钮与外电路相连。
π型电路（?
型）?
T型电路（Y、星型）、
当它们的电阻满足一定的关系时，当它们的电阻满足一定的关系时，能够互换等效
2.Y形电路和Δ2.Y形电路和Δ形电路之间的互换等效
1I1U12R1R33
R1=RR
2
1
I1R31R2323
R12
U12
R2
Y形网络
Δ形网络
R12
2
R12R12R12
R12R31+R23+RR23R12+R23+RR31R23+R23+R
31
R1R2+R2R3+R3R1=R3R1R2+R2R3+R3R1=R1R1R2+R2R3+R3R1=R2
==
R23
31
3
R31
31
互换公式归纳星形等效为三角形：
三角形某两端纽（一边）
（1）星形等效为三角形：
三角形某两端纽（一边）的电阻等于对应的星形端纽上两电阻之和，阻等于对应的星形端纽上两电阻之和，再加上此两阻之积除以第三（另一）端纽上的电阻。
之积除以第三（另一）端纽上的电阻。
三角形等效为星形：
（2）三角形等效为星形：
星形某端纽上的电阻等于对应的三角形端纽上相邻两电阻之积除以三角形电阻之和。
特例：
若三个电阻相等（对称）特例：
若三个电阻相等（对称），则有
R12R1R3R2R23R31
R?
=3RY
外大内小
例
桥T电路
1k?
1k?
1k?
E
1/3k?
1/3k?
1/3k?
R1k?
解
E1k?
R1k?
3k?
iE3k?
3k?
R
例
+
1?
计算90?
计算90?
电阻吸收的功率90
4?
9?
9?
9?
3?
3?
3?
1?
+20V-
解I
I1
90?
10?
20V1?
+20V-
90?
1?
4?
9?
10×90R=1+=10?
eq10+90
90?
1?
21
I=20/10=2A
10×2I1==0.2A10+90
9?
2
P=90I=90×（0.2）=3.6W
你对等效知识掌握得如何？
你对等效知识掌握得如何？
等效条件：
对外部等效，对内部不等效；?
电阻之间等效变换时一定要注意找对结点，这是等效的关键；
2.2电源模型的等效变换和电源支路的串并联2.2.1两种电源模型的等效变换两种电源模型的等效变换1.实际电源的两种电路模型1.实际电源的两种电路模型1）实际电压源模型1）实际电压源模型
伏安特性
+US_RS
a+
I
U=US–RSI
URL_b
端口电流I=0端口电流I=0时称为电压源端口开路I=0时称为电压源端口开路
UOC=U
S端口电压U=0端口电压U=0时称为电压源端口短路U=0时称为电压源端口短路
USUOC=ISC=RSRS
2）实际电流源模型2）实际电流源模型
伏安特性
UR0
aI+U–bRL
UI=IS?
RS
IS
GS
端口电压U=0时称为电流端口电压U=0时称为电流源端口短路U=0时称为电
ISC=IS
端口电流I=0时称为电流端口电流I=0时称为电流源端口开路I=0时称为电
UOC=RSIS=RSISC
一个实际电源的内阻的
UOCRS=ISC
3）实际电源的3）实际电源的伏安特性实际电源的伏安特性实际电压源U随I的增大而减小
开路时短路时
实际电流源I随U的增大而减小
开路时
短路时
2.两种电源模型的等效变换2.两种电源模型的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
IISGS+u_实际电流源
I+US_RSi+U_实际电压源
端口特性I=I–GUSS
IS=US/RSGS=1/RS
U=US–RSII=US/RS–U/RS
比较可比较可得等效条件
a+Us_RS+
I
URL_b
内阻不变改并联ISUsIs=RS内阻不变改串联Us=IsRS
US
RS
a+IRLb
RSU–
两种电源模型之间等效变换时，两种电源模型之间等效变换时，内阻不变。
方向：
电流源电流方向与电压源电压方向相反。
方向：
电流源电流方向与电压源电压方向相反。
等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
理想电压源与理想电流源不能相互转换。
理想电压源与理想电流源不能相互转换。
利用电源之间的等奖互换可以简化电路分析
例：
7?
3?
7?
4?
+I=？
？
15V__8VI=0.5A+I7?
5A
2A
例：
5?
?
10V10V6A
+5?
U?
_
2A
6A
5?
+5?
U_
8A
+2.5?
U_
即：
U=8×2.5=20V
2.2.2电压源支路的串、2.2.2电压源支路的串、并联电压源支路的串1.理想电压源的串联与并联：
1.理想电压源的串联与并联：
+US1_
－
o+US_oII+5V_
串联
US=∑USk∑
注意参考方向注意
US=US1－US2
US2+
并联
+5V_
电压相同的电压源才能并联，且每个电源的电流不确定。
与理想电压源并联的支路对外可以开路等效；开路等效与理想电压源并联的支路对外可以开路等效；
+5V_
2.实际电压源支路的串、2.实际电压源支路的串、并联实际电压源支路的串
串联
US=∑USk∑Rs=∑RSk∑
注意参考方向注意
并联
Us
∑GU=∑G
sksk
sk
注意参考方向注意
1Rs=∑Gsk
2.2.3电流源支路的串、2.2.3电流源支路的串、并联电流源支路的串1.理想电流源的串联与并联理想电流源的串联与并联：
1.理想电流源的串联与并联：
IS1IS2IS3IS
并联
IS=∑ISk∑
注意参考方向注意参考方向
IS=IS1+IS2－IS3
串联电流相同的理想电流源才能串联，且每个恒流电流相同的理想电流源才能串联，
源的端电压均由它本身及外电路共同决定。
源的端电压均由它本身及外电路共同决定。
与理想电流源串联的支路对外可以短路等效。
与理想电流源串联的支路对外可以短路等效。
短路等效
2.实际电流源支路的串、2.实际电流源支路的串、并联实际电流源支路的串
并联
IS=∑ISk∑Gs=∑GSk∑
注意参考方向注意参考方向
串联
Is=
∑RskIsk∑R
sk
1Gs=∑Rsk
想想
USISISUSUS2US1IS1IS2
练练
在电路等效的过程中，与理想电流源相串联的电压源不起作用；与理想电压源并联的电流源不起作用。
is=is2-is1
？
US？
IS
？
IS
例2把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连
1.10V+_6A+10V_10?
+70V_
10?
2.+6V_10?
2A6A
10?
+66V_
1.10V
+_6A
+10V_
1A10?
6A
10?
+10?
_
7A
70V
10?
2.
+6V_10?
2A6A
+6V_6A10?
+6V_10?
+60V_
10?
+66V_
求电路中的电流I例3求电路中的电流2A10?
+40V_6?
I4?
+2A30V_6?
30?
60I==?
1.5A20
6?
I2A10?
+40V_I4?
+30V_10?
+60V_4?
+30V_
10?
2.3支路分析法
2.3.1分析线性电路的一般方法1.分析线性电路的一般方法分析线性电路的一般方法是指不改变电路结构以电路的两类约束是指不改变电路结构，以电路的两类约束（元件特性的不改变电路结构，两类约束（约束关系VCR和元件联接方式约束和元件联接方式约束KCL、KVL）为依据为依据，约束关系VCR和元件联接方式约束KCL、KVL）为依据，建立电路变量方程组，求解方程。
电路变量方程组建立电路变量方程组，求解方程。
普遍性：
对任何线性电路都适用。
（1）普遍性：
对任何线性电路都适用。
（2）系统性：
计算方法有规律可循。
（2）系统性：
计算方法有规律可循。
系统性复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电、复杂电路的一般分析法就是根据及元件电压和电流关系列方程、解方程。
根据列方程时所选变压和电流关系列方程、解方程。
量的不同可分为支路电流法、量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
2.KCL、KVL的独立方程数KCL、KVL的独立方程数n=2b=3m=2
l=3I1+I2－I3=0①
－I1－I2+I3=0
节点①列写KCL方程式：
节点①列写KCL方程式：
KCL方程式列写KCLKCL方程式节点②列写KCL方程式：
①
I1
R1
＋
②
①+②=0
I3I2
R2Ⅱ
＋
结论n个节点的电路独立个节点的电路,个节点的电路方程数为n-1个。
的KCL方程数为方程数为个
3
Ⅰ
R3
US1
－－
US2
②
n=2
b=3
m=2
l=3
（1）
（2）（3）
回路1列写KVL方程：
回路1列写KVL方程：
KVL方程R1I1+R3I3=US1回路2列写KVL方程：
R2I2+R3I3=US2回路2列写KVL方程：
KVL方程回路3列写KVL方程：
KVL方程回路3列写KVL方程：
R1I1-R2I2=US1-US2
（2）+（3）=
（1）结论
①
I1
R1
＋
KVL的独立方程数=b－（n－KVL的独立方程数=b－（n－1）的独立方程数=b
I3I2
2R2
＋－
3
1
R3
平面电路网孔数=独立回路数平面电路网孔数独立回路数
US1
－
US2
②
下图电路有几个节点？
几个网孔？
几个回路？
下图电路有几个节点？
几个网孔？
几个回路？
几条支路？
支路？
条支路。
4个节点、3个网孔、7个回路、6条支路。
个节点、个网孔个节点个网孔、个回路、条支路个回路需列KCL方程：
4-1=3个方程：
需列方程个需列KVL方程：
6-4+1=3个方程：
需列方程个所谓独立节点或独立回路，所谓独立节点或独立回路，是指其中至少有一条新的支n个节点、b条支路的电路个节点、路，选取独立节点的原则是，独立的KCL、KVL方程找出全部节点后，找出全部节点后，去掉其中组数为n-1+b-n+1=b的一个即可；的一个即可；选取独立回路的原则一般是以网孔为独立回路，回路，实际中也可以计算方便为原则进行选取。
便为原则进行选取。
＋
③
R1
＋－
US3
－
②
R6
R3R5
R4
④
R2
＋
US1
US2
－
①
2.3.2支路分析法以支路电流或支路电压为作为变量列写的电路方程称支路电流或支路电压为作为变量列写的电路方程称为支路方程。
为支路方程。
由支路方程求解电路的方法称为支路分析法。
支路电流法1.定义以支路电流为变量，根据基尔霍夫两定律列出必要的支路电流为变量，根据基尔霍夫两定律列出必要的为变量基尔霍夫两定律电路方程，进而求解各支路电流的方法，支路电流法。
电路方程，进而求解各支路电流的方法，称支路电流法。
2.特点
列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观；列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观；KCL方程但支路数很多时，方程数较多。
但支路数很多时，方程数较多。
宜于在支路数不多的情况下使用。
情况下使用。
3.应用步骤在电路图上标示出各支路电流及参考方向；
（1）在电路图上标示出各支路电流及参考方向；
（2）选定
（1）个节点应用KCL列写n个节点，KCL列写
（2）选定（n–1）个节点，应用KCL列写n-1个独立节选定点方程式；点方程式；（3）选定b–（n–1）个独立回路并编号，选定回路的绕（3）选定b（n–1）个独立回路并编号，选定个独立回路并编号行方向，应用KVL列写b（n–1）个独立回路方程KVL列写个独立回路方程；行方向，应用KVL列写
升级会员 