北师大版七年级下册 第5讲 相交线基础班.docx

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北师大版七年级下册第5讲相交线基础班

第5讲相交线

知识点1直线交点个数

1.两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2.n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=

个交点，最少有1个交点．

【典例】

1.观察下列平面图形：

第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.

【答案】435

【解析】解：

∵第一个图，2条直线相交，最多有1个交点，

第二个图，3条直线相交最多有3个交点，

第三个图，4条直线相交，最多有6个交点，

而3=1+2，6=1+2+3，

∴第四个图5条直线相交，最多有1+2+3+4=10（个）交点

∴30条直线相交，最多交点的个数是1+2+3+…+29=（1+29）×29÷2=435．

故答案为435.

【方法总结】

根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：

1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=

，所以n条相交线交点最多的个数为

，令n=30即可求出答案.

一般地：

n条直线两两相交，最多有

个交点，最少有1个交点．

【随堂练习】

1．

（1）1条直线，最多可将平面分成1+1＝2个部分；

（2）2条直线，最多可将平面分成1+1+2＝4个部分；

（3）3条直线，最多可将平面分成　　个部分；

（4）4条直线，最多可将平面分成　　个部分；

（5）n条直线，最多可将平面分成　　个部分．

【解答】解：

1条直线，将平面分为两个区域；

2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域；

3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域；

4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域；

…

n条直线，与之前n﹣1条直线均相交，增加n﹣1个交点，增加n个平面区域；

所以n条直线分平面的总数为1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1

，

（1）3条直线，最多可将平面分成1+1+2+3＝7个部分，

（2）4条直线，最多可将平面分成1+1+2+3+4＝11个部分，

（3）n条直线，最多可将平面分成1+1+2+3+4+…+n

1

个部分．

故应填7，11，

．

2．观察下列图形，阅读下面的相关文字并回答以下问题：

两条直线相交三条直线相交四条直线相交

只有一个交点最多的3个交点最多有6个交；

猜想：

①5条直线相交最多有几个交点？

②6条直线相交最多有几个交点？

③n条直线相交最多有n个交点？

【解答】解：

①5条直线相交最多有

10个交点；

②6条直线相交最多有

15个交点；

③n条直线相交最多有

个交点．

知识点2邻补角与对顶角

邻补角

1.邻补角：

两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2.邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3.邻补角的性质：

两个角的和为180°.

对顶角

1.对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：

①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2.对顶角的性质：

对顶角相等.

【典例】

1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：

__________，∠EOB的邻补角：

______________;

（2）若∠AOC=70°且∠BOE：

∠EOD=2：

3，求∠AOE的度数．

【解析】解：

（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，

故答案为：

∠BOD，∠AOE；

（2）∵∠AOC=70°，

∴∠BOD=∠AOC=70°.

∵∠BOE：

∠EOD=2：

3，

∴∠BOE=

×∠BOD=

×70°=28°，

∴∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣28°=152°．

∴∠AOE的度数为152°．

【方法总结】

（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；

（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：

∠EOD=2：

3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

【随堂练习】

1．如图，直线AB与CD相交于点O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．

（1）写出∠DOE的补角；

（2）若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数．

（3）射线OD与OF之间的夹角是多少？

【解答】解：

（1）∠DOE的补角为∠COE，∠AOD，∠BOC；

（2）因为OD是∠BOE的平分线，∠BOD

∠BOE＝31°，

所以∠AOD＝180°﹣∠BOD＝149°，

因为∠AOE＝180°﹣∠BOE＝118°、OF是∠AOE的平分线，

所以∠EOF

∠AOE＝59°，

即∠AOD＝149°，∠EOF＝59°；

（3）因为OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，

所以∠DOF＝∠DOE+∠EOF

∠BOE

∠EOA

（∠BOE+∠EOA）

180°

＝90°．

2．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD＝20°，求∠BOE的度数．

【解答】解：

∵∠BOC﹣∠BOD＝20°，∠BOC+∠BOD＝180°，

∴∠BOC＝100°，∠BOD＝80°，

∴∠AOC＝∠BOD＝80°，

∵OE平分∠AOC，

∴∠COE

∠AOC＝40°，

∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝100°+40°＝140°．

3．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝∠DOF＝90°．

（1）写出图中与∠COE互补的所有的角（不用说明理由）．

（2）问：

∠COE与∠AOF相等吗？

请说明理由；

（3）如果∠AOC

∠EOF，求∠AOC的度数．

【解答】解：

（1）∵直线AB与CD相交于点O，

∴∠COE+∠DOE＝180°，

又∵∠BOE＝∠DOF＝90°，

∴∠DOE＝∠BOF，

∴与∠COE互补的所有的角为∠DOE，∠BOF；

（2）∠COE与∠AOF相等，

理由：

∵∠BOE＝∠DOF＝90°，

∴∠AOE＝∠COF，

∴∠AOE﹣∠AOC＝∠COF﹣∠AOC，

∴∠COE＝∠AOF；

（3）设∠AOC＝x，则∠EOF＝5x，

∵∠COE＝∠AOF，

∴∠COE＝∠AOF

（5x﹣x）＝2x，

∵∠AOE＝90°，

∴x+2x＝90°，

∴x＝30°，

∴∠AOC＝30°．

知识点3垂线

垂线

1.两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2.垂直的模型：

说法：

①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：

两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1.过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2.垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：

垂线段最短.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：

距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【解析】解：

其理由是：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

故答案为：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.

（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；

②与∠COE互补的角是___________．

（把符合条件的角都写出来）

（2）如果∠AOC比∠EOF的

小6°，求∠BOD的度数．

【解析】解：

（1）①图中与∠AOF互余的角是∠BOD，∠AOC；

②与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF，

故答案为：

①∠BOD，∠AOC；②∠EOD，∠BOF；

（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴∠EOC+∠AOC=90°，∠AOF+∠AOC=90°，

∴∠EOC=∠AOF.

设∠AOC=x°，则∠EOC=∠AOF=（90﹣x）°，

∠EOF=∠AOF+∠AOE=（90﹣x）°+90°=

.

∵，列方程∠AOC比∠EOF的

小6°，

∴可列方程为x=

，

解得x=25.

∴∠BOD=∠AOC=25°.

【方法总结】

结论：

在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N在同一条直线上.

方法：

求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.

3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）

（1）AD＞CD；

（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.

【答案】（3）（4）

【解析】解：

∵BD⊥CD，

∴BC＞BD（垂线段最短），

AC＞AD（垂线段最短）.

所以（3）（4）正确.

（1）

（2）不一定成立.

故答案为：

（3）（4）．

4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．

【答案】2.4

【解析】解：

如图，作CD⊥AB于点D，CD的长即为点C到直线AB的距离.

设点C到线段AB的距离是x，

∵BC⊥AC，

∴S△ABC=

AB·x=

AC·BC，

即

×5·x=

×3×4，

解得x=2.4，

即点C到线段AB的距离是2.4．

故答案为：

2.4．

【方法总结】

注意：

垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.

结论：

已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为

，即直角顶点到斜边的距离.

【随堂练习】

1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：

从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；

第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；

第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；

第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误．

故选：

D．

2．如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，OC平分∠AOF，∠EOF＝56°，

（1）求∠BOD的度数；

（2）写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是　　．

【解答】解：

（1）∵OE⊥CD，

∴∠COE＝90°，

∵∠EOF＝56°，

∴∠COF＝90°﹣56°＝34°，

∵OC平分∠AOF，

∴∠AOC＝∠COF＝34°，

∴∠BOD＝∠AOC＝34°；

（2）写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是：

∠COF，∠AOC，∠BOD．

故答案为：

∠COF，∠AOC，∠BOD．

3．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOC＝28°，OF平分∠DOE，求∠EOF．

【解答】解：

∵∠AOC＝28°，

∴∠BOD＝28°，

又∵OE⊥AB，

∴∠EOD＝62°

∵OF平分∠DOE，

∴∠EOF

∠EOD＝31°．

知识点4同位角、内错角、同旁内角

模型：

1.同位角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2.内错角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3.同旁内角：

两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4.三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

【典例】

1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.

【答案】3

【解析】解：

如图，由同旁内角构成“U”形，可在图中找出与∠α构成同旁内角的角有：

∠1、∠2、∠3，

共3个，

故答案为3.

2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？

请把它们全部写出来．

【解析】解：

由同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形，可在图中找出

同位角：

∠3与∠7，∠2与∠8，∠4与∠6．

内错角：

∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8；

同旁内角：

∠3与∠6，∠2与∠5，∠2与∠4，∠4与∠5；

【方法总结】

判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：

①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.

【随堂练习】

1．如图，∠2的同旁内角是____．

【解答】解：

∠2的同旁内角是∠4，

故答案为：

∠4．

2．如图所示，直线AB，CD被DE所截，则∠1和∠__是同位角，∠1和∠__是内错角，∠1和∠__是同旁内角．

【解答】解：

如图所示，直线AB，CD被DE所截，则∠1和∠3是同位角，∠1和∠5是内错角，∠1和∠2是同旁内角，

故答案为：

3，5，2

3．如图，按角的位置关系填空：

∠3与∠2是_____；∠B与∠3是______．

（填“同位角、内错角、同旁内角”）

【解答】解：

∠3与∠2是内错角；∠B与∠3是同旁内角．

故答案为：

内错角，同旁内角．

综合运用

1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）

【答案】10

【解析】解：

2条直线相交有1个交点；

3条直线相交有1+2=3（个）交点；

4条直线相交有1+2+3=6（个）交点；

5条直线相交有1+2+3+4=10（个）交点；

6条直线相交有1+2+3+4+5=15（个）交点；

…

n条直线相交有1+2+3+5+…+（n﹣1）=

个交点．

故答案为：

10；

．

2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．

（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；

（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；

（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．

【答案】

（1）2∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠AOC和∠BOD，∠DOE和∠AOF；

（3）38°78°

【解析】解：

（1）对应角有2对，它们是∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠COB的邻补角是∠AOC和∠BOD，∠COE的补角是∠DOE和∠AOF；

（3）∵∠AOC=70°，

∴∠BOD=70°．

∴∠BOE=∠BOD-∠EOD=70°﹣32°=38°．

∵∠AOD=∠180°﹣∠AOC=∠180°﹣70°=110°，∠AOF=∠DOE=32°．

∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=110°-32°=78°．

故答案为：

（1）2；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD；

（2）∠AOC和∠BOD；∠DOE和∠AOF；

（3）38°；78°．

3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？

画图表示，并说明设计的理由．

【解析】解：

利用垂线段最短，过点C作AB的垂线，垂足即开渠处，

如图所示．

从河岸AB的D点处开渠，可使所开的渠道最短．理由是垂线段最短．

4.作图并写出结论：

如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．

【解析】解：

如图所示：

线段PN的长表示点P到直线BO的距离；

线段PM的长表示点M到直线AO的距离；

线段ON的长表示点O到直线PN的距离；

点P到直线OA的距离为0，

故答案为：

PN，PM，PN，0．

5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．

（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．

（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．

【解析】解：

（1）∵AC=900米，BC=1200米，AB=1500米，

∴AC⊥BC，

∴小雨家到街道BC的距离为：

900m，小樱家到街道AC的距离为：

1200m；

（2）如图所示：

CD即为小丽家到街道AB距离．

6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？

请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？

∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

【解析】解：

（1）如图所示：

同位角共有5对：

分别是∠1和∠5，∠2和∠3，∠3和∠7，∠4和∠6，∠4和∠9；

（2）∠4和∠5是同旁内角，∠6和∠8也是同旁内角，故∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同．

7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？

它们各是什么角？

【解析】解：

∠1和∠4是BE截取AB、DC，它们是同位角，

∠2和∠5，是AC截取AB、DC，它们是内错角，

∠3和∠5，是AC截取AB、BC，它们是同旁内角，

∠3和∠4，是BC截取AB、AC，它们是同旁内角．

8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．

（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．

（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．

（3）图中共有几对同旁内角？

【解析】解：

（1）∠9与∠4是同位角，

故答案为：

同位角；

（2））∠9与∠5是直线a、c被直线b所截形成的内错角，

故答案为：

a、c；b；内错角；

（3）图中∠9和∠1，∠9和∠6，∠1和∠6，∠12和∠2，∠10和∠5，∠4和∠7是同旁内角，共6对.

9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．

【解析】解：

∵CO⊥OE，

∴∠COE=90°.

∵∠COF=34°，

∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°﹣34°=56°.

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF=∠EOF=56°.

∵∠COF=34°，

∴∠AOC=∠AOF-∠COF=56°﹣34°=22°.

则∠BOD=∠AOC=22°．