简单的轴对称图形.docx

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简单的轴对称图形

5.3　简单的轴对称图形

第1课时　等腰三角形的性质

【教材分析】

本节课的内容是在学生学习了三角形的有关知识、掌握了全等三角形的判定及性质的基础上进行的。

它不仅是对前面所学知识的综合运用，也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据。

而通过探究等腰三角形“三线合一”的性质，可以激发学生浓厚的学习数学的兴趣，使学生体会性质定理的来龙去；了解、感知知识发生、发展的全过程；拓展学生探索图形变化的视野。

掌握等腰三角形及其性质在生活中的应用，更有益于学生了解数学的价值，体会数学来源于实践，又反作用于实践的认识问题的一般规律。

【学情分析】

七年级的学生逻辑思维，逻辑推理能力还不理想，成为学习数学的一大障碍，因此通过直观演示，得到感性认识，学生在学习中通过实践,观察,交流,发现，开拓自己的创造性思维，并且让学生通过自己动手操作、动脑思考，培养学生的观察、猜想、概括、论证的能力。

让他们在感受知识的过程中,提高他们“观察---猜想---验证---结论”的能力。

【教学目标】

1.知识与技能

理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题；能够类比等腰三角形推论等边三角形的性质。

2.过程与方法

在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力，培养学生从一般到特殊的探究方法。

3.情感、态度与价值观

培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯。

【教学重点】

探索等腰三角形的性质

【教学难点】

三线合一性质的理论互证。

【教学准备】

预习单、检测单、微视频

等腰三角形纸片

【预习单】

出示目标

1.理解等腰三角形的有关概念.

2.探索并掌握等腰三角形的性质.

3.了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质.

预习导学

自学指导　阅读教材P121，完成下列问题.

（一）知识探究

1.等腰三角形是图形.

2.等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的.

3.等腰三角形的两个底角.

4.等边三角形有条对称轴，等边三角形每条边都.

（二）自学反馈

1.下列说法中，正确的有（）

①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形.

A.1个　　B.2个　　　C.3个　　D.4个

2.△ABC中，AB＝AC.

（1）若∠B＝45°，则∠A＝°，∠C＝°；

（2）若∠C＝60°，则∠A＝，∠B＝.

合作探究

活动1　小组讨论

例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数.

自学疑惑：

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【教学过程】

1、温故知新

课前根据预习单进行预习，并发现问题。

师：

上节课我们对于轴对称图形有了初步了解，让我们先来复习一下。

观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,如果是，请找出对称轴。

2、预习汇报

师：

在我们的生活中存在很多三角形，而有一种具有轴对称性质的特殊三角形应用十分广泛。

那就是——等腰三角形。

请同学们根据预习内容，介绍等腰三角形的概念和组成。

生：

有两条边相等的三角形叫等腰三角形。

等腰三角形由底边、腰、底角、顶角构成。

师：

什么样的边称作腰？

什么样的边称作底边？

生：

相等的两个边叫做腰。

不相等的那个边称作底边。

师：

那底角和顶角呢？

生：

腰和底角形成的两个夹角叫做底角。

两条腰形成的夹角称作顶角。

3、交流质疑

师：

研究几何图形我们需要从它的对称性、边、角进行思考。

1.拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？

2.由现象总结等腰三角形的性质（对称性、对称轴、角）

小组合作动手尝试，观察现象。

学生汇报现象：

（1）等腰三角形是轴对称图形。

（2）∠B=∠C

（3）∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线

（4）∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高

（5）BD=CD，AD为底边上的中线。

师：

（2）中的∠B与∠C是什么角？

生：

底角。

师：

所以我们可以总结出什么、

生：

等腰三角形底边相等。

师：

（3）（4）（5）中描述的是哪条线？

生：

AD

师：

所以AD像是一个身兼数职的小能手，它是顶角平分线、底边上的高和底边上的中线。

所以我们可以概括出什么？

生：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）。

4、提出问题

师：

在同学们预习的时候，整理了以下问题，我们一起讨论一下。

1、如何证明三线合一？

2、如何证明等腰三角形的两个底角相等？

师：

我们之前的结论都是由动手实践得到的，现在需要用数学语言演绎推理出来。

小组进行讨论并展示。

问题1.如何证明三线合一？

（1）已知ADAD是等腰ΔABC底边上的中线

∵AD是ΔABC底边上的中线,

∴BD=CD。

在ΔABD和ΔACD中,

∵AB=AC

BD=CD

AD=AD

∴ΔABD≌ΔACD（SSS）

∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90˚

∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

（2）已知：

AD是ΔABC的角平分线

∵AD是ΔABC的角平分线,

∴∠BAD=∠CAD。

在ΔABD和ΔACD中,

∵AB=AC

∠BAD=∠CAD

AD=AD

∴ΔABD≌ΔACD（SAS）

∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90˚

∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

（3）已知：

AD是ΔABC的高

∵AD是ΔABC的高,

∴∠BDA=∠CDA=90°。

在RtΔABD和RtΔACD中,

∵AB=AC

AD=AD

∴ΔABD≌ΔACD（HL）

∴BD=CD,∠DAB=∠DAC

∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。

师：

所以等腰三角形三线合一是成立的。

问题2.如何证明等腰三角形的两个底角相等？

已知：

△ABC中，AB=AC.

求证：

∠B=∠C.

证明：

作底边中线AD.

在△BAD和△CAD中

AB=AC（已知）

BD=CD

AD=AD（公共边）

∴△BAD≌△CAD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

师：

由前一问的证明我们得到全等，从而证明两底角相等。

我们研究了等腰三角形的性质是什么，也探索了等腰三角形的性质为什么成立，下面我们要一起来试试等腰三角形的性质怎么应用。

一起做两个小题试一试。

小试牛刀：

1.已知等腰三角形的一个角为50°，则另外两个角的度数为多少？

2.已知等腰三角形的两边长分别为2和7，三角形的周长为多少？

生做题抢答讲解。

师点拨：

当没有给图片的时候，我们需要自己画图尝试。

当没有给出对应的条件时，我们需要考虑多重情况。

五、教师小结

接下来给大家一分钟整理一下等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形。

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3.等腰三角形的两个底角相等。

六、拓展延伸

师：

等腰三角形是特殊的三角形，而几何图形中还有一种更特殊的等腰三角形。

它就是等边三角形。

类比等腰三角形尝试探究等边三角形的性质（轴对称、三线合一、相等角）

生猜测：

1.等边三角形是轴对称图形。

2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。

等边三角形共有三条对称轴。

3.等边三角形的各角都相等，都等于60°

师：

数学的探究是“观察---猜想---验证---结论”的过程，具体的验证请大家课下进行探究。

7、当堂检测

【检测单】

1.等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（　　）

A、6B、8C、10D、6或8

2.等腰三角形中一个角是40°，则另外两个角的度数分别是（　　）

A、70°，70°B、40°，100°

C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°

3.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形一定是（　　）

A、直角三角形B、等边三角形

C、等腰三角形D、等腰直角三角形

4.如图，在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=100°那么底角∠B=_______∠C=_______.

5.在等腰三角形中，已知两条边分别为4和5，则这个三角形的周长为

6.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.