北京海淀区初三上期中数学.docx

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北京海淀区初三上期中数学

2016北京海淀区初三（上）期中

数学

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）

A．3，﹣1，﹣2B．3，1，﹣2C．3，﹣1，2D．3，1，2

2．（3分）里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（3分）用配方法解方程x2+6x+2=0，配方正确的是（　　）

A．（x+3）2=9B．（x﹣3）2=9C．（x+3）2=6D．（x+3）2=7

4．（3分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A．40°B．50°C．70°D．80°

5．（3分）将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为（　　）

A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位

6．（3分）在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（　　）

A．点A在圆外B．点A在圆内C．点A在圆上D．无法确定

7．（3分）若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为（　　）

A．πB．2πC．3πD．4π

8．（3分）已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a=0的根，则a的值为（　　）

A．﹣4B．4C．2D．

9．（3分）给出一种运算：

对于函数y=xn，规定y′=nxn﹣1．例如：

若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（　　）

A．x1=4，x2=﹣4B．x1=2，x2=﹣2C．x1=x2=0D．x1=2

，x2=﹣2

10．（3分）太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：

米）与时刻t（单位：

时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（　　）

A．12.75

B．13

C．13.33

D．13.5

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．（3分）方程x2﹣x=0的解是　　．

12．（3分）请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式　　．

13．（3分）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图　　（填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是　　．

14．（3分）若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值是　　．

15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，半径OB的长为3，则AB的长为　　．

16．（3分）CPI指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是　　月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是　　，你的预估理由是　　．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．（5分）解方程：

x2+4x=6．

18．（5分）求抛物线y=x2﹣2x的对称轴和顶点坐标，并画出图象．

19．（5分）如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC的度数．

20．（5分）已知：

m2+2m﹣3=0．求证：

关于x的方程x2﹣2mx﹣2m=0有两个不相等的实数根．

21．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：

AE∥BC．

22．（5分）如图1，在线段AB上找一点C，C把AB分为AC和CB两段，其中BC是较小的一段，如果BC•AB=AC2，那么称线段AB被点C黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割．已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门到太和殿之间的距离（

的近似值取2.2）．

23．（5分）如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．

24．（5分）表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：

x

…

﹣1

﹣

0

1

2

3

…

y

…

m

﹣1

﹣2

﹣1

2

…

（1）二次函数图象的开口向　　，顶点坐标是　　，m的值为　　；

（2）当x＞0时，y的取值范围是　　；

（3）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是　　．

25．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE．

（1）求证：

∠ABC=2∠CAF；

（2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM=4，BE=6，求AE的长．

26．（5分）小华在研究函数y1=x与y2=2x图象关系时发现：

如图所示，当x=1时，y1=1，y2=2；当x=2时，y1=2，y2=4；…；当x=a时，y1=a，y2=2a．他得出如果将函数y1=x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2=2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：

（1）如果函数y=3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为　　；

（2）①将函数y=x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的　　倍，得到函数y=4x2的图象；

②将函数y=x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为　　．

27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n﹣1的对称轴为x=2．

（1）m的值为　　；

（2）若抛物线与y轴正半轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，当△OAB是等腰直角三角形时，求n的值；

（3）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个交点，求n的取值范围．

28．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．

（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为　　．

（2）如图2，当α=60°，β=120°时，

①依题意补全图形；

②请帮小宇继续探究

（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，

请举出反例说明；

（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足

（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：

29．（8分）点P到∠AOB的距离定义如下：

点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）=0．在平面直角坐标系xOy中，A（4，0）．

（1）如图1，若M（0，2），N（﹣1，0），则d（M，∠AOB）=　　，d（N，∠AOB）=　　；

（2）在正方形OABC中，点B（4，4）．

①如图2，若点P在直线y=3x+4上，且d（P，∠AOB）=2

，求点P的坐标；

②如图3，若点P在抛物线y=x2﹣4上，满足d（P，∠AOB）=2

的点P有　　个，请你画出示意图，并标出点P．

数学试题答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．

1．【解答】方程3x2﹣x﹣2=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣1，﹣2，故选A

2．【解答】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：

C．

3．【解答】x2+6x=﹣2，

x2+6x+9=﹣2+9，

（x+3）2=7，

故选：

D．

4．【解答】∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，

∴AOA′=80°，OA=OA′，

∴∠OAA'=

（180°﹣80°）=50°．

故选：

B．

5．【解答】抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2x2+1的步骤是：

向上平移1个单位．故选：

C．

6．【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，

∴AB＞BC，

∴点A在圆外．

故选A．

7．【解答】弧长l=

=2π．故选B．

8．【解答】∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a=0的一个根，

∴把x=2代入得：

22+2a﹣3a=0，解得：

a=4．

故选：

B．

9．【解答】由函数y=x3得n=3，则y′=3x2，

∴3x2=12，

x2=4，

x=±2，

x1=2，x2=﹣2，

故选B．

10．【解答】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：

，

解得：

，

∴l=0.15t2﹣4t+27，

∵0.15＞0，

∴l有最小值，

当t=﹣

=

≈13.33时，该地影子最短；

故选C．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．【解答】原方程变形为：

x（x﹣1）=0，

∴x=0或x=1．

12．【解答】依题意取a=1，顶点坐标（3，0），由顶点式得y=（x﹣3）2．

即故答案为y=（x﹣3）2（答案不唯一）．

13．【解答】乙．

理由：

90°的圆周角所对的弦是直径；故答案为乙，90°圆周角所对的弦是直径．

14．【解答】∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）=0，

解得m=﹣1．

15．【解答】根据题意可知，∠AOB=2∠ACB=90°，

又知OA=OB=3，

即AB=

，

故答案为3

．

16．【解答】由函数图象可知，2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率8月份相差2.6%﹣1%=1.6%，

∴同月份比较CPI涨跌率下降最多的月份是8月；

根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，

预估理由是2015年1～8月份与2016年1～8月份，同月份CPI涨跌率基本保持一致，而2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，

∴预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增，

故答案为：

8，先减后增，2015年9～12月份CPI涨跌率先减后增，所以预估北京市2016年第四季度CPI涨跌率变化趋势是先减后增．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．【解答】x2+4x+4=10，

（x+2）2=10，

x+2=±

，

x=﹣2±

，

即x1=﹣2+

，x2=﹣2﹣

．

18．（【解答】y=（x﹣1）2﹣1，

∴对称轴为x=1，顶点为（1，﹣1）．

其函数图象如图所示．

19．【解答】解法一：

解：

∵∠D=35°，

∴∠B=∠D=35°，

∵BC是直径，

∴∠BAC=90°．

∴∠ACB=90°﹣∠ABC=55°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=55°．

解法二：

解：

∵∠D=35°，

∴∠AOC=2∠D=70°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OCA+∠AOC=180°，

∴∠OAC=55°．

20．【解答】∵m2+2m﹣3=0，

∴m2+2m=3，

∴△=4m2+8m=4（m2+2m）=12＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

21．【解答】∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠B=∠ACB=60°．

∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，

∴CD=CE，∠DCE=60°，

∴∠DCE=∠ACB，

即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD与△ACE中，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠EAC=∠B=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

22．【解答】设太和门到太和殿的距离为x丈，

由题意可得，x2=100（100﹣x）

解得，

，

（舍去）

则x≈﹣50+50×2.2=60，

答：

太和门到太和殿的距离为60丈．

23．【解答】过点O作OC⊥AB于C点．

∵OC⊥AB，AB=18，

∴

，

∵OA=OB，∠AOB=360°﹣240°=120°，

∴

°．

在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，

又∵

，

∴

．

∴

πr2=72π（m2）．

24．（【解答】

（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得

，解得

，

∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，

∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），

令x=﹣1，代入可得m=2，

故答案为：

上；（1，﹣2）；2；

（2）∵y=（x﹣1）2﹣2，

∴当x=1时，y有最小值﹣2，

∴当x＞0时，y≥﹣2，

故答案为：

y≥﹣2；

（3）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，

∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，

∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，

故答案为：

n＞﹣3．

25．【解答】

（1）证明：

连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵AF是⊙O的切线，

∴∠BAF=90°．

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．

∴∠1=∠2．

∵AB=BC，

∴∠ABC=2∠1=2∠2；

（2）解：

∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，

∴∠2=∠4．

∵AB是直径，

∴CE⊥AE，

∵CM⊥AF，CM=4，

∴CE=CM=4，

∵BE=6，

∴AB=BC=BE+EC=10．

在Rt△ABE中，

．

26．【解答】

（1）设变换后直线解析式为y1=kx，

∵当x=1时，y=3x=3，

∴y1=3×3=9，即k=9，

∴得到的函数图象的表达式为y=9x，

故答案为：

y=9x；

（2）①当x=1时，y=x2=1，y=4x2=4，

∴纵坐标变为原来的4倍，得到函数y=4x2的图象，

故答案为：

4；

②设所得函数图象的解析式为y2=ax2，

由题意知当x=1时，y=x2=1，

则x=2时，y2=1，即1=4a，解得：

a=

，

即得到图象的函数表达式为y=

x2，

故答案为：

y=

x2．

27．【解答】

（1）对称轴：

x=﹣

=2，

m=﹣4；

（2）把m=﹣4代入抛物线y=x2+mx+n﹣1得：

y=x2﹣4x+n﹣1，

当x=0时，y=n﹣1，

∴A（0，n﹣1），B（2，0），

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴OA=OB，

即：

n﹣1=2，n=3；

（3）①如图1，当抛物线顶点在x轴上时，

△=0，（﹣4）2﹣4×1×（n﹣1）=0

n=5，

②如图2，当抛物线过点C（3，0）时，

把（3，0）代入得：

32﹣4×3+n﹣1=0，

n=4，

③如图3，当抛物线过原点时，n﹣1=0，n=1，

结合图象可得，1≤n＜4或n=5．

28．

（1）EB=EF，故答案为：

EB=EF；

（2）①补全图形如图2所示，

②结论依然成立EB=EF；

证法1：

如图3，过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠CAD=∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB．

∴∠FME=∠N=90°，EM=EN，

∵∠BAD=60°，∠BEF=120°，

∴∠F+∠ABE=360°﹣∠BAD﹣∠BEF=180°．

∵∠ABE+∠EBN=180°，

∴∠F=∠EBN；

在△EFM与△EBN中，

∴△EFM≌△EBN．

∴EF=EB；

证法2：

如图4，连接ED

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠DAC=∠BAE．

又∵AE=AE，

∴△ADE≌△ABE．

∴ED=EB，∠ADE=∠ABE，

又∵∠DAB=60°，∠BEF=120°．

∴∠F+∠ABE=180°．

又∵∠ADE+∠FDE=180°，

∴∠F=∠FDE．

∴EF=ED．

∴EF=EB．

（3）如图3，由

（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，

∴∠FEM=∠BEN，

∴∠BEF=∠MEN，

在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN=180°，

∴∠BAC+∠BEF=180°，

∴α+β=180°

如图4，由

（2）的证法2知，△ADE≌△ABE，

∴∠ADE=∠ABE=γ，∠DAE=∠BAE=

，∠AEB=∠AED=

，

根据三角形的内角和得，∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，

∴

°．

故答案为：

α+β=180°或

°．

29．【解答】

（1）∵M（0，2），∠AOB=60°，

∴d（M，∠AOB）=

OM=1；

∵N（﹣1，0），

∴d（N，∠AOB）=ON=1；

故答案为：

1；1．

（2）①如图，当点P在

上时，OP=

，

设P（x，3x+4），则

x2+（3x+4）2=8，

解得

（舍），

∴P（﹣2，﹣2）；

点P在射线FG上时，P到射线OB的距离为

，

∵点C到OB的距离为

，

∴点P与点C重合，

∴P（0，4），

综上所述，P（﹣2，﹣2）或（0，4）．

②如图所示，点P有4个．