另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,
当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.
故实数a的范围为[1,5).
答案:
[1,5)
6.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解:
(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).
令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,
极大值为f(-2)=4(1-e-2).
一、选择题
1.当函数y=x·2x取极小值时,x=( )
A. B.-
C.-ln2D.ln2
解析:
令y′=2x+x·2xln2=0,∴x=-.
答案:
B
2.已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)( )
A.在(-∞,0)上为减函数 B.在x=0处取极小值
C.在(4,+∞)上为减函数D.在x=2处取极大值
解析:
由导函数的图象可知:
x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>0,即x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<0,因此f(x)在(-∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,+∞)上为减函数,所以x=0取得极大值,x=2取得极小值,x=4取得极大值,因此选C.
答案:
C
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则的值为( )
A.-B.-2
C.-2或-D.2或-
解析:
由题意知,f′(x)=3x2+2ax+b,f′
(1)=0,f
(1)=10,
即解得或
经检验满足题意,故=-.
答案:
A
4.设函数f(x)=exsinx,x∈[0,π],则( )
A.x=为f(x)的极小值点
B.x=为f(x)的极大值点
C.x=为f(x)的极小值点
D.x=为f(x)的极大值点
解析:
∵f(x)=exsinx,
∴f′(x)=ex(sinx+cosx)
=exsin,
由f′(x)≤0,得sin≤0,
∴2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),
即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),∵x∈[0,π],
∴f(x)在上单调递增,f(x)在上单调递减,
∴x=为f(x)的极大值点.
答案:
D
二、填空题
5.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为________.
解析:
∵f′(x)=3x2+6ax+3b,
∴⇒
∴f′(x)=3x2-6x,令3x2-6x=0,得x=0或x=2,
∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f
(2)=4.
答案:
4
6.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围为________.
解析:
y′=ex+a,由y′=0,得x=ln(-a),
由题意知ln(-a)>0,∴a<-1.
答案:
(-∞,-1)
7.函数f(x)=ax2+bx在x=处有极值,则b的值为________.
解析:
f′(x)=2ax+b,∵函数f(x)在x=处有极值,
∴f′=2a·+b=0,即b=-2.
答案:
-2
8.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是________.
解析:
f′(x)=3x2-6b,若f(x)在(0,1)内有极小值,
只需f′(0)·f′
(1)<0,
即-6b·(3-6b)<0,解得0<b<.
答案:
三、解答题
9.设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.
(1)求a和b的值;
(2)讨论f(x)的单调性.
解:
(1)f′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx
=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),
因为x=-2和x=1是f(x)的极值点,
所以f′(-2)=f′
(1)=0,
即解方程组得
(2)因为a=-,b=-1,
所以f′(x)=x(x+2)(ex-1-1).
令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1.
因为当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时,f′(x)<0;
当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在(-2,0),(1,+∞)上单调递增;在(-∞,-2),(0,1)上单调递减.
10.设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
解:
由f(x)=x3+bx2+cx+d,
得f′(x)=ax2+2bx+c.
因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,
所以(*)
(1)当a=3时,由(*)式得
解得b=-3,c=12.
又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0,
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点
”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).
解得a∈[1,9].
即a的取值范围是[1,9].