《函数的单调性与最大(小)值》教案.doc

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1.3.1函数的单调性与最大（小）值

（1）教案

授课人：

马山中学蒙立勇

1．教学目标

（1）知识与技能：

使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数的单调性的方法．

（2）过程与方法：

从生活实际和已有旧知出发，引导学生探索函数的单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，使学生领会数形结合的数学方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

（3）情感态度价值观：

使学生体验数学的严谨性，培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神．

2．教学重点

（1）函数单调性的概念；

（2）运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性．

　教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．

3．教学方法和教学手段运用导学案方式引导学探索发现新识。

4．教学过程

5、教学基本流程：

单调性的直观感受---单调性的定性描述-----单调性的定量刻画-----单调性的具体应用

6、教学过程设计

教学环节

问题情境

师生互动

设计意图

创设情景

引入新课

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征吗？

y

x

1

-1

1

-1

y

x

1

-1

1

-1

y

x

1

-1

1

-1

学生可能的答案是：

第一个图中的函数图像，自左而右是上升的，同时图像关于原点对称；第二个图像，自左而右有时是上升的、有时是下降的；第三个图像自左而右有时是上升的、有时是下降的，同时图像关于y轴对称。

教师要引导，借助于对图像的观察，对所观察到的特征进行归类，及时指出本节课重点讨论图像的升降性，由图像的升降性所表现出的函数的性质就是函数的单调性-----板书课题函数的单调性

从形到数，借助对函数图像的观察而获得的图像特征，想象出相应函数的性质

合作学习

问题探究

问题1、画出一次函数f（x）=x及二次函数f（x）=x2的图像，说说随着x的增大，图像的升降情况

函数f（x）=x的图像自左向右是上升的，函数f（x）=x2的图像在y轴左侧自左向右是下降的，在y轴右侧自左向右是上升的。

教师要引导学生对函数单调性做直观描述：

函数在自变量x的某个区间上的图像如果自左向右是上升的，那么函数在这个区间上是增函数，如果图像是下降的，则函数在这个区间上是减函数

以一次函数和二次函数为载体借助于图像的直观性给出函数单调性的直观性定义，从而使学生对函数的单调性有感性的认识

问题2、完成下列表格，观察表格说说二次函数f（x）=x2随着x的增大函数值y的变化规律是什么？

是逐步增大还是逐步减小？

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

Y=f（x）

…

…

当是随着自变量x的增大，函数值Y逐步增大；当是随着自变量x的增大，函数值Y逐步减小

教师要引导学生对函数的单调性做定性描述：

函数在自变量x的某个区间上随着自变量的增大，函数值逐步增大，那么函数在这个区间上是增函数，相应的函数值减小，则函数是减函数

以二次函数为载体，在对函数的单调性的感性认识的基础上逐步向理性转化

问题3、对一般函数f（x）而言，函数在定义域的某个区间上图像自左而右图像上升或下降，相应地函数值的变化规律是什么？

图像上升时随着自变量的增大函数值逐步增大；图像下降时随着自变量的增大函数值逐步减小

教师要引导学生由特殊函数的图像的升降性与函数值的变化规律过渡到一般函数的图像的升降性与函数值的变化规律

由特殊函数的性质过渡到一般函数的性质，目的在于培养学生的合情推理能力

问题4、对于随着自变量的增大，函数值逐步增大，你认为下列哪种描述更为贴切？

（1）对于函数f（x），当自变量x在定义域的某个区间上的取两个特殊的值x1，x2，当x1

学生相互讨论，教师加以引导：

对

（1）来说教师以二次函数f（x）=x2为例，在定义域内取x1=-1，x2=2显然x1

让学生体会自变量的任意两个不同的值的必要性，为后面单调性定义的定量刻画奠定基础

合作学习

问题探究

（2）对于函数f（x），当自变量x在定义域的某个区间上的任取两个值x1，x2，当x1

由此可知要确保函数是增函数，x1，x2在这个区间必须是任意才可以

归纳总结

形成结论

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1

如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上是单调函数，区间D叫做函数的单调区间，分为递增区间和递减区间

引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义，同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义

教师引导学生找出定义中的关键词：

定义域内的某个区间----自变量的任意两个值-----都有。

通过以上对单调性的直观感受到定性描述到最终的定量刻画，循序渐进、层层深入，由特殊到一般，由直观到抽象，符合学生的认知过程

课堂练习

加深理解

练习1、如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

练习2、下列说法是否正确，请画图或举例来说明理由

（1）如果对于区间上的任意x，都有f（x）>f（0）,则函数f（x）在区间上是增函数

（2）对于区间（a，b）的某三个值x1，x2，x3，当x1

引导学生通过对图像的观察以及对具体函数的探讨进一步加深单调性的理解

练习2

（1）的设置体现在区间中任选一个值不能确定函数是否单调

练习2

（2）的设置体现了：

即使在区间内取三个不同的值、甚至更多的值也不能确定函数是否单调

由此可知：

刻画函数的单调性不在于区间内所选取的自变量的值的多少，关键在于是否具有任意性，只要是任意的两个不同的值就可以了，以避免学生在以后的证明中“以特殊的两个不同值代替任意的两个不同值”的错误的证明。

例题讲解

巩固知识

3、反比例函数在是______函数，在是______函数，能否说函数在其整个定义域上是减函数？

并证明你的结论。

引导学生归纳函数在某个区间上是单调函数的证明方法和步骤：

①设任取x1，x2∈D，且x1

②作差变形f（x1）－f（x2）；

③定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

④下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

教师引导学生理解函数在区间、上都是减函数，在整个定义域上不是减函数，强调函数的单调区间不能写成的形式

从定向性的证明，到自我探索复杂函数的单调区间并完成证明，是一个很大的跨越，但在此探索过程中，学生体会到数学中“数形”的联系和互相验证，体会到成功解决问题的快乐．

通过具体问题，使学生认识到函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质，在整个定义域内函数未必是单调函数

与当堂检测

4、探究一次函数的单调性，并证明你的结论。

（当堂检测另附）

学生动手，引导学生对字母进行讨论（（参考答案用投影显示））

巩固本节课所学知识以及函数单调性的探究方法

纳小结

知识整合

思考：

1、函数的单调性的定义是怎样的？

2、函数的单调性在图像上的表现是什么？

3、函数的单调性在函数值上的变化规律是什么？

4、函数的单调性是否为函数的整体性质？

5、证明函数在某个区间上是增函数或是减函数的证明依据是什么？

具体证明的步骤有哪些？

现在对定义中的任意两个字能正确理解吗？

6、判断某个函数在定义域的某个区间上是否为增函数或是减函数，你有哪些判定方法？

教师引导学生对本节课的学习内容和探究方法做总结

通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.

知识拓展：

在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用本节所学过的数学知识来解释这一现象吗？

学生动手实验分组讨论，培养学生自主学习、合作探究的能力（参考答案用投影显示）

生活实际问题的提供体现了数学来源于生活，也用于解决生活中的问题．

板书设计：

1.3函数的单调性

4、函数在某个区间上是单调函数的证明方法和步骤：

1、增函数的定义：

（1）

（2）

2、减函数的定义：

（3）

（4）

3、函数的单调区间；

教学设计说明

教案设计说明：

本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．

围绕以上两个难点，在本节课的处理上，着重注意了以下几个问题：

1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：

①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：

学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；

②运用新知识尝试解决新问题．如：

对函数在定义域上的单调性的讨论．

2、重视学生发现的过程．如：

充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．

3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．

4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．

附：

知识检测

（第1到第5题各一分，第6题5分，满分：

10分）计分：

1.如果函数在R上单调递减，则（）

A.B.C.D.

2.在区间上为增函数的是（）

A． B．C． D．

3.函数的单调增区间是（）

A.B.C.RD.不存在

4.函数（）的单调性是

5.函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

6.物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？

试用函数单调性定义证明之.

知识检测参考答案

1、B2、C3、B4、函数在上为增函数、函数在上为增函数5、单调递增区间是，单调递减区间是.

6、证明：

设是定义域上的任意两个实数，且则

由于由，又于是，即所以函数，是减函数。

也就说，当其体积V增大时，压强p将减小。

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