湖南省长沙市中考数学试题解析.docx

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湖南省长沙市中考数学试题解析

2021年湖南省长沙市中考数学试卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列四个实数中，最大的数是（　　）

A．﹣3B．﹣1C．πD．4

2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（　　）

A．1.004×106B．1.004×107C．0.1004×108D．10.04×106

3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5

5．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（　　）

A．100°B．80°C．50°D．40°

6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27°B．108°C．116°D．128°

7．（3分）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：

cm）分别是：

22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24

9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：

甲：

11；乙：

4；丙：

16；丁：

7；戊：

17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　）

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）分解因式：

x2﹣2021x＝　　．

12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为　　．

13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为　　．

14．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为　　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为　　．

16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为　　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：

．

18．（6分）先化简，再求值：

（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x

．

19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：

△ABC．

求作：

△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．

作法：

如图．

（1）画B'C′＝BC；

（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；

（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：

证明：

由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是　　．（填序号）

①AAS

②ASA

③SAS

④SSS

20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：

凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．

（1）求证：

▱ABCD是矩形；

（2）求AD的长．

22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．

（1）求证：

∠B＝∠ACB；

（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

24．（10分）我们不妨约定：

在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y

的图象上的一对“T点”，则r＝　　，s＝　　，t＝　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？

如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：

y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？

若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在

上，四边形MNPQ为正方形，点C在

上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．

（1）求sin∠AOQ的值；

（2）求

的值；

（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列四个实数中，最大的数是（　　）

A．﹣3B．﹣1C．πD．4

解析：

∵﹣3＜﹣1＜π＜4，

∴最大的数是4，

故选：

D．

2．（3分）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（　　）

A．1.004×106B．1.004×107C．0.1004×108D．10.04×106

解析：

10040000＝1.004×107．

故选：

B．

3．（3分）下列几何图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：

A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C．是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：

C．

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．a3•a2＝a5B．2a+3a＝6aC．a8÷a2＝a4D．（a2）3＝a5

解析：

A．a3•a2＝a5,故此选项符合题意；

B．2a+3a＝5a,故此选项不合题意；

C．a8÷a2＝a6,故此选项不合题意；

D．（a2）3＝a6,故此选项不合题意；

故选：

A．

5．（3分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（　　）

A．100°B．80°C．50°D．40°

解析：

∵AB∥CD，

∴∠CHG＝∠AGE＝100°，

∴∠DHF＝∠CHG＝100°．

故选：

A．

6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　）

A．27°B．108°C．116°D．128°

解析：

∵∠A＝54°，

∴∠BOC＝2∠A＝108°，

故选：

B．

7．（3分）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：

∵k＝2＞0，b＝1＞0，

∴直线经过一、二、三象限．

故选：

B．

8．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：

cm）分别是：

22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．24，25B．23，23C．23，24D．24，24

解析：

将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，

∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，

故选：

C．

9．（3分）有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：

列表如下：

1

2

3

4

5

6

1

（1，1）

（1，2）

（1，3）

（1，4）

（1，5）

（1，6）

2

（2，1）

（2，2）

（2，3）

（2，4）

（2，5）

（2，6）

3

（3，1）

（3，2）

（3，3）

（3，4）

（3，5）

（3，6）

4

（4，1）

（4，2）

（4，3）

（4，4）

（4，5）

（4，6）

5

（5，1）

（5，2）

（5，3）

（5，4）

（5，5）

（5，6）

6

（6，1）

（6，2）

（6，3）

（6，4）

（6，5）

（6，6）

由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，

∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为

，

故选：

A．

10．（3分）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：

甲：

11；乙：

4；丙：

16；丁：

7；戊：

17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　）

A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9

B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7

C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4

D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9

解析：

由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，

∴每人手里的数字不重复．

由甲：

11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；

由乙：

4，可知乙手中的数字只有1和3；

由丙：

16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；

由丁：

7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；

由戊：

17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；

∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．

∴各选项中，只有A是正确的，

故选：

A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）分解因式：

x2﹣2021x＝　　．

解析：

x2﹣2021x＝x（x﹣2021）．

故答案为：

x（x﹣2021）．

12．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为　　．

解析：

∵OC⊥AB,

∴AC＝BC

2,

∵OC＝2,

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴∠AOC＝45°，

故答案为：

45°．

13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为　　．

解析：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC，

又∵点E是边AB的中点，

∴OE＝AE＝EB

，

∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12，

故答案为：

12．

14．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为　　．

解析：

把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：

9﹣3k﹣12＝0，

解得：

k＝﹣1，

故答案为：

﹣1．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为　　．

解析：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴CD＝DE，

∵DE＝1.6，

∴CD＝1.6，

∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4．

故答案为：

2.4

16．（3分）某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为　　．

解析：

∵30÷25%＝120（份），

∴一共抽取了120份作品，

∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：

120﹣30﹣28﹣12＝50（份），

故答案为：

50．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：

．

解：

原式

2

1

1+4

＝5．

18．（6分）先化简，再求值：

（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x

．

解：

原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2

＝﹣2x,

当x

时，

原式＝﹣2×（

）

＝1．

19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知：

△ABC．

求作：

△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．

作法：

如图．

（1）画B'C′＝BC；

（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；

（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：

证明：

由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是　　．（填序号）

①AAS

②ASA

③SAS

④SSS

解析：

（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．

故答案为：

△ABC（SSS）．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS,

故答案为：

④．

20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：

凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．

（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；

（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

解：

（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为

0.25；

（2）设袋子中白球的数量为x，

则

0.25，

解得x＝36，

经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，

所以估计纸箱中白球的数量接近36．

21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．

（1）求证：

▱ABCD是矩形；

（2）求AD的长．

（1）证明：

∵△AOB为等边三角形，

∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OB＝OD

BD，OA＝OC

AC，

∴BD＝AC，

∴▱ABCD是矩形；

（2）解：

∵▱ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠ABO＝60°，

∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，

∴AD

AB＝4

．

22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？

解：

（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，

依题意得：

4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，

解得：

x＝22．

答：

该参赛同学一共答对了22道题．

（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，

依题意得：

4y﹣（25﹣y）≥90，

解得：

y≥23．

答：

参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．

23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．

（1）求证：

∠B＝∠ACB；

（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

解：

（1）证明：

在△ADB和△ADC中：

，

∴△ADB≌△ADC（SAS），

∴∠B＝∠ACB；

（2）在Rt△ADB中，BD

3，

∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，

∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，

在Rt△ADE中，AE

4

，

∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4

16+4

，

S△ABE

22．

24．（10分）我们不妨约定：

在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y

的图象上的一对“T点”，则r＝　　，s＝　　，t＝　　（将正确答案填在相应的横线上）；

（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？

如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；

（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：

y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？

若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

解析：

（1）∵A，B关于y轴对称，

∴s＝﹣1，r＝4，

∴A的坐标为（1，4），

把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：

t＝4，

故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；

（2）当k＝0时，有y＝p，

此时存在关于y轴对称得点，

∴y＝kx+p是“T函数”，

当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，

∴y＝kx+p不是“T函数”；

（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，

∴c＝0，

∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，

∴b＝0，

∴y＝ax2，

联立直线l和抛物线得：

，

即：

ax2﹣mx﹣n＝0，

，

，

又∵

，

化简得：

x1+x2＝x1x2，

∴

，即m＝﹣n，

∴y＝mx+n＝mx﹣m，

当x＝1时，y＝0，

∴直线l必过定点（1，0）．

25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在

上，四边形MNPQ为正方形，点C在

上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．

（1）求sin∠AOQ的值；

（2）求

的值；

（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

解：

（1）如图，连接OP．

∵四边形MNPQ是正方形，

∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，

∵OQ＝OP，

∴△OMQ≌△ONP（HL），

∴OM＝ON，

设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ

m，

∴sin∠AOQ

．

（2）由

（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA

m，MN＝2m，

∴AM＝OA﹣OM

m﹣m，

∴

．

（3）∵AB＝2R，

∴OA＝OB＝OQ＝r，

∵QM＝2MO，

∴OM

，MQ

，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°，

∵∠CED＝∠AEM，

∴∠A＝∠D，

∵∠AME＝∠DMB＝90°，

∴△AME∽△DMB，

∴

，

∴

，

∴y

，

当点C与P重合时，

，

∴

，

∴x

R，

∴

R＜x

R．