史上最全中考数学真题解析43一次函数的几何应用含答案.docx
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史上最全中考数学真题解析43一次函数的几何应用含答案
2011全国中考真题解析120考点汇编
一次函数的几何应用
一、选择题
1.（2011江苏苏州，10，3分）如图，巳知A点坐标为（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为（ ）
A．3B．
C．4D．
考点：
一次函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
根据三角函数求出点B的坐标，代入直线y=x+b（b＞0），即可求得b的值．
解答：
解：
由直线y=x+b（b＞0），可知∠1=45°，
∵∠α=75°，
∴∠ABO=180°-45°-75°=60°，
∴OB=OA÷tan∠ABO=
．
∴点B的坐标为（0，
），
∴
=0+b，b=
．
故选B．
点评：
本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角函数的知识，注意直线y=x+b（b＞0）与x轴的夹角为45°．
2.（2011湖北随州，14，3）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）
A、4B、8C、16D、
考点：
一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；平移的性质。
专题：
计算题。
分析：
根据题目提供的点的坐标求得点C的坐标，当向右平移时，点C的坐标不变，代入直线求得点平C的横坐标，进而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可．
解答：
解：
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3，BC＝5，∵∠CAB＝90°，∴AC＝4，∴点C的坐标为（1，4），
当点C落在直线y＝2x－6上时，∴令y＝4，得到4＝2x－6，解得x＝5，
∴平移的距离为5－1＝4，∴线段BC扫过的面积为4×4＝16，
故选C．
点评：
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．
3.（2011杭州，7，3分）一个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
一次函数的应用；一次函数的图象．
分析：
因为个矩形被直线分成面积为x，y的两部分，矩形的面积一定，y随着x的增大而减小，但是x+y=k（矩形的面积是一定值），由此可以判定答案．
解答：
解：
因为x+y=k（矩形的面积是一定值），
整理得y=-x+k，
由此可知y是x的一次函数，，图象经过二、四象限，x、y都不能为0，且x＞0，y＞0，图象位于第一象限，
所以只有A符合要求．
故选A．
点评：
此题主要考查实际问题的一次函数的图象与性质，解答时要熟练运用．
4.（2011江苏南京，6，2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为
，则a的值是（ ）
A、
B、
C、
2D、
考点：
一次函数综合题。
专题：
综合题。
分析：
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PO，PA．分别求出PD、DC，相加即可．
解答：
解：
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB
于D，连接PO，PA．
∵AE=
AB=
，PA=2，
PE=
=1．
PD=
．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴DC=2，
∴a=PD+DC=2+
．
故选B．
点评：
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
5.2011湖北潜江，9，3分）如图，已知直线l：
y＝
x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（ ）
A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）
考点：
一次函数综合题。
专题：
规律型。
分析：
本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn＝2n—1，求出OA6的长等于26—1，即可求出A6的坐标．
解答：
解：
∵点A的坐标是（1，0）
∴OA＝1
∵点B在直线y＝
x上
∴OB＝2
∴OA1＝4
∴OA2＝16
得出OA3＝64
∴OA4＝256
∴A6的坐标是（0，256）．
故选C．
点评：
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
6.（2011黑龙江牡丹江，17，3分）在平面直角坐标系中，点0为原点，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B．若△AOB的面积为8，则k的值为（ ）
A、1 B、2 C、﹣2或4 D、4或﹣4
考点：
一次函数图象上点的坐标特征。
分析：
首先根据题意画出图形，注意要分情况讨论，①当B在y的正半轴上时②当B在y的负半轴上时，分别求出B点坐标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式，得到k的值．
解答：
解：
（1）当B在y的正半轴上时：
∵△AOB的面积为8，
∴
×OA×OB=8，
∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
∴OB=8，
∴B（0，8）
∵直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，8）．
∴
解得：
（2）当B在y的负半轴上时：
∵△AOB的面积为8，
∴
×OA×OB=8，
∵A（﹣2，0），
∴OA=2，
∴OB=8，
∴B（0，﹣8）
∵直线y=kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，8）．
∴
解得：
．
故选D．
点评：
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是要根据题意分两种情况讨论，然后再利用待定系数法求出答案．
7.（2011湖北黄石，10,3分）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
一次函数综合题。
专题：
计算题。
分析：
首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，进而求得其解析式即可．
解答：
解：
∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（﹣1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），
∴梯形的面积为：
，
∵直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，
∴直线y=kx+2与AD、AB围成的三角形的面积为4，
设直线与x轴交与点（x，0），
∴
，
∴x=3，
∴直线直线y=kx+2与x轴的交点为（3，0）
∴0=3k+2
解得
故选A．
点评：
本题考查了一次函数的应用，求出当直线平方梯形的面积时与x轴的交点坐标是解决本题的突破口．
8（2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，9，3分）如图，已知直线l：
y=
x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为
A．（0，64）B．（0，128）C．（0，256）D．（0，512）
考点：
一次函数综合题．
分析：
本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=2n-1，求出OA6的长等于26-1，即可求出A6的坐标．
答案：
解：
∵点A的坐标是（1，0）
∴OA=1
∵点B在直线y=
x上
∴OB=2
∴OA1=4
∴OA2=16
得出OA3=64
∴OA4=256
∴A6的坐标是（0，256）．
故选C．
点评：
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
9.（2011山东日照，9，4分）在平面直角坐标系中，已知直线y=﹣
x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（0，
）B．（0，
）C．（0，3）D．（0，4）
考点：
一次函数综合题；翻折变换（折叠问题）。
专题：
计算题。
分析：
过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=4，则DB=5﹣4=1，BC=3﹣n，
在RtBCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
解答：
解：
过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=﹣
x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=3﹣n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5﹣4=1，
在RtBCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+12=（3﹣n）2，解得n=
，
∴点C的坐标为（0，
）．
故选B．
点评：
本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：
分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
10.（2011福建厦门，17，4分）如图，一系列“黑色梯形”是由x轴、直线y=x和过x轴上的正奇数1、3、5、7、9、…所对应的点且与y轴平行的直线围成的．从左到右，将其面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn、…．则S1= ，Sn= ．
考点：
一次函数综合题。
专题：
规律型。
分析：
由图得，S1=
=4，S2=
=12，S3=
=20，…，Sn=4（2n﹣1）．
解答：
解：
由图可得，
S1=
=4=4（2×1﹣1），
S2=
=12=4（2×2﹣1），
S3=
=20=4（2×3﹣1），
…，
∴Sn=4（2n﹣1）．
故答案为：
4；4（2n﹣1）．
点评：
本题主要考查了一次函数综合题目，根据S1、S2、S3，找出规律，是解答本题的关键．
二、填空题
1.（2011•西宁）如图，直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣
，0）两点，则不等式0＜kx+b＜﹣x的解集为 ﹣
＜x＜﹣1 ．
考点：
一次函数与一元一次不等式。
分析：
由于直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣
，0）两点，那么把A、B两点的坐标代入y=kx+b，用待定系数法求出k、b的值，然后解不等式组0＜kx+b≤﹣x，即可求出解集．
解答：
解：
∵直线y=kx+b经过A（﹣1，1）和B（﹣
，0）两点，
∴
，
解得：
，
∴直线解析式为：
y=
x+
，
解不等式组0＜
x+
＜﹣x，
得：
﹣
＜x＜﹣1．
故答案为：
﹣
＜x＜﹣1．
点评：
此题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式及一元一次不等式组的解法．本题中正确地求出k与b的值是解题的关键．
2.（2011•四川凉山，25）在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn
均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为（2n-1-1，2n-1）．
【考点】一次函数综合题；相似三角形的判定与性质
【专题】规律型．
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【解答】解：
A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：
（1，2），
根据题意得：
，解得：
．则直线的解析式是：
y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：
3+1=4=22；则A4的横坐标是：
1+2+4=7，则A4的纵坐标是：
7+1=8=23；据此可以得到An的纵坐标是：
2n-1，横坐标是：
2n-1-1．故点An的坐标为（2n-1-1，2n-1）．故答案是：
（2n-1-1，2n-1）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
3.（2011四川攀枝花，16，4分）如图，已知直线l1：
y=
x+
与直线l2：
y=﹣2x+16相交于点C，直线l1、l2分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与B点重合，那么S矩形DEFG：
S△ABC= ．
考点：
一次函数综合题。
分析：
把y=0代入l1解析式求出x的值便可求出点A的坐标．令x=0代入l2的解析式求出点B的坐标．然后可求出AB的长．联立方程组可求出交点C的坐标，继而求出三角形ABC的面积，再利用xD=xB=8易求D点坐标．又已知yE=yD=8可求出E点坐标．故可求出DE，EF的长，即可得出矩形面积．
解答：
解：
由
x+
=0，得x=﹣4．∴A点坐标为（﹣4，0），由﹣2x+16=0，得x=8．∴B点坐标为（8，0），∴AB=8﹣（﹣4）=12．由
，解得
，∴C点的坐标为（5，6），∴S△ABC=
AB•C=
×12×6=36．∵点D在l1上且xD=xB=8，∴yD=
×8+
=8，∴D点坐标为（8，8），又∵点E在l2上且yE=yD=8，∴﹣2xE+16=8，∴xE=4，∴E点坐标为（4，8），∴DE=8﹣4=4，EF=8．∴矩形面积为：
4×8=32，∴S
矩形DEFG：
S△ABC=32：
36=8：
9．故答案为：
8：
9．
点评：
此题主要考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出C，D两点的坐标是解决问题的关键．
三、解答题
1.（2011盐城，28，12分）如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=
的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
考点：
一次函数综合题.
分析：
（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；
（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；
②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可．
解答：
解：
（1）∵一次函数y＝－x+7与正比例函数
的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴y＝－x+7，0＝x+7，∴x＝7，∴B点坐标为：
（7，0），
∵y＝－x+7＝
，解得x＝3，∴y＝4，∴A点坐标为：
（3，4）；
（2）①当0＜t＜4时，PO＝t，PC＝4－t，BR＝t，OR＝7－t，
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，∴S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，
∴
（AC+BO）×CO－
AC×CP－
PO×RO－
AM×BR＝8，
∴（AC+BO）×CO－AC×CP－PO×RO－AM×BR＝16，
∴（3+7）×4－3×（4－t）－t×（7－t）－4t＝16，∴t2－8t+12＝0.
解得t1＝2，t2＝6（舍去）.
当4≤t≤7时，S△APR＝
AP×OC=2（7－t）＝8，无解；
∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；
②存在．延长CA到直线l于一点D，当l与AB相交于Q，∵一次函数y＝－x+7与x轴交与（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，∴NO＝OB，∴∠OBN＝∠ONB＝45°.
∵直线l∥y轴，∴RQ＝RB，CD⊥L.
当0＜t≤4时，RB＝OP＝QR＝t，DQ＝AD＝（4－t），AC＝3，PC＝4－t，
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，∴AC2+PC2＝AP2＝AQ2＝2AD2，
∴9+（4－t）2＝2（4－t）2，解得：
t1＝1，t2＝7（舍去）.
当4＜t≤7时，若PQ＝AQ，则t－4+2（t－4）＝3，解得t＝5；
若AQ=AP，则
（t－4）＝7－t，解得
；
若PQ=PA，则
，
即
，解得
；
∴当t=1、5、
、
秒时，存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
点评：
此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键．
2.（2011福建省漳州市，25,13分）如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：
点C的坐标是（ 0 ， 1 ），点D的坐标是（ ﹣2 ， 0 ）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？
若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
一次函数综合题；等腰三角形的性质；勾股定理；坐标与图形变化-旋转；相似三角形的判定与性质。
专题：
计算题。
分析：
（1）把x=0，y=0分别代入解析式求出A、B的坐标，即可得出C、D的坐标；
（2）根据勾股定理求出CD，证△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有两种情况：
①以BM为腰时，满足BP=BM的有两个；过点M作ME⊥y轴于点E，证△BME∽△BCM，求出BE、PE，进一步求出OP即可；②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，根据等腰三角形的性质求出即可．
解答：
（1）解：
y=﹣2x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（﹣2，0），
故答案为：
0，1，﹣2，0．
（2）解：
由
（1）可知CD=
=
，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC，
∴
，
即
，
∴BM=
，
答：
线段BM的长是
．
（3）解：
存在，
分两种情况讨论：
①以BM为腰时，
∵BM=
，又点P在y轴上，且BP=BM，
此时满足条件的点P有两个，它们是P1（0，2+
）、P2（0，2﹣
），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∵∠BMC=90°，则△BME∽△BCM，
∴
，
∴BE=
=
，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=
，
∴BP=
，
∴OP=2﹣
=
，
此时满足条件的点P有一个，它是P3（0，
），
②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由
（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中点，
∴BP=
BC=
，
∴OP=
，
此时满足条件的点P有一个，它是P4（0，
），
综上所述，符合条件的点P有四个，
它们是：
P1（0，2+
）、P2（0，2﹣
）、P3（0，
）、P4（0，
）．
答：
存在，所有满足条件的点P的坐标是P1（0，2+
）、P2（0，2﹣
）、P3（0，
）、P4（0，
）．
点评：
本题主要考查对一次函数的综合题，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形变换﹣旋转等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
3.（2011黑龙江省黑河，28，12分）已知直线y=
x+4
与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．
（1）试确定直线BC的解析式．
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在
（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？
若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题。
【分析】
（1）由已知得A点坐标，通过OA，OB长度关系，求得角BAO为60度，即能求得点C坐标，设直线BC代入BC两点即求得．
（2）当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．再求得QH，从而求得三角形APQ的面积．
（3）由
（2）所求可知，是存在的，写出点的坐标．
【解答】解：
（1）由已知得A点坐标（﹣4﹐0），B点坐标（0﹐4
﹚，
∵OA=4OB=4
，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵OC=OA=4，
∴C点坐标﹙4，0﹚，
设直线BC解析式为y=kx﹢b，
，
∴
，
∴直线BC的解析式为y=﹣
；（2分）
﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵
，
∴
，
∴QH=
t
∴S△APQ=
AP•QH=
t•
t=
t2﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S△APQ=
t•﹙8
-
t﹚=﹣
﹙4≤t＜8﹚；（2分）
（3）存在，
（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，
）．（4分）
【点评】本题考查了一次函数的运用，考查了一次函数与直线交点坐标，从而求得AB的长度，由△ABC是等边三角形，从而求得．
（注：
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