两条相交弦定理教学案例最全word资料.docx
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两条相交弦定理教学案例最全word资料
两条相交弦定理教学案例
秦皇岛市第十六中解向东
一、教材分析：
本节是初中学习中最后的知识点中最重要的一个知识环节，对全章以及以后的学习都非常的重要，它是圆中前后联结的桥梁，是后面学习圆的基础，是圆的重要组成部分。
二、教学目标：
知识与技能：
掌握相交弦定理，能运用定理去解决相关的问题。
教学思才：
在这节中让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。
解决问题：
通过探究定理，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。
情感态度与价值观：
在探究活动中让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。
三、教学重、难点：
重点：
相交弦定理
难点：
定理的探究过程
四、教学方法；
“引导发现法”与“动像探索法”
五、教具、学具：
教具：
多媒体课件等。
课例背景:
根据本校实际，结合新课程改革，进行了“民主互动教学模式”的课题研究，力求在数学的教学实践中努力培养学生追求新知、实事求是的求学精神热和独立思考、勇于创新的能力，让学生在民主、互动的学习过程中获取新知，提高能力，锤炼素质、真正成为学习的主人。
本着这一目的，我们在教学实践中探索出了“设疑——探究——解答——演变——反思”的教学模式，尝试创造民主、和谐的教学氛围，培养学生乐思、进取的探究精神，于是有了《相交弦定理》一节的实践探索。
课堂实录:
（师代表老师，生代表学生）
师：
我们以前学习过了圆心角、圆周角及化们的关系，并且知道一条弧所对的圆周角等于它的圆心角的一半。
今天我们就一起来研究圆内两条弦之间又有什么关系？
首先大家想一想圆内的两条弦有几种位置关系。
生：
相交和平行。
（电脑显示图形）
师：
大家想一想弦是一条什么线？
生：
是一条线段，哦——，还有既不相交也不平行的。
（电脑显示图形）
师：
很好，今天我们就主要来探究圆内两条相交弦之间的关系？
大家能否在卡片上画出两条相交弦的不同形式？
看谁画的多。
（课前准备好画有十个圆的卡片，教师巡视发现画的多的同学把卡片在幻灯上投影出来，其他同学补充，激发热情）
师：
好，经过几个同学的努力，我们得到以下几种关系。
（1）
（2） （3）
师：
以上这些模型都是属于相交弦的模型，我们发现有一般相交的，有垂直相交的，还有经过圆心的，还有经过圆心且垂直的，看来集体的智慧是无穷的啊！
（让学生有一种成就感，兴趣更高，又训练了思维的完备性及分类思想）
师：
以下我们来研究这两条弦被交点分成的四条线段的长度之间有什么关系？
（明确提出研究问题，有的独立思考，有的参与小组讨论，教师询问）
生1：
因为图（4）、图（5）两条弦都经过圆心则OA、OD、OB、OC都为半径所以相等。
生2：
图（3）中由垂径定理可知PA=PB。
师：
很好，但这两种关系其他的图形有没有，具有一般性吗？
（学生摇头，于是鼓励大家再深入思考）
生3：
老师，对于图（4）、（5）中还有OA·OB=OC·OD，那么其他图形中会不会有PA·PB=PC·PD的关系？
师：
你们的猜想很有创意，大家看这个猜想成不成立？
（各小组马上展开讨论）
生4：
他们是对的，我们可以连结AC、BD（电脑显示）因∠APC=∠DPB，对顶角；∠ACP=∠DBP，同圆同弧所对的圆周角相，有两个角对应相等的三角形相似，△APC∽△DBP于是对应边成比例，所以有：
所以PA·PB=PC·PD。
（电脑显示证明过程）
师：
非常好，我们为他鼓掌。
（掌声）那么哪位同学可以用简洁的语言表述出来呢？
生5：
圆内的两条相交弦，被交点分得的线段的积相等。
师：
大家看，我这两个个式子对不对①AP·PC=DP·PB，②AP·AB=DP·DC
生齐：
不对，①因为不对应，②因为不是被交点分的四条线段。
师：
怎么准确表达呢？
生5：
圆内的两条相交弦，被交点分得的两条线段的积相等。
（电脑显示）
师：
我们又能否用几何言表达呢？
生齐：
若圆内两条弦AB、CD相交于圆内一点P，则AP·PB=DP·CP （电脑显示）
师：
很好，这就是著名的相交弦定理，以后只要是相交弦模型就满足相交弦定理。
（于是又找几个中下学生，在其它几个图形中运用相交弦定理）
生6：
老师，对于图（3）有AP·PB=PC·PD，又有垂径定理知PA=PB是不是可以写成PA2=PC·PD
师：
你认为有道理吗？
道理何在？
生6：
有，不过说不清楚。
师：
既然有道理，就应该相信自己吗？
你发现的这个结论很有价值我们可以把它作为相交弦定理的推论，你真了不起，大家为他鼓掌！
（热烈掌声）
师：
我们知道特殊的结论需有特殊的条件，大家看生发现的这个结论的具有什么特殊条件呢？
生齐：
一条弦是直径，另一弦与它垂直。
师：
嗯，那你能试着把它归纳为一个命题吗？
生7：
心里清楚，说不清。
师：
有没有人能帮忙……
生8：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成两线的比例中项。
（电脑显示）
师：
用几何语言应怎样表述，注意条件。
生9：
CD是圆的直径，CD⊥AB，则PA2=PC·PD。
（电脑显示）
师：
下面我们就来试试相交弦定理的应用。
（电脑显示两个课本上的练习,对定理的直接应用，学生独立完成后口答。
然后电脑打出教材例题师生一起分析）
师：
运用相交弦定理，我们需知被交点分成的四条线段，但现在仅知道两条，和一条弦的全长怎么办？
生齐说：
设未知数，设其中一段为xcm,则另一段就为（32-x）cm。
师：
目的是什么呢？
生齐说：
用相交弦定理列方程。
（师生一起完成，教师板书过程。
然后电脑打出下道例题，鼓励一题多解，自行完成，小组交流结果，找两学生演板）
师：
这节课经过我们共同的努力研究，大家有哪些收获？
生齐说：
相交弦定理和推论，以及如何用它来解决问题。
师：
（小结）大家收获比较大，一、对于相交弦定理，我们要明确的是每条弦被交点分得的两条线段的积相等；二、运用“观察——猜想——证明”和“从特殊到一般，再从一般到特殊”的研究方法，推导出了相交弦定理及其推论；三、大家今天还收获了智慧，收获了成功的喜悦。
但在这里我们只研究的是圆内的两条相交弦的问题，如果把既不相交也不平行的两条弦延长交点在哪里？
相交弦定理的结论又该如何呢？
下去之后大家可自行研究。
（老师布置作业，并要求进一步熟悉定理及推论内容，其实有一部分同学已迫不急待地研究交点在圆外的情况）
简评:
思想：
这节课我主要想在两个方面进行探究，一是探究数学教育的思维空间和密度的问题；二是探究民主互动的教学模式。
在知识上，一、学生学会了相交弦定理、推论及其运用，通过练习、巩固定理内容，特别是在学生容易出错的四条线段的对应关系上，学生们引起了注意并得以落实；二、亲历了定理的发现和推导过程及运用，且在练习1、2中巩固了定理的内容，例题中应用了方程的思想，进行了一题多解的解题训练；三、在教学中向学生渗透了分类的数学思想和由特殊到一般，由一般得特殊的数学方法，避免了学生常犯的由特殊代替一般的错误思想，知识容量较大，内容丰富。
在思维的空间和密度上，一改以往的“给出定理——证明定理——应用定理”的模式，而是精心设计，由学生亲自观察——猜想——证明——应用的教学过程；培养学生观察猜想、分析、探索、语言表达等思维能力，严谨性、批判性、发散性的思维品质，学生在这个过程中获得了知识，提高了能力。
因为每个几何定理都有它的发现或发展的过程，许多著名的定理，都是人们经过艰辛的努力，甚至花几代人的心血，经过几个世纪的努力才发现或获得证明。
德国教育家第斯多惠说：
“一个坏教师奉送真理，一个好教师则教人发现真理”初中教学大纲明确指出：
“要重视学生在获取和运用知识的过程中发展思维能力，数学教学不仅要教给学生数学知识而且还要揭示获取知识的思维过程，后者对发展能力更为重要”。
因此，在这一过程中我注重了定理的发现，首先创设情境，激发思维，运用“民主互动”模式给学生提供了广阔的思维空间和时间，强化了思维密度，特别是提出了交点在圆外的模型，推广与延伸了学生的思维。
同时这节课突出了研究问题的方法，使学生学会学习，学会思考，感受到再创造的喜悦。
虽然这节课的知识容量不大，但是思维密度还比较大，使思维能力得到了培养，知识也得到了很好的落实。
在“民主互动的教学模式”方面，我由圆内的角的规律自然地过渡到研究圆内的相交弦的性质，然后从画相交弦的模型入手，激发学生的兴趣；第二，图形展示出来之后，先由学生自行观察研究，发现规律，把主动权交给学生，以学生为主体，只是在学生遇到困难时给以引导，避免了满堂灌。
这样既有利于培养学生思维的主动性，又体现了教学的民主性；第三，从教学过程看采用了小组互助学习的方式，克服了教学的难点，讨论中点燃了学生思维的火花，创造了和谐的氛围，有利于学生思维深刻性的培养于是就有推论的得出，互动性非常强，特别是在解决问题时，热情更为高涨，因为结论是自己研究出来的很清晰，于是就有解题的欲望，说明他们的确是极积的投入了思考的；第四，为以示民主平等，学生回答问题时就是坐在自己的座位上没有要求他们起立，也没有严格说某一个学生回答，有的同学是想到什么就说什么，没有顾忌。
在这样一种民主互动和谐的氛围中培养了学生乐思、进取、探究的精神。
反思：
当然，这节课也存在值得商榷的地方，一是让学生找其它几个图形中线段，等积，本是想让学生进一步熟悉定理的内容，但是否显得多余；二是这节课的难度不大，虽然这样有利于学生思维的培养，但是解题训练是否可再加大力度；三是在提出的研究问题只是研究四条线段的长度的关系，是否也束缚了学生的思维，能否再发散点，如何发散；四是关于内分点和外分点需不需要引入，引入后可联系到切割线定理，有利于思维的连续性。
广大教师可根据授课对象在教学中还需进一步模索。
《两角和与差的余弦定理》教学视频切片研究
上海市实验学校金珉
我的案例：
公式的引入
我们非常熟悉一些特殊角的三角比，如
、
、
的三角比，而利用诱导公式，比如
与角
的关系，我们就可以很快知道像
、
这样的角的三角比．而另一方面，我们虽然容易发现
与特殊角
、
之间的关系，但是
的三角比我们却不能脱口而出．
比如
，那么
是否成立呢？
通过验证，得
．
在实际应用中，我们经常会遇到用α、β的三角比来表示α＋β、α－β的三角比的问题．一般地，
、
．那么
、
与
到底有怎样的关系？
——这就是我们今天一起要探究的问题．
对于这样的引入方式，提出“
是否成立”的思考，故意引导学生产生错误的联想，未免带来负迁移，而且给人感觉很牵强，一直觉得比较别扭，但是苦于找不到好的解决办法，所以最后自己的课上还是袭用了这一“别扭”的方式．
同课异构：
共享别人的智慧
同课异构神奇的地方就在于，当你觉得山穷水尽的时候，别人的智慧却令你拍案叫绝，下面这则引入片段，我觉得富有新意，而且很自然，拿来供参考．
引入：
角
是
锐角的情形
设
，则
，
分别为
为斜边构造
、
，
易得
，揭示下列关系：
，
，
．
．
解题：
思考：
如果角
是任意角，这个等式还成立么？
后记
通过这次的教学实践，我感到，要想提高教学水平，改善课堂效率，首先必须认真钻研教材，明确每节课“教什么”、“怎么教”．要从学生的最近发展区构建新知，架构认知的桥梁，过渡一定要自然．时时注意调动学生学习的积极性，充分体现学生的主体地位．不断提升自己课堂提问的水平，发挥教师的主导作用．
贯彻“以学生发展为本”的原则，是“二期课改”最根本的精神．只有把学生的发展放在心中，才是我们教学所要追求的，才能守住教学永远不应该改变的东西：
把学生放在心中，让学生在“教”与“学”中得到充分地、主动地发展．
探究学习在动能定理教学中的实践与反思
上海市南洋中学熊艺
建构主义理论的核心思想是知识不是被动的接受，而是认知主体积极建构。
探究式教学活动中，教师的作用是主导和参谋，从知识的传授者转变为学生发展的促进者，教师从主角转换为“平等中的首席”。
在教师指导下的以学生为主体的探究型学习，给予了学生自我发挥和自我展示的空间，激发了学生的学习兴趣，在学习活动过程中促使学生产生对科学知识的感悟。
近年来，有许多关于探究教学的理论和实践的研究。
下面是笔者在动能定理的备课教学活动进行探究教学的一些实践体会。
一、动能定理是否适合探究教学
大多数物理教师都是通过物体受到恒力的作用做匀变速运动的情景来推导出W总＝Ek2—Ek1，然后学生在其它情境中具体运用动能定理，这是高中物理的一贯教学方法，因为这种处理方法学生有牛顿运动定律和运动学知识的基础，而大量的例题又能使学生较快的掌握动能定理的运用方法，便于教学。
但这样也带来两个问题：
1、既然牛顿定律能解决的问题，何必引入新的概念、新的规律？
这样的处理方法容易让学生误以为物理知识是以牛顿定律为核心的数字游戏，其他概念和规律都能通过牛顿定律推导出来，这样的教学，实际上降低了动能定理的地位，模糊了动能定理的本来面目。
2、预设的物理情景没有让学生探求新知识、新规律的冲动。
一个物体的质量为ｍ，初速度为ｖ１，在与运动方向相同的恒力F的作用下沿光滑水平面发生一段位移s，速度增大到ｖ2，则：
1力F对物体所做的功多大?
②物体的加速度多大?
③物体的初速、末速、位移之间有什么关系?
④结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子?
就算是老师精心设计的问题式教学也不一定能使学生有强烈的学习冲动，因此后面动能定理的运用例题更是难以让学生在建构主义理论中掌握动能定理。
二、笔者的第一次探究教学实践
笔者第一次教学时使用的教案：
情景I引导学生分析水平和竖直方向上两个常见生活现象
通过设问1“F1赛车在刚启动的一段时间内，它的哪些物理量发生了怎样的变化？
”引导学生分析讨论，学生可能会提到v、s、a……等，教师在这里只需提取速度变化，从而引出动能的变化。
学生进一步理解动能的概念。
通过设问2“赛车的动能Ek=1∕2mv2为什么会变小？
”让学生具体分析赛车的受力情况，以及力对赛车的做功情况（判断正负功）。
学生进一步理解功的概念。
通过设问3“把一个小物体拿到一定高度后静止释放，忽略空气阻力，物体将做什么运动？
在这一运动过程中，它的速度、动能将怎样变化？
为什么？
”让学生具体分析物体在运动过程中的受力情况，以及力对物体的做功情况，并判断是正功还是负功？
学生初步感受动能变化与外力做功的定性关系。
教师总结：
通过前面的学习已经知道，物体运动过程中，动能会变化，同时有外力在做功，那么力做功与物体动能改变大小之间有什么关系呢？
大于，等于，或者是小于？
这节课从最简单的情况入手：
恒力做功（限定两个条件：
1、物体受恒定外力作用，2、物体做直线运动。
）设计实验来探究恒力做功与物体动能改变大小的定量关系。
情景II一、探究恒力做功与物体动能改变的关系：
（一）提出问题
需要测量哪些物理量？
怎样根据探究内容来设计适当可行的实验方案？
（用什么方法、器材、实验装置等）
（二）讨论、设计实验方案
学生交流讨论设计方案，老师给一定的指导，点拨。
讨论出的可行方案：
用验证牛顿第二定律的装置
通过设问4“怎样确保小车在运动过程中受恒定的外力作用？
如何平衡摩擦力？
如何测量F、S、M、V1、V2等物理量。
”让学生确定实验方案中的每一个步骤以及要解决的问题。
通过设问5“运动过程中除了小车的动能增加之外，还有那一个物体动能在增加？
”引导学生将小桶及砝码的动能变化也考虑进去，从而避免由此产生的误差。
（三）学生分组实验，记录并分析数据
通过实验探究，学生锻炼动手操作能力，培养对实验原理和方法的迁移能力和利用已知知识解决实际问题的能力。
（四）由实验数据得出结论：
误差允许的范围内，外力做的功等于物体动能的变化量。
（五）评估：
对学生实验中好的方面和不妥有待改进的地方，进行评估。
（先让学生自己评估，教师再总结）
（六）交流与讨论：
实验探究恒力做功与物体动能变化的关系，领会科学探究的过程和探究的主要方法，初步认识动能定理。
情景III利用多媒体设置情景，让学生根据牛顿第二定律和运动学公式推导出实验结论。
二、根据牛顿第二定律和运动学公式推导出实验结论。
一个物体的质量为ｍ，初速度为ｖ１，在与运动方向相同的恒力F的作用下沿官话水平面发生一段位移s，速度增大到ｖ2，求外力做的功与物体动能变化量之间的关系。
①力F对物体所做的功多大?
（W＝Fs）
②物体的加速度多大?
a＝
③物体的初速、末速、位移之间有什么关系?
④结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子?
⑤在学生推导的过程中挑选并在投影仪上评析：
通过动能定理的演绎推导，感受成功的喜悦，培养对科学研究的兴趣。
三、实践后的反思
首先、在新课程的教学实践中，我们发现如何用好探究教学法还存在着许多问题。
例如：
大家都知道探究教学一般有5个阶段：
提出问题与猜想假设—设计方案—实验分析论证—评估—交流与讨论，每一个阶段学生在学习活动过程中都会提出许多的问题，而教师也会提出一些问题引导学生进行探讨，这种相对开放、自由的课堂教学环境一方面有利于调动学生自主学习的的主动性和积极性，激发学生探究和创新的愿望，给学生较大的自主发展空间。
但另一方面，如果5个阶段都作为教学的重点的话，教师就会疲于回答学生的一个又一个问题；还有些在探究过程中生成的问题只是学生感兴趣的内容，不一定是教科书上的内容，也不一定是教师的专长，对教师而言可能也是全新的东西，教师也需要思考的时间。
因此，研究物理教学中哪些课题适合进行科学探究、一个课题该把探究的哪一阶段作为重点、一个课题的探究过程到底适合提高学生的哪一种能力就成为新课程课堂教学实施中十分重要的问题。
其次、在探究的方案设计讨论时，学生从水平面、竖直平面、斜面三个方面入手，在竖直方向的讨论中，学生提出让物体做自由落体运动，求出末速度来验证mgh=Ek2—0,在求末速度的时候已经用到v2=2gh，可见，学生的设计方案中涉及的问题肯定要用牛顿定律解决，而动能定理本来就是由牛顿定律推导而来，因此，动能定理中方案的设计讨论就失去了它的意义，教师不如直接给定一个事先设计好的方案。
第三、如果设计方案由教师制定，实验的数据分析无论怎样都应该得出W总＝Ek2—Ek1的结论，在学生推导出动能定理后会感觉本堂课的探究实验没有什么收获，因此如何用好探究实验成为本堂课成败的关键。
反思之后，我们设计为还是先推导出动能定理，然后学生用教师设计好的实验进行验证，最后在误差分析中学会运用动能定理。
用实验验证动能定理显然能够激发学生的学习兴趣，尤其是在发现该实验中的W并不等于Ek2—Ek1，而且还有很大的误差时，激发了学生的学习动因，调动了学生学习的热情。
这才是符合学生认知规律的、行之有效的教学方式。
第四、实际教学的最终目的是学生能够实际运用动能定理，这种在探究的误差分析中指出运用动能定理需要注意的地方是学生自己找出来的，因此一定会印象深刻，更能突出本节课的重点和亮点所在。
四、反思后的实践
引入部分：
通过前面的学习我们知道做功是改变能量的一种方式。
F1赛车依靠强大的发动机做功能在短时间内使赛车获得很大的动能；放孔明灯时重力对灯做负功灯的重力势能增加；射箭时拉弓的过程中人对弓做功弓的弹性势能增加。
今天我们要讨论的主题是外力做功与物体动能变化之间的关系---动能定理。
与原教学设计的对比：
变得更加简洁，联系实际直入主题，即让学生觉得有趣，又使学生对新课产生兴趣。
一、根据牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理
与原教学设计的对比：
在预习的基础上，学生基本上能运用已学的知识自己推导出动能定理，教学中我先强调了动能定理在高中物理中的重要地位，然后请同学推导，这样，激发了学生的兴趣，而且许多同学因为自己会推导动能定理而处于一种成功的愉悦之中。
然后，我提出用DIS实验来验证动能定理这样一个有挑战性的学习任务，很多同学都跃跃欲试，失课堂处于积极主动的学习状态。
二、用DIS实验来验证动能定理
1、提供的实验器材
位移发射器、位移接收器、数据采集器、计算机、滑板轨道、小车（0.2kg）、铁片（每片0.05kg）、小桶（0.005kg）、砝码。
2、实验设计以及需要测量的物理量。
FS=1/2MVt2-1/2MV02
1）小车所受的拉力近似等于桶和砝码的重力。
（F=mg）
2）通过改变铁片数量改变小车的质量M
3）由DIS实验得到V0、Vt、S
3、实验步骤。
1）记录小车与铁片的总质量M
2）记录小桶与砝码的总质量m（F=mg）
3）准备DIS实验仪器（专用软件，v-t图像）
4）释放小桶，记录数据，选择区域，记录V0、Vt、t的值
5）将记录的数据输入到表格中处理
物理量
组数
M
kg
m
kg
V0
m/s
Vt
m/s
t
s
S
m
F.S
N.m
ΔEk
J
1
0.4
0.02
2
0.35
0.02
3
0.35
0.01
4、学生分组实验，记录并分析数据
5、交流实验结果
与原教学设计的对比：
直接给定实验的仪器、方法、步骤，学生的主要任务是熟悉实验的操作步骤，而不是实验设计。
同时，实现将设计的表格输入学生的电脑，学生只需输入实验的到的数据，就可得到结果。
这样也使得课堂节奏紧凑，没有浪费时间在大量的计算上面。
6、讨论分析实验结果
1）因为选择的研究过程不同而导致的数据不同。
实验中在M=0.4kgm=0.02kg时，每一组都有不同的V0、Vt、t、S数据，原因是他们选择的研究过程不同，因此，以后碰到物体做多段运动时更要明确研究的是哪一段。
应用动能定理时注意：
明确所研究的物理过程。
2）外力对物体所做的功应该是指合外力的功或外力做功之和，而不是某个力做的功。
实验中的w求的是拉力的功，实际上物体还受到摩擦力，因此物体的总功应该还有摩擦力做的功。
有些同学还分析出实验时绳对车的拉力可能没有调节到与轨道平行，导致拉力的功不是Fs,而是Fs*cosα。
应用动能定理时注意：
分析物体的受力情况，明确各个力是否做功，做正功还是做负功，进而明确合外力的功。
3）由F=mg引起的误差分析
以M为研究对象列动能定理的表达式
FS-fS=1/2MVt2-1/2MV02
若F=mg，小桶应该作匀速运动，实际上小桶作匀加速直线运动。
学生思考若以小桶为研究对象该如何列动能定理的表达式时，把M和m的受力混淆了，正确的表达式是：
mgS-FS=1/2mVt2-1/2mV02
应用动能定理时注意：
明确研究对象
与原教学设计的对比：
实验中误差的分析学生本来就很重视，很想知道为什么会出现误差，这里以误差的分析来加强学生对动能定理的理解，使得教师在强调动能定理应用的注意事项时，学生会由自己的实践得出印象深刻的结论。
物理规律的教学是中学物理教学的重要内容，如何进行物理规律的教学研究，关键在于理解新规律引入的目的以及它的内涵和外延，这样才能选择适当的符合学生
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