二、人造卫星的变轨问题
例2 如图2所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
图2
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P点时的速率小于它在轨道3上经过P点时的速率
解析 同步卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
G＝m，v＝
因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3
在Q点，卫星沿着圆轨道1运行与沿着椭圆轨道2运行时所受的万有引力相等，在圆轨道1上引力刚好等于向心力，即F＝.而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供卫星以v2速率做匀速圆周运动时所需的向心力，即F＜，所以v2＞v1.
卫星在椭圆轨道2上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率v2′＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运行与沿着圆轨道3运行时所受的地球引力相等，但是卫星在椭圆轨道2上做近心运动，说明F′＞m，卫星在圆轨道3上运行时引力刚好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3.
由以上可知，速率从大到小排列为：
v2＞v1＞v3＞v2′
答案 D
[总结提升]
1．卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．
（1）当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．
（2）当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．
以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据．
2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同．
针对训练2 继“天宫一号”空间站之后，我国成功发射“神舟八号”无人飞船，它们的运动轨迹如图3所示．假设“天宫一号”绕地球做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G.则下列说法正确的是（ ）
图3
A．在远地点P处，“神舟八号”的加速度比“天宫一号”的大
B．根据题中条件可以计算出地球的质量
C．根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小
D．要实现“神舟八号”与“天宫一号”在远地点P处对接，“神舟八号”需在靠近P处减速
答案 B
解析 根据a＝G可知，不同的地球卫星经过同一点时的加速度相同，所以选项A错误．根据万有引力提供向心力可得G＝mr，解得M＝，可见，已知“天宫一号”绕地球做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，可计算出地球的质量，选项B正确．因为不知“天宫一号”的质量，所以根据题中条件计算不出地球对“天宫一号”的引力大小，选项C错误．要实现“神舟八号”与“天宫一号”在远地点P处对接，“神舟八号”需在P处点火加速，选项D错误．
三、双星问题
例3 如图4所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是（ ）
图4
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
综上所述，选项C正确．
答案 C
[总结提升]
1．双星问题的特点
（1）两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
（3）两星的运动周期、角速度相同．
（4）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
2．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
针对训练3 如图5所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G，求（其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期）．
图5
答案
解析 设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB.则rA＋rB＝L，对星球A：
G＝mArA，对星球B：
G＝mBrB，联立以上三式求得＝.
1．地球同步卫星“静止”在赤道上空的某一点，它绕地球运行的周期T1与地球自转的周期T2之间的关系是（ ）
A．T1＜T2B．T1＞T2
C．T1＝T2D．无法确定
答案 C
解析 地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同，它们的角速度也相等，故C正确．
2.如图6所示，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ）
图6
A．v1＞v2＞v3B．v1＜v2＜v3
C．a1＞a2＞a3D．a1＜a3＜a2
答案 D
解析 卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，即r越大，则速度越小，所以v3＜v2.q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，选项A、B均错误．由G＝ma，得a＝，同步卫星q的轨道半径大于近地资源卫星p的轨道半径，可知q的向心加速度a3＜a2.由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q轨道半径大于e的轨道半径，根据a＝ω2r可知a1＜a3.根据以上分析可知，选项D正确，选项C错误．
3.（多选）肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图7所示，在距月球表面100km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是（ ）
图7
A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长
B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长
C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大
D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等
答案 AD
解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．
4.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为，质量为M的恒星和质量为m的行星（M＞m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如图8所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．
图8
（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v.
答案 见解析
解析
（1）恒星运动的轨道和位置大致如图．
（2）对行星m：
F＝mω2Rm①
对恒星M：
F′＝Mω2RM②
根据牛顿第三定律，F与F′大小相等
由①②得：
RM＝a
对恒星M：
＝G
代入数据得：
v＝
一、选择题（1～7为单项选择题，8～10为多项选择题）
1．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小相等
D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零
答案 C
解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，故C项正确；根据牛顿第二定律，有：
G＝m1ω2r1＝m2ω2r2
其中：
r1＋r2＝L
故r1＝L
r2＝L
故＝＝
故质量大的天体线速度较小，故A错误；
若在圆心处放一个质点，合力：
F＝G－G＝（－）≠0，故D错误．
2．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是（ ）
A．a与c的线速度大小之比为
B．a与c的线速度大小之比为
C．b与c的周期之比为
D．b与c的周期之比为
答案 D
解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度之比为，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π可得，二者周期之比为，选项C错误，D正确．
3．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比（ ）
A．轨道半径变小B．向心加速度变小
C．线速度变小D．角速度变小
答案 A
解析 由G＝m知T＝2π，变轨后T减小，则r减小，故选项A正确；由G＝ma知r减小，a变大，故选项B错误；由G＝m知v＝，r减小，v变大，故选项C错误；由ω＝知T减小，ω变大，故选项D错误．
4．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2之间的距离为r，已知万有引力常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有
G＝m12r1，得m2＝.
5．如图1，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是（ ）
图1
A．a2>a3>a1B．a2>a1>a3
C．a3>a1>a2D．a3>a2>a1
答案 D
6.a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星，c是地球同步卫星，已知c到地心距离是b的二倍，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图2所示），经48h，a、b、c的大致位置是图中的（ ）
图2
答案 B
解析 在某时刻c在a的正上方，则以后永远在a的正上方，对b和c，根据G＝mr，推知Tc＝2Tb，又由2Tc＝nbTb，得：
nb＝2×2≈5.66圈，所以B正确．
7.如图3所示是“嫦娥三号”环月变轨的示意图．在Ⅰ圆轨道运行的“嫦娥三号”通过变轨后绕Ⅱ圆轨道运行，则下列说法中正确的是（ ）
图3
A．“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的线速度大于在Ⅱ轨道的线速度
B．“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的角速度大于在Ⅱ轨道的角速度
C．“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期
D．“嫦娥三号”由Ⅰ轨道通过加速才能变轨到Ⅱ轨道
答案 C
解析 “嫦娥三号”在Ⅰ轨道和Ⅱ轨道都做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G＝m＝mω2r＝mr，解得：
v＝，ω＝，T＝2π，因r1>r2，因此“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的线速度小于在Ⅱ轨道的线速度，“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的角速度小于在Ⅱ轨道的角速度，“嫦娥三号”在Ⅰ轨道的运行周期大于在Ⅱ轨道的运行周期，故A、B错误，C正确；由高轨道变轨到低轨道做近心运动，需要万有引力大于向心力，所以由Ⅰ轨道通过减速才能变轨到Ⅱ轨道，故D错误．
8.如图4是地球的四颗不同的卫星，它们均做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）
图4
A．四颗卫星的轨道平面必过地心
B．近地卫星的周期可以大于24小时
C．同步卫星可以和月亮一样高
D．理论上极地卫星可以和同步卫星一样高
答案 AD
解析 由于万有引力充当向心力，所以四颗卫星的轨道平面必过地心，故A正确；同步卫星的周期是24小时，近地卫星的周期小于24小时，故B错误；月亮的周期是27天，同步卫星周期是24小时，轨道高度不同，故C错误；理论上极地卫星可以和同步卫星一样高，故D正确．
9.如图5所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（ ）
图5
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a加速可能会追上b
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大
答案 BD
解析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等．又由b、c轨道半径大于a轨道半径，由v＝可知，vb＝vc＜va，故选项A错；当a加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切（或相交），且a、b同时来到切（或交）点时，a就追上了b，故选项B正确；当c加速时，c受的万有引力F＜m，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b减速时，b受的万有引力F＞m，它将偏离原轨道，做向心运动，所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故选项C错（对这一选项，不能用v＝来分析b、c轨道半径的变化情况）；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝可知，r减小时，v逐渐增大，故选项D正确．
10.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统．其中有一种三星系统如图6所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G.则（ ）
图6
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案 AC
解析 任意两个星体之间的万有引力F＝，每一颗星体受到的合力F1＝F
由几何关系知：
它们的轨道半径r＝R①
合力提供它们的向心力：
＝②
联立①②，解得：
v＝，故A正确；
由＝
解得：
T＝2π，故C正确；
角速度ω＝＝，故B错误；
由＝ma
得a＝，故加速度与它们的质量有关，故D错误．
二、非选择题
11．已知地球的半径是6.4×106m，地球的自转周期是24h，地球的质量是5.98×1024kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
（1）地球同步卫星的轨道半径r；
（2）地球同步卫星的环绕速度v的大小，并与第一宇宙速度比较大小关系．
答案
（1）4.2×107m
（2）3.1×103m/s 小于第一宇宙速度
解析
（1）根据万有引力提供向心力得；
＝mω2r，ω＝，则r＝
＝m
≈4.2×107m.
（2）根据＝m得：
v＝＝m/s≈3.1×103m/s＝3.1km/s＜7.9km/s
12．“嫦娥三号卫星”简称“嫦娥三号”，专家称“三号星”，是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫星．若“三号星”在离月球表面距离为h的圆形轨道绕月球飞行，周期为T1.若已知地球中心和月球中心的距离为地球半径R的n倍，月球半径为r，月球公转周期为T2，引力常量为G.求：
（1）月球的质量；
（2）地球受月球的吸引力．
答案
（1）
（2）
解析
（1）设“嫦娥三号”的质量为m，其绕月球做圆周运动的向心力由月球对它的吸引力提供
G＝m·2·（r＋h）
得M月＝
（2）由题意知，地球中心到月球中心的距离为nR.
月球做圆周运动的向心力等于地球对月球的吸引力，即
F＝M月2·nR
由牛顿第三定律，地球受月球的吸引力
F′＝F＝M月·2·nR＝.
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