高考综合复习万有引力和天体运动专题doc.docx
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高考综合复习万有引力和天体运动专题doc
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生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔
高考综合复习：
万有引力和天体运动专题
●知识网络
●高考考点考纲要求：
知识点
要求
说明
万有引力定律
Ⅱ
万有引力定律的应用，人造地球卫星的运动（限于圆轨道）
Ⅱ
宇宙速度
Ⅰ
历年实测：
年份
试卷类型
题号
知识点
能力
分值
题型
2001
天津理综
31
重力和万有引力
理解分析综合推理
28
计算题
2001
北京春季
18
万有引力定律
理解分析综合推理
12
计算题
2001
上海物理
4
万有引力定律
理解推理
5
选择题
2003
北京春季
20
同步卫星知识
理解推理
6
选择题
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2003
江苏物理
14
人造卫星的基本知识
理解分析综合推理
12
计算题
2003
全国理综
24
万有引力定律
理解分析综合推理
15
计算题
2004
上海物理
3
人造卫星的基本知识
理解推理
5
选择题
2004
北京理综
20
重力和万有引力
理解推理
6
选择题
2004
江苏物理
4
人造卫星的基本知识
理解推理
4
选择题
2004
广东物理
16
同步卫星知识
理解分析综合推理
16
计算题
2004
全国理综1
23
重力和万有引力
理解分析综合推理
16
计算题
2004
全国理综3
17
天体运动的基本关系
理解推理
6
选择题
2004
北京春季
24
人造卫星的基本知识
理解分析综合推理
16
计算题
2004
上海春季
27
圆周运动的基本知识
理解推理
3
选择题
2004
上海春季
28
重力和万有引力
理解推理
3
填空题
2005
豫冀皖闽浙等十省理综
16
天体运动基本关系
理解推理
6
选择题
2005
黑蒙桂理综
28
天体运动基本关系
理解推理
6
选择题
2005
云甘贵渝川理综
21
天体运动基本关系
理解推理
6
选择题
2005
北京理综
20
天体运动基本关系
理解推理
6
选择题
2005
天津理综
21
天体运动基本关系
理解推理
6
选择题
2005
江苏物理
5
天体运动基本关系
理解推理
4
选择题
2005
广东综合
27
天体运动基本关系
理解推理
3
选择题
2005
广东物理
15
天体运动基本关系
理解推理
3
选择题
复习指导：
从近五年的高考试题来看，对人造地球卫星和天体的运动考查频率很高，也就是对万有引力定律和圆周运动结
合起来进行考查，题型有选择题和计算题，05高考中，至少有5道理综试题涉及天体运动方面的运算，广东物理第
15题则将理论和方法考查综合在一起。
另外与其他学科综合以及与新的前沿知识联系起来命题也是题目的一大特点。
本考点为高考每年的必考内容，由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，有关人造卫星问题的考查频率会越来越高，加上载人航天的成功和中国的探月计划的实施，这些都是命题的热点内容，估计将要以此为背景进行命题。
●要点精析☆重力和万有引力
重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。
物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般
可认为二者大小相等，即（黄金代换式），式中g0为地球表面附近的重力加速度，R0为地球的半
径．所以在求第一宇宙速度时，可以用，也可以用☆星球表面及其某一高度处的重
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力加速度的求法：
1．地球表面的重力加速度：
由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的
重力就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g。
则根据万有引力定律（R0为地球
的半径）。
该式也适用于其他星体表面。
2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律：
（R0为地球的半径）
☆随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度
放于地面上的物体随地球自转所需的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的
卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供．两个向心力的数值相差很多，如质量为1kg的物体在赤道上随地球
自转所需的向心力只有0.034N，而它所受地球引力约为9.8N。
对应的两个向心加速度的计算方法也不同，譬如放
于赤道上的物体随地球自转的向心加速度，式中T为地球自转周期，R0为地球半径；卫
星绕地球环绕运行的向心加速度，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。
☆万有引力和天体运动：
1．基本方法：
把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即：
，应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。
2．天体质量M、密度ρ的估算：
测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，由得：
，
（当卫星绕天体表面运动时，）
3．卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：
（1）由得：
，即；（r越大，v越小）
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（2）由得：
，即；（r越大，ω越小）
（3）由得：
，即；（r越大，T越大）
则
说明：
①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期
v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。
T、向心加速度
a存在一一对应关系，一旦
r确定，
②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度
变大，线速度
a增大。
v、角速度ω、向心加速度
a变小；若半
4．运行速度和发射速度：
对于人造地球卫星，由得：
，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速
度，其大小随轨道半径的增大而减小。
但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。
宇宙速度就是常见的发射速度：
（1）第一宇宙速度（环绕速度）：
v＝7.9km／s；（地球卫星的最小发射速度）
（2）第二宇宙速度（脱离速度）：
v＝11.2km／s；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：
v＝16.7km／s．（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）
5．卫星的变轨问题：
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。
由得：
，
由此可知轨道半径r越大，卫星的速度越小。
当卫星由于某种原因速度突然改变时，F和不再相等，因此就
不能再根据来确定r的大小。
当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动．
6．地球同步卫星：
（1）所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，
T＝24
小时．
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（2）同步卫星必位于赤道上方h处，且h是一定的。
证明如下：
如图假设卫星在轨道B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F引，
F引中除用来作向心力的F1外，还有另一部分F2，由于F2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。
由
得：
（ω
为地球自转的角速度）
0
得h＝r－R0＝35800km是一个定值。
（3）环绕速度：
在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为v＝3.08（km／s）
（4）变轨道发射：
发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图：
首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道（A）；当到达赤道上
空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35800km；
当到这远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C。
这种发射方法有两个优点：
一是对火箭推力要
求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。
●精题精讲例题1.一火箭内的实验平台上放有测试仪器，火箭启动后以加速度g／2竖直加速上升，达到某高
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度时，测试仪器对平台的压力减为启动前的17/18，求此时火箭距地面的高度。
（取地球半径R=6.4×103km）
解析：
在分析物体受力时，要根据具体情况来确定万有引力的影响，本题中，物体所受的万有引力和平台对其支持力的合力是改变物体运动状态的原因，研究方法与动力学分析问题的方法相同。
分析仪器受力情况：
启动前，仪器是在地面处，所受地球引力亦即重力，此时仪器处于平衡状态，则有：
到达待求高度时仪器受到地球引力设为F2，则：
设此时平台支持力为FN2，对仪器由牛顿第二定律有：
由题给条件：
由以上各式可得
解得．
点评：
天体运动问题也涉及到“超重”和“失重”现象。
例如当卫星进入预定轨道前加速上升以及卫星返回地面时减速下降，卫星上的物体处于“超重”状态，与地面上的升降机里情况完全相同。
进入轨道后只在地球引力作用下做圆周运动时，则出现“完全失重”，此时，卫星或卫星上的物体所受地球引力全部作为环绕地球运动的向心力，因而不会产生与其他物体挤压、拉伸等形变效果。
因此，卫星所携仪器凡工作原理与重力作用效果有关的，在卫星上均无法使
用，如天平、水银气压计等。
例题2.把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108km，已知万有引力常量G＝6.67×10
－11N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？
（结果取一位有效数字）
解析：
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题干给出地球轨道半径：
r＝1.5×108km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：
地球绕太阳公转一周为365天，故周期T＝365×24×3600＝3.15×107s
万有引力提供向心力
故太阳质量：
点评：
本方法利用的是卫星运动的有关参量（如
r，T），求出的质量
M是中心天体的，而不是卫星本身质量，同学
们应切记这一点。
本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：
在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四会五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。
例题3.某人造卫星距地面
h米，地球半径为R、质量为M，地面重力加速度为
g，万有引力恒量为G．
（1
）分别用h、R、M、G表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。
（2
）分别用h、R、g表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。
解析：
（1）根据向心力来自万有引力得：
得：
，，
（2）卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg：
由得到代入得
，点评：
在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用，如在地球表面物体受到地球的引力近似
等于重力，地面附近的重力加速度g＝9.8m/s；地球自转周期T＝24h，公转周期T＝365天，月球绕地球运动的周期约为30天等。
有些基本常识，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用，如物体在地球表面受到地球的引力近似等于物体重力，地球自转周期T＝24小时，地球公转周期T＝365天。
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例题4.如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：
（）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的
c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
解析：
因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a轨道半径，由
知vb＝vc＜va，故A选项错；由加速度，可知ab＝ac＜aa，故B选项措；
当c加速时，c受的万有引力，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力
，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近，所以无论如何c追不上b，b也等不到c，故C选项错；对这
一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况；
对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运
行，由知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。
答案：
D
点评：
稳定运行的卫星速度变化时，轨道半径会相应地变化，这种情况下速度变化是轨道半径变化的原因，速度变大，使轨道半径变大，速度减小，使轨道半径减小。
而不同轨道半径上稳定运行卫星的速度与轨道半径不是这样的关系，稳定运行速度随半径的增加而减小。
要注意区分两种情况。
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例题5.地球同步卫星到地心的距离
r可由
求出。
已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单
位是m／s2，则：
（
）
A．a是地球半径，
b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度；
B．a是地球半径，
b是同步卫星统地心运动的周期，
c是同步卫星的加速度
C．a是赤道周长，
b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度；
D．a是地球半径，
b是同步卫星绕地心运动的周期，
c是地球表面处的重力加速度
解析：
本题题目设计新颖，考查学生对有关同步卫星知识掌握的情况以及逻辑推理、等效变换、分析类比等能力．
由，可得：
①与题干中给出的相比需再做进一步处理。
考虑到c的单位是m／s2，是加速度的单位，于是引入重力加速度：
②②式中g为同步卫星的加
速度，r为同步卫星到地心距离，由①②两式可得，进而得，显然与选项不符。
引入地球表面处的重力加速度g0
③由①③可得
与
相比，形式相
，
同，并且符合选项中的要求。
对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期相同。
答案：
AD
点评：
此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解。
要结合同步卫星的知识进行推导，推导
的方向是既要符合题目中给出的形式，又要符合选项的要求。
在推导的过程中思路要清晰，量纲要相
符、形式要相同，表面上看是一件很难的事，其实只要试几次即可。
例题6.2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已和地球的半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力
加速度g（视为常量）和光速c。
试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间。
（要求用题给的已知量的符号表示）
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解析：
本题是结合现代科技前沿的实际问题，考查学生多方面的知识和能力。
考查的知识有：
有关同步卫星的概念和
知识、万有引力定律与匀速圆周运动的动力学方程、重力加速度g的决定因素、光的传播等物理内容；与地理的结合，考查地理经、纬度的概念等。
在考查能力方面着重考查学生的空间想象能力、物理问题转化为数学模型的能力
及数学计算能力等。
设：
地球的质量为M，卫星的质量为m，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，
由万有引力定律和牛顿定律有：
，式中G为万有引力恒星，
因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有
因得GM＝gR2
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示：
由余弦定理得
所求时间为
由以上各式得
点评：
实际中的问题不是依靠背一两个定律或公式就能解决的，遇到问题首先要在头脑中建立起能反映题目所描述物
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理情景的空间图景，再把这三维空间图变成可画在纸上的二维图，这一步是解本题的关键，也是对学生空间想象能力的考查。
如果画不出二维图，不可能利用余弦定理得到嘉峪关到卫星的距离与其他量的关系，解物理题往往离不开作图，要有这方面的意识和养成作图的习惯。
其次是对题目叙述的情景和过程进行深入分析，情景和过程分析清楚了，需要哪些规律和公式也就明确了，特别是对较为复杂的物理过程，更要在分析过程上下功夫，只有真正把过程分析清楚、分析透彻了，才能保证解题方法正确。
拓展：
某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。
试问，春分
那天（太阳光直射赤道）在日落后12h内有多长时间该视察者看不见此卫星？
已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
解析：
设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，则根据万有引力定律和圆周运动的知识有：
①
②由①②两式可得卫星到地心的距离：
③春分时，
太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆
E表示赤道，
S表示卫星，
A表示观察者，
O表示地心，
由图可知当卫星
S绕地心
O转到图示位置以后
（设地球自转是沿图中逆时针方向）
，其正下方的观察者将看不
见它。
据此再考虑到对称性有：
④又
⑤由以上各式解得：
例题
7.两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，
绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，
观测得两星
中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
解析：
设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为和
。
由万有引力定律和圆周运动知识及几何条件可得：
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对M1：
，得
对M2：
，得
两星球的总质量为：
对于“双星模型”一定要记住角速度相等。
点评：
例题8.在勇气1号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。
假设
着陆其第一次落到火星地面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为
火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为
视为半径为r0的均匀球体。
v0，求它第二次落到
r，周期为T，火星可
解析：
以g’表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m’表示为卫星的质量，m表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和圆周运动的知识可得：
①
②由①②两式得：
③以v表示着陆器第二次落
到火星表面时的速度，根据机械能守恒定律有：
④由③④两式得点评：
这题涉及万有引力定律、平抛运动（用机械能守恒定律处理）和卫星的圆周运动，是一个综合“天上”和“地面”
的问题，处理这样的问题，要掌握好卫星环绕中心天体的运动规律和物体只受重力时的运动规律，同时要注意应用
联系“天上”和“地面”的公式：
（黄金代换式）。
例题9.
已知万有引力常是
G，地球半径
R，月球和地球之间的距离
r，同步卫星距地面的高度
h，月球绕地球
的运转周期
T1，地球的自转周期
T2，地球表面的重力加速度
g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量
M
的方法：
同步卫星绕地心作圆周运动，由得
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地质量的方法并解得结果。
解析：
（1）上面结果是错误的，地球的半径
R在计算过程中不能忽略。
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正确的解法和结果：
得
（2）方法一；对月球绕地球作圆周运动，由，得
方法二：
在地面重力近似等于万有引力，由，得点评：
物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所有物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算。
物理估算是一种重要的方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确的计算，在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法。
估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要
求我们灵活地运用一些物理常数，如：
重力加速度g、圆周率π、万有引力常量G等等。
拓展：
1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。
根据你学过的知识，
能否知道地球密度的大
小。
解析：
实际本题是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键，而我们学过的知识中能与地球质量密度相
联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提出了“卡文迪许”呢？
设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，
根据万有引力定律得：
①将
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