完整版初中数学知识点初二数学下册.docx
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完整版初中数学知识点初二数学下册
初中数学知识点：
初二数学（下册）
第十六章分式
从分数到分式
A....
1.分式的定乂：
如果A、B表示两个整式，并且B中含有子母，那么式子△叫做
B
A.一..一..
分式。
分式一中，A是分子，B是分母。
B
分式的分母表示除数，由丁除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B冬
...A•,、
0时，分式一才有怠义。
B
（分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零）
分式的基本性质
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘或除以一个不等丁0的整式，分式的
值不变。
用式子表示如下：
AACAAC一.一.，
-二-—（C冲）其中A,B,C是整式
BBCBBC
2.分式的约分：
利用分式的基本性质，
与分数的蛇分类侃,在例2（I）中.我们利用分式的基奉性腹,约去
-hS-的分子和分母的公齿式小不改变分式的值.使一%方—、，这
1—女x二一&
厚的分试变形山做分式的的分（rtductipndnfaction）*卷过约分后的分式
冬，其分子与分母没有公因式.惊这祥分于与分厂
母没有公因式的分式.叫分式《Mg标竺?
_/
［眼削w顽.同裙也乂丘E械的分成々n.<5^~*l
UJT
足聚筒分式
IrdViiomto巳ooimijondtnairjuiatur
分式的运算
分式的乘除
1.分式乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母
分式除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相
dad
cbc
acacaca
--一，---
bdbdbdb
上述法则可以用式子表示:
股地，当n为正整数时
分式的加减分式的加减法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分
式相加减，先通分,
变为同分母分式，然后再加减。
上述法则可用以下式子表示:
adbcadbc
bdbdbd
混合运算:
运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算
整数指数籍
.任何一个不等丁零的数的零次籍等丁1,即a01（a0）;当n为正整数时，
an二（a0）a
正整数指数籍运算性质也可以推广到整数指数籍.（m,n是整数）
（1）同底数的籍的乘法：
amanamn;
（2）籍的乘方：
（am）namn;
（3）积的乘方：
（ab）nanbn;
（4）同底数的籍的除法：
amanamn（a莉）；
naa
（5）冏的乘方：
（一）—（）;（b莉）
bb
分式方程
1.分式方程定义：
含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0,这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
解分式方程的步骤：
（1）能化简的先化简
（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方
程；（4）验根.
增根应满足两个条件：
一是其值应使最简公分母为0,二是其值应是去分母后
所的整式方程的根。
分式方程检验方法：
将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为
0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解
列方程应用题的步骤是什么？
（1）审；
（2）设；（3）列；（4）解；⑸答.
应用题有几种类型；基本公式是什么？
基本上有五种：
（1）行程问题：
基本公式:
路程=速度X时间而行程问题中乂分相遇问题、追及问题.
（2）数字问题在数字
数方法叫做科学记数法.
用科学记数法表示绝对值大丁10的n位整数时，其中10的指数是n1
用科学记数法表示绝对值小丁1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前
面0的个数（包括小数点前面的一个0）
第十七章反比例函数
反比例函数
反比例函数的意义
1.定义:
形如y=-（k为常数，k冲）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=kx
〜1尸
ykxyk-
x
反比例函数的图象和性质
1.图像：
反比例函数的图像届丁双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形乂是中心对称图形。
有两条对称轴：
直线y=x
和y=-x。
对称中心是：
原点。
2.性质:
当k>0时双曲线的两支分别位丁第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
当k<0时双曲线的两支分别位丁第二、第四象限，在每个象限内y值随
x值的增大而增大。
3.|k|的几何意义：
表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标
轴围成的矩形的面积。
4.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象
上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
1、反比例函数的概念
一般地，函数yk（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式x
也可以写成ykx1的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取
值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位丁第一、三象限，或第二、四象限，它们关丁原点对称。
由丁反比例函数中自变量x0,函数y0,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
图像
1x的取值范围是x0,
y的取值范围是y0;
2当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随x的增大而增大。
1x的取值范围是x0,y的取值范围是y0;
性质②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
4、反比例函数解析式的确定
k.
确正及块是的方法仍是每正系数法。
由丁在反比例函数y-中，只有一个每正
x
系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而
确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
k
如下图，过反比例函数y-（k0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,
x
PN,则所得的矩形PMON的面积S=PM?
PN=|y?
x|xy。
k._.
y—,xyk,Sk。
x
第十八章勾股定理
勾股定理
1.勾股定理:
命题1:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2。
勾股定理的逆定理
1.勾股定理逆定理：
如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
就是说，用三角形全等可以证明勾股定理的逆命题是正确的，它是一个定理，我们把这个定理叫勾股定理的逆命题
2.经过证明被确认正确的命题叫做定理
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命
题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）
3.直角三角形的性质
6、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等丁这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c有关系ab2c2,那么这个三角形是直角三角形。
7、命题、定理、证明
8、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们乂重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行丁第三边，并且等丁它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：
可以证明两条直线平行。
数量关系：
可以证明线段的倍分关系。
常用结论：
任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1:
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平■行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平■分。
结论5:
三角形中任意两条中位线的火角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
9数学口诀.
平方差公式：
平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全
公式相混淆。
完全平方公式：
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首土尾括号带平方，尾项符号随中央。
第十九章四边形
平■行四边行
平■行四边形的性质
1.平■行四边形定义：
有两组对边分别平■行的四边形叫做平■行四边形。
2.平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；平■行四边形的对角相等。
平■行四
边形的对角线互相平分。
平■行四边形的判定
3.平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平■行四边形
2.对角线互相平■分的四边形是
3.两组对角分别相等的四边形是平■行四边形;
4.一组对边平■行且相等的四边形是平■行四边形
三角形的中位线平■行丁三角形的第三边，且等丁第三边的一半直角三角形斜边上的中线等丁斜边的一半。
特殊的平■行四边形
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平■行四边形叫做矩形
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平■分且相等。
AC=BD
直角三角形斜边上的中线等丁斜边的一半
矩形判定定理：
1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.对角线相等的平'
行四边形是矩形。
3.
有三个角是直角的四边形是矩形。
19.2.2菱形
菱形的性质:
菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对
角线平■分一组对角
菱形的判定定理：
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的
平■行四边形是菱形。
3.四条边相等的四边形是菱形。
S菱形=1/2xab（a、b为两
条对角线）
19.2.3正方形
正方形定义：
一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形
正方形既是矩形，乂是菱形。
2.有一个角是直角的菱
正方形的性质：
四条边都相等，四个角都是直角
正方形判定定理：
1.邻边相等的矩形是正方形,
形是正方形
19.3梯形
梯形的定义：
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：
有一个角是直角的梯形
等腰梯形的定义：
两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：
等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相
等<
等腰梯形判定定理：
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
解梯形问题常用的辅助线：
如图
19.4课题学习重心
线段的重心就是线段的中点。
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。
三
..一八…一.5-1一
角形的三条中线交丁疑点，这一点就是三角形的重心。
宽和长的比是d1（约
2
为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
第二十章数据的分析
20.1数据的代表
20.1.1平均数
1.加权平•均数：
加权平均数的计算公式。
权的理解:
反映了某个数据在整个数
据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或白分比的形式出现及频数分布表求加权平■均数的方法。
20.1.2中位数和众数
1.中位数：
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个
数是奇数，则处丁中间位置的数就是这组数据的中位数（median）；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平■均数就是这组数据的中位数。
2.^L：
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
20.2.数据的波动
20.2.1极差
4.极差：
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差（range）。
20.2.2方差
1.方差：
方差越大,数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
2.平均数：
平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
20.3课题学习体质健康测试中的数据分析
7.数据的收集与整理的步骤：
1.收集数据2.整理数据3.描述数据4.分析数据5.撰写调查报告6.交流
1.解统计学的几个基本概念
总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定，准确把握教材，明确
所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问题的关键。
2.平均数
当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化平■均数公式Ua，其中a是取接近丁这组数据平均数中比较“整”的数；"所给一组数据中有重复多次出现的数据，常选用加权平均数公式。
3.众数与中位数
平■均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。
平■均数的大小与每
一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适。
中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。
4.极差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围,用
这种方法得到的差称为极差，极差=最大值-最小值。
5.方差与标准差
用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏
离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是
1
s2=n［（X1-k）2+（X2-云）2+--+（xn-K）2］；
方差是反映一组数据的波动大小的一个量，其值越大，波动越大，也越不稳定或不整齐。
学生出现的问题：
对“权”的意义理解不深刻，易混淆算术平均数与加权平■均数的计算公式。
采取的措施：
弄活权的含义和算术平均数与加权平均数的关系。
并且提醒学生再求平■均数时注意单位。
2平■均数、与中位数、众数的区别丁联系。
联系：
平■均数、中位数和众
数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数的应用最为广泛。
区别：
A平
均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动。
B中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响。
当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。
C众数主要研究个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数。
其中众数的学习是重点。
学生出现的问题：
求中位数时忘记排序。
对三种数据的意义不能正确理
解。
采取的措施：
加强概念的分析，多做对比练习。
3极差，方差和标准差。
方差是重难点，它是描述一组数据的离散程
度即稳定性的非常重要的量，离散程度小就越稳定，离散程度大就不稳定，也可称为起伏大。
极差、方差、标准差虽然都能反映数据的离散特征，但是，对两组数据来说，极差大的那一组方差不一定大；反过来，方差大的，极差也不一定大。
学生出现的问题：
由丁方差，标准差的公式较麻烦，在应用时常由丁粗心或公式不熟导致错误。
采取的措施：
注意方差是“偏差的平方的平均数”这一重要特征。
或使用计算器计算。
这些数据经常用来解决一些“选拔”、“决策”类问题。
中考中常常综合在一起考察。
第十六章分式
分式
从分数到分式
一、教学目标
1.了解分式、有理式的概念.
2.理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
二、重点、难点
1.重点：
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2.难点：
能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
三、课堂引入
1.让学生填写P4［思考］,学生自己依次填出：
10,空，200,v.
7a33s
2.学生看P3的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程
设江水的流速为x千米/时.
60小时,所以100=
3.以上的式子理,6\,
20v20v
20v20v20vs,v,有什么共同点？
它们与分数有什么相同as
点和不同点?
五、例题讲解
P5例1.当x为何值时，分式有意义.
［分析］已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x的取值范围.
［提问］如果题目为：
当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？
这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
（补京）例2.mm为何值时m2分式的值为0?
m1m3m1
（1）
（2）（3）
［分析］分式的值为0时，必须同满足两个条件：
1少母不能为零；2少子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
［答案］
（1）m=0
（2）m=2（3）m=1
六、随堂练习
1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式?
9x+4,7,J,
x20
（3）fH
2.当x取何值时,
（1）5
3.当x为何值时，分式的值为0?
（D
X21
X2~X
七、课后练习
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？
哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小
时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流
速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.
（3）x与y的差丁4的商是.
x21
2.当X取何值时，分或2无意义？
3.当x为何值时，分蚪「的值为0?
八、答案:
六、1.整式：
9x+4,
9y,
m2分式：
7,,_±_
20
5
xy2x9
3
2.
（1）x若2
（2）
&丰（3）
x^坦
3.
（1）
x=-7
（2）x=0
（3）x=-1
七、1.18x,
80,a+b,
s
土上；整式：
8x,a+b,J;
x
ab
4
4
分式：
80,
s
x
ab
3.x=-1
整式：
单项式和多项式统称为整式。
注意：
1.单独一个数或字母也是整式。
2整式中分母不能含有字母。
分式：
分母中含有未知数的式子
分式的基本性质
、教学目标
1.理解分式的基本性质.
2.会用分式的基本性质将分式变形.
、重点、难点
1.重点：
理解分式的基本性质.
2.难点：
灵活应用分式的基本性质将分式变形
三、例、习题的意图分析
1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.
2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：
约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次籍的积，作为最简公分母.
教师要讲活方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.
3.P11习题16.1的第5题是：
不改变分式的值，使下列分式的分子和分
母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分
子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.
“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含’-'号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.
四、课堂引入
.、-.315
1.请同学们考虑：
4与云相等吗？
寿与言相等吗？
为什么?
31593
2.说出4与元之间变形的过程，24与8之间变形的过程，并说出变形
依据？
3.提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.
五、例题讲解
P7例2.填空：
［分析］应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.
P11例3.约分：
［分析］约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，
使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.
P11例4.通分：
［分析］通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次籍的积，作为最简公分母.
（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.
虺，二，2m,jm,卫。
5a3yn6n4y
［分析］每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同
时改变，分式的值不变
6b_
6b
x
_x
2m_
.2m
5a
5a'
3y
3y'
n
n
7m-
7m
:
3x3x
—
6n
6n
0
4y4y
六、随堂练习
1.填空：
小2x2
⑵
33»3
6ab_3a
〜3一
8b
22
⑷
xy_xy
2=xy
（1）x^x=n
七、课后练习
1.判断下列约分是否正确:
（D
a
c
a
=—
b
（2）
x
1
b
c
2x
2y
xy
（3）
m
n
=0
mn
2.通分:
1一2
（1）―r和—T-
3ab27a2b
3.
不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.
八、答案:
六、1.
（1）2x
⑵4b
（3）
bn+n（4）x+y
2.（
1）2：
c
（2）
4mn
（3）
4z
（4）
-2（x-y）2
3.通分：
（1）
1_
5ac
2
_4b
2ab3—
10a2b3
c
c22
5abc
一10a2b3
c
（2）
a_
3ax
b_
2by
2xy
6x2y'
3x2-
O2
6xy
（3）
3c二
12c3
a
_ab
2ab2—
8ab2c2
8bc2
8ab2c2
（4）
1
y1
1
y1
y1=
（y1）（y
1）
y1=
（y1）（y
1）
3
4•⑴3：
b^
（2）
3a
17b2
（3）5a
13x
2（4）
（a
m
分式的运算
分式的乘除
（一）
一、教学目标：
理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算
二、重点、难点
1.重点：
会用分式乘除的法则进行运算.
2.难点：
灵活运用分式乘除的法则进行运算.
三、例、习题的意图分析
1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引
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