世界经典数学名题.docx
《世界经典数学名题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《世界经典数学名题.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
世界经典数学名题
鸡兔同笼
《孙子算经》卷下第31题叫“鸡兔同笼”问题，也是一道世界数学名题。
“有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是35，脚数是94。
问野鸡和兔子的数目各是多少？
”这个题目编得很有趣，如果35只动物全是鸡，就应该有70只脚；如果全是兔，就应该有140只脚，而题中却说共有94只脚，给人一种左右为难的印象。
其实，解题关键也正在这里，假设35只动物全是鸡，则共有70只脚，与题中“脚数是94”相比较，还差24只脚，将1只兔看作是鸡，脚数就会相差2，有多少只兔被看作是鸡了呢？
242=12。
算到这里，答案也就呼之欲出了。
清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说《镜花缘》中。
书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个。
一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用“脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数”的算法，很快就算出了一大二小的灯是120盏，一大四小的灯是240盏，赢得了一片喝彩声。
伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。
不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的“鹤龟算”。
狗跑与兔跳
行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题。
在我国古代数学名著《九章算术》里，收集了很多这方面的题目如书中第6章第14题：
“狗追兔子。
兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下来，这时它离兔子只有30步的距离了。
问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？
”这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的“速度差”，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。
2000年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（25030）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。
世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元8世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔的追及问题：
“狗追兔子，兔子在狗前面100英尺。
兔子跑7英尺的时间狗可以跑9英尺，问狗跑完多少英尺才能追上兔子？
”相传俄国女数学家科瓦列夫斯卡娅还在童年时，就算出了一道有关兔跳的趣味算题：
“一对兔兄弟进行跳跃比赛，兔弟弟说：
应该让它先跳10次，哥哥才可以起跳。
如果兔弟弟跳4次的时间兔哥哥能跳3次，兔哥哥跳5次的距离与兔弟弟跳7次的距离同样远，问兔哥哥要跳多少次才能追上呢？
”
婆什迦罗的妙算
婆什迦罗是12世纪印度最著名的数学家，他编的许多数学题被人称作“印度问题”，在很多国家广泛流传，如：
“某人对他的朋友说：
‘如果你给我100枚铜币，我将比你富2倍。
’朋友回答说：
‘你只要给我10枚铜币，我就比你富6倍。
’问两人各有多少铜币？
”就是其中一道著名的数学题。
婆什迦罗发现了一种很巧妙的算法：
设这个人有（2x-100）枚铜币，他朋友有（x+100）枚铜币，因为这个人给朋友10枚铜币后，他的朋友将比他富6倍，于是有6（2x-100）=x+100，解之得x=70即两人分别有40和170枚铜币。
我国古代数学著作《张邱建算经》里有一个类似的题目：
“有甲、乙两人携钱各不知其数，若乙给甲十钱，则甲比乙所多的是乙余数的5倍；若甲给乙十钱，则两人钱数相等。
问甲、乙各有多少钱？
”更早些，《希腊文集》里已有了著名的“欧几里得问题”的记载：
“驴子和骡子驮着货物并排走在大路上，驴子不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。
骡子对它说：
‘你发什么牢骚啊！
我驮的比你更重。
如果你给我1口袋，我驮的货物就是你的2倍；而我给你1口袋，咱俩才刚好一般多。
’问驴子和骡子各驮了几口袋货物？
”
棋盘上的麦粒数
印度古代有个国王天性爱玩，对国际象棋这种新发明的游戏尤其入迷，决定重赏它的发明人西萨·班。
西萨·班指着棋盘对国王说：
“陛下，请您在第1格里赏我1粒麦子，在第2格里赏我2粒麦子，在第3格里赏我4粒麦子，依此类推，每增加1格麦粒数就增加1倍，一直放满64个格子。
”国王哈哈大笑，觉得这点麦子简直算不了什么。
可他不久就发现，即使把印度的麦子全都扛来，也远远无法兑现自己许下的诺言。
西萨·班要的麦粒是多少呢？
这是一个有趣的等比例数列求和问题。
因为每增加1格麦粒数就增加1倍，所以第1格里是1粒，第2格里是21粒，第三格里是22粒，……最后一格里是263粒。
由等比例数列的求和公式，它们的和是184467445（粒）。
这个数目大得惊人，如果修建一座高4米、宽10米的仓库来存放这些麦子，那么，这座仓库可以从地球修到太阳上，然后再从太阳修回地球来！
奇特的墓志铭
丢番图是古希腊最后一个大数学家。
专家们认为，现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项等等，丢番图基本上都已知道了。
他对不定方程的研究尤其受人称赞，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。
遗憾的是，关于他的生平，后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时，幸亏他那段奇特的墓志铭，才知道他曾享有84岁的高龄。
丢番图的墓志铭是一道谜语般的数学题：
“过路人！
这里埋着丢番图的骨灰。
他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是少年时期。
又过了生命的1/7他才结婚，婚后5年有了1个孩子。
这孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。
孩子死后，丢番图在深深的哀痛中活了4年，也结束了尘世生涯。
”
这段墓志铭写得太妙了。
谁要想知道丢番图的年纪，就得解一个一元一次方程；而这正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘了丢番图所献身的事业。
化圆为方问题
公元前6世纪时，有位叫安拉克萨哥拉的古希腊学者，被他的政敌丢进了监狱。
在牢房里他无事可干，整天思索着这样一个数学问题：
“怎样用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积与某个已知圆的面积相等？
”这就是著名的化圆为方问题。
当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。
但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。
化圆为方看上去谁都能办到，实际上却谁也办不到，因而具有极大的魅力。
15世纪时，连欧洲最杰出的艺术大师达·芬奇也曾拿起直尺圆规，试图解决这个问题呢。
年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国科学院，多得叫数学家们无法审读，以致在1775年，巴黎科学院为了维持正常的工作秩序，不得不宣布不再审读这方面的论文。
化圆为方的狂热终止于1882年，在这一年里，德国数学家林德曼证明了π是一个超越数，从而在理论上论证了化圆为方是不可能由尺规作图法完成的。
现在仍然有些青少年在尝试化圆为方，显然，这只会是白白浪费精力。
立方倍积问题
公元前5世纪时，一场大瘟疫凭空降临到古希腊的第罗斯岛上，夺去了许多人的生命，幸存的人们纷纷躲进神庙，祈求神灵保佑。
神说：
“你们想活命，就必须把庙中的祭坛加大1倍，并且不许改变它的形状。
”祭坛是个正方体，第罗斯人连夜加工，把祭坛的长、宽、高都加大了1倍，以为这样就满足了神的要求。
岂料瘟疫更加疯狂地蔓延开来，第罗斯人满腹狐疑，再次匍匐在神像前。
神怒气冲冲地说：
“这个祭坛是原来的8倍！
”第罗斯人没有办法，派人向当时最有名的学者柏拉图请教，不料他也解决不了这个问题……
故事中提到的这个数学问题，也是一个举世闻名的几何作图难题，叫立方倍积问题：
“做一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。
”如果借助其他工具，解决这个问题是很容易的，古希腊的埃拉托斯芬、攸多克萨斯，英国的牛顿等人都曾发明过一些巧妙的方法，但是，如果限制用直尺和圆规去解决，2000年来，无论是初学几何的少年，还是天才的数学大师，却无一不束手无策。
1837年，又是法国数学家闻脱兹尔最先从理论上证明：
同三等分角问题一样，立方倍积问题也是不能由尺规作图法解决的，才了结了这桩数学悬案。
三等分角问题
在2000多年前，古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规。
于是，从一些本来很简单的作图题中，产生了一批举世闻名的数学难题。
例如三等分角问题：
“只使用直尺与圆规做一个角，使它等于一个已知角的1/3。
”
大数学家阿基米德曾试图解决这个难题。
他预先在直尺上作了一个记号，很轻松地将一个角分成了三等份。
可是，人们不承认他解决了这个难题。
因为古希腊人还规定：
作图时直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只允许使用有限次。
三等分角看上去非常简单，做起来却非常难，几千年来，它激发了一代又一代的数学家。
有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾拿起直尺圆规，用三等分角测试过自己的智力，但谁也未能取得成功，直到1837年，法国数学家闻脱兹尔从理论上予以证明，只使用直尺圆规是无法三等分一个任意角的，才率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫。
数图之谜
现在世界上所能见到的最古老的数学文献，是古埃及的莱因特纸草书。
书中记载了85个数学问题，在书写第79题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着7、49、343、2401和16807这5个数，书的旁边依次画有图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了。
由于这是书中唯一未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜。
数学史学家康托尔猜出了这个谜，他认为题目的意思是：
“有7个人，每个人养着7只猫，每只猫吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麦穗，每棵麦穗可以长成7个量器的大麦，问各有多少？
”经他这么一解释，书中给出的那5个数就正好成了题目的答案。
有趣的是，在莱因特纸草书出土之前600多年，意大利数学家斐波拉契曾遍了一道很相似的数学题：
“7位老太太一起到罗马去，每人有7匹骡子，每匹骡子驮7个口袋，每个口袋盛7个面包，每个面包有7把小刀，每把小刀有7个刀鞘。
问各有多少？
”比斐波拉契还早几百年，我国古书里也记载了一个相似的数学题：
“今有出门望有九隄，隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。
问各几何？
”在不同的民族、不同的国家、不同的时间里，竟流传着一个同样的问题，这也是一个很有趣的谜。
百蛋（外国古题）
两个农民一共带了100只蛋到市场上去出卖。
他们两 人所卖得的钱是一样的。
第一个人对第二个人说：
“假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得15个克利采（一种货币名称）”。
第二个人说：
“假若我有了你这些蛋，我只能卖得6又三分之二个克利 采。
”问他们俩人各有多少只蛋？
和尚吃馒头（中国古题）
大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个。
有大小和尚100人，共吃了100个馒头。
大、小和尚各几人？
各吃 多少馒头？
洗碗（中国古题）
有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？
她回答说：
家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭 碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。
你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？
《算法统宗》里的问题
《算法统宗》是中国古代数学著作之一。
书里有 这样一题：
甲牵一只肥 羊走过来问牧羊人：
“你赶的这群羊大概有100只 吧”，牧羊人答：
“如果这群羊加上一倍，再 加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百 只。
”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？
《张立建算经》里的问题
《张立建算经》是中国古代算书。
书中有这样一题：
公鸡每只值5元， 母鸡每只值3元，小鸡每三只值1元。
现在用100元钱买100只鸡。
问这100只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
《九章算术》里的问题
《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个 题目。
其中一道是这样的：
一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行25千米，不装米的空车曰行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米？
共有多少个桃子？
著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。
在会见时，给少年班 同学出了一道题：
“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。
于是大家同意先去睡觉，明天再 说。
夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。
第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五 份，也把自己那一份收起来了。
第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。
问一共有多少个桃子？
注：
这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增 加一个条件，最后剩下1020个桃子，看谁能算出来。
韩信点兵
传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。
他的方法是：
让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五 列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。
他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵 的准确人数。
如果韩信 当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是2人、2人、4人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？
一笔画问题
在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。
当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。
这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。
你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？
（自己动手画画吧）
埃及金字塔
世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个“金”字。
它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。
两千六百多年前，埃及有位国王，请来一位名子叫法 列士的学者测量金字塔的高度。
法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。
太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。
当法列士测出自己的 影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度（cb）。
他根据塔的底边长度和塔的阴 影长度，很快算出金字塔的高度。
你会计算吗？
数学家达兰倍尔错在哪里
传说18世纪法国有名的数学家达兰倍尔有一次拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？
情况只有三种：
可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面， 也可能两个都是背面。
因 此，两个都出现正面的概率是1∶3。
你想想，错在哪里？
涡卡诺夫斯基的算术题
一只狗追赶一匹马，狗跳六次的时间，马只能跳5次，狗跳4次的距离和马跳7次的距离相同，马跑了5.5公里以后，狗开始在后面追 赶，马跑多长的距离，才被狗追上？
托尔斯泰的算术题
俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：
一组割草人要把二块草地的草割完。
大的一块比小的一块大一倍， 上午全部人都在大的一块草地割草。
下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。
另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天 时间刚好割完。
问这组割草人共有多少人？
（每个割草人的割草速度都相同）
马塔尼茨基的算术题
有一个雇主约定每年给工人12元钱和一件短衣，工人 做工到7个月想要离去，只给了他5元钱和一 件短衣。
这件短衣值多少钱
多少蜜蜂
公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下1/5， 在乙花上落下1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣 赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？
及时梨果
元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：
九百九十九文钱，及时梨果买一千， 一十一文梨九个，七枚果子四文钱。
问：
梨果多少价几何？
此题的题意是：
用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。
问买梨、果各几个，各付多少钱？
两鼠穿墙
我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:
今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。
大鼠日自倍，小鼠日自半。
问何日相逢，各穿几何?
今意是:
有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。
大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。
问几天后两鼠相遇，各穿几尺?
隔壁分银
只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。
试问各位能算者，多少客人多少银？
（注：
旧制1斤＝16两，半斤＝8两）
李白打酒
李白街上走，提壶去打酒
遇店加一倍，见花喝一斗；
三遇店和花，喝光壶中酒。
试问酒壶中，原有多少酒？
这是一道民间算题。
题意是：
李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量单位，1斗＝10升），这样遇店见花各3次，把酒喝完。
问壶中原来有酒多少？
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？
”
题目的意思就是：
有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。
这些物品的数量至少是多少个？
（注：
诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。
所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。
）
《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：
“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。
并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。
”“答曰：
二十三。
” 这段话的意思是：
先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数是140； 再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数是63；
然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数是30。
于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一个所要求得的数。
但这个数并不是最小的。
再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：
｛23，128，233，338，443，„｝
从而可知，23、128、233、338、443、„都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。
其实由于三个三个地数和七个七个地数都是剩2个，由此可求出3、7的最小公倍数再加2，也就是23个。
23也正好是五个五个地数多3个，所以这些物品的数目至少是23个。
升级会员 