八年级数学上册《三角形》谢.docx
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八年级数学上册《三角形》谢
初中数学
八年级数学上册-《三角形》
姓名:
_____________
学校:
_____________
班级:
_____________
授课教师：
老谢
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学过程：
一、提出问题，情景导入
三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。
那么什么叫做三角形呢？
二、合作学习，新知探究
1、三角形及有关概念
（1）、三角形定义：
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
（2）、理解应注意：
①三条线段必须不在一条直线上，②首尾顺次相接。
（3）、三角形相关概念：
边：
组成三角形的线段叫做三角形的边。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c，表示,顶点B
所对的边AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示。
角：
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。
顶点：
相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
（4）、三角形表示：
三角形ABC用符号表示为△ABC。
.
2、三角形三边的不等关系
任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
为什么？
有两条路线：
（1）从B→C，
（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短。
同样地有AC+BC＞AB② AB+BC＞AC③
由式子①②③我们可以知道什么？
三角形的任意两边之和大于第三边.
3、三角形的分类
（1）、按角分类:
（2）、按边分类:
三、知识迁移，巩固提高
例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？
为什么？
分析：
（1）等腰三角形三边的长是多少？
若设底边长为x㎝，则腰长是多少？
（2）“边长为4㎝”是什么意思？
11.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学过程：
一、提出问题，情景导入
我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。
三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。
二、合作学习，新知探究
1、三角形的高
（1）、请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：
高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
（2）、请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？
结论：
三角形的三条高相交于一点。
（3）、如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？
现在我们来画钝角三角形三边上的高。
（4）、请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。
上面的结论还成立。
2、三角形的中线
（1）、如图二，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.
（2）、请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？
（3）、如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？
3、三角形的角平分线
（1）、如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
思考：
三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
（2）、请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？
结论：
三角形三个角的平分线相交于一点。
（3）、如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？
请画图回答。
上面的结论还成立。
（4）、想一想：
三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？
结论：
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
11.1.3三角形的稳定性
教学过程：
一、提出问题，情景导入
盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
二、合作学习，新知探究
1、三角形的稳定性
〔实验〕
（1）、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
结论：
不会改变。
（2）、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
结论：
会改变。
（3）、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
结论：
不会改变。
2、从上面的实验中，你能得出什么结论？
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
三、知识迁移，巩固提高
三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。
如：
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？
11.2.1三角形的内角
教学过程：
一、提出问题，情景导入
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
二、合作学习，新知探究
1、三角形内角和的证明
（1）、回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
[投影1]
图1
（2）、想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图
（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800
如果把上页移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：
∠A+∠B+∠C=1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？
请说说证明过程。
三、知识迁移，巩固提高
1、例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：
怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出AB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度？
怎样求∠CBA的度数？
2、在直角三角形ABC中，∠C＝900由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=1800，
所以∠A+∠B＝900‘三角形内角和定理的推论：
直角三角形的两个锐角互余。
11.2.2三角形的外角
一、提出问题，情景导入
如图，△ABC的三个内角是什么？
它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？
这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、合作学习，新知探究
1、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。
也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
（共有六个）
注意：
每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
2、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三、知识迁移，巩固提高
例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，
它们的和是多少？
分析：
∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB
有什么关系？
∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：
∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
11.3．1多边形
教学过程：
一、情景导入
[投影1]看下页的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？
二、多边形及有关概念
这些图形有什么特点？
由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．
这种在平页内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。
这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
[投影2]
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
画图看看。
你能猜想n边形有多少条对角线吗？
说说你的想法。
n边形有1/2n（n－3）条对角线。
因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有1/2n（n－3）条对角线。
三、凸多边形和凹多边形
[投影3]如图，下页的两个多边形有什么不同？
在图
（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图
（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。
注意：
今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．
四、正多边形的概念
我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.3．2多边形的内角和
一、回顾导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？
二、多边形的内角和
〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？
它们将四边形分成几个三角形？
那么四边形的内角和等于多少度？
可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。
类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？
〔投影2〕观察下页的图形，填空：
五边形六边形
从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；
从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；
〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
从上页的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。
现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？
分法一〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。
∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。
分法二〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．
三、例题
例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
分析：
∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？
解：
∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°
又∠A＋∠C＝180°
∴∠B＋∠D=360°－（∠A＋∠C）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：
多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？
六边形的内角和是多少度？
解：
∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180°
∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°
又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°。
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：
n边形的外角和等于360°。
知识归纳：
Ø与三角形有关的线段
三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
A
边:
AB,BC,CA或a,b,c
c
b
顶点:
A,B,C
B
角:
a
C
（2）三角形的分类
（3）三角形的主要线段
三角形的中线:
顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心
三角形的角平分线:
内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心
三角形的高:
顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心（分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同）
（4）三角形三边间的关系.
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
（5）三角形的稳定性:
三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
Ø与三角形有关的角
（1）三角形的内角和定理及性质定理：
三角形的内角和等于180°。
推论1：
直角三角形的两个锐角互余。
推论2：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论3：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（2）三角形的外角及外角和
①三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
②三角形的外角和等于360°。
（3）多边形及多边形的对角线
①正多边形：
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
②凸凹多边形：
画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:
A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n边形共有
条对角线。
（4）多边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）。
②多边形的外角和等于360°。
（5）平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：
用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：
有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
考考你的记忆力：
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形
2、三角形的表示方法：
三角形ABC可表示为：
；
3、三角形的有关元素：
（1）ΔABC的顶点分别为A、、；
（2）ΔABC的内角分别为∠ABC，，；
（3）ΔABC的三条边分别为AB，，；或
，、；
（4）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。
4、三角形的分类：
锐角三角形
①按角分类
不等边三角形：
三角形三条边
②按边分类底边和腰不的等腰三角形
等腰三角形
（有两条边相等）等边三角形：
三条边都
5、三角形三边的关系：
⑴、三角形的任意两边之和第三边；
⑵、三角形的任意两边之差第三边。
6、几何语言表示三角形的高、中线、解平分线；
（1）三角形的中线（如图一）：
∵CF是AB上的中线
∴①AF==
AB=2=2
（2）三角形的角平分线（如图二）：
∵BE是ΔABC中∠ABC的角平分线
∴①∠1=∠2=∠ABC
∠ABC=2∠=2∠
（3）三角形的高线（如图三）：
∵AD为ΔABC中BC边上的高，
∴
⊥
∠=∠=90°
7、三角形内角和定理：
三角形的三个内角和等于。
8、三角形的外角：
（1）三角形的外角的定义：
三角形的与组成的角叫做三角形的外角。
（2）三角形外角的性质：
①三角形的一个外角与它相邻的内角；
②三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和；
③三角形的一个外角任何一个与它不相邻的内角。
（3）三角形的外角和等于。
9、多边形：
（1）多边形的定义：
在平面内，由一些不在同一条直线上的线段组成的图形叫做多边形。
（2）多边形的对角线：
连接多边形两个顶点的线段。
（3）从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,一共可以引对角线。
（4）从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将n边形分成 个三角形.
（5）正多边形的定义：
在平面内，各个都相等，各条也都相等的多边形叫做正多边形。
10、n边形的内角和定理：
n边形的内角和等于。
11、n边形的外角和定理：
n边形的外角和等于。
12、正n边形的每个内角等于；正n边形的每个外角等于。
二、课堂练习：
（一）选择题：
1、以下列长度（cm）的三条小木棒，若首尾顺次连接，能钉成三角形的是（）。
（A）10、14、24（B）12、16、32（C）16、6、4（D）8、10、12
2、下面各角能成为某多边形的内
角和的是（ ）
A.430° B.4343° C.4320° D.4360°
3、一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）
A.5 B.6 C.7 D.8
4、在下列条件中：
①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（ ）．
A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确
6、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（
）．
A．∠A＝∠1＋∠2B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2D．3∠A＝2（∠1＋∠2）
7、五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
的度数为（）
A、90°B、180°C、270°D、360°
8、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合
于O，则∠AOC+∠DOB=（）
A、900B、1200C、1600D、1800
9、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）
A、4B、5C、6D、7
10、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形
的边数是（）
A、8B、9C、10D、11
（二）填空题：
1、已知等腰三角形两边长是4cm和7cm，则它的周长是。
2已知等腰三角形的一个内角是50°，则它的另外两个内角是。
3、如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，
DF⊥CE，则∠CDF=________度
4、一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_________________,它的内角和是__________度。
5、若三角形三个内角度数的比为2:
3:
4,则相应的外角比是.
6、如图
ABC中，AD是BC上的中线，BE是
ABD中AD边上的中线，
若
ABC的面积是24，则
ABE的面积是________。
（三）解答题：
1、已知一个三角形的三边长分别是4，2a–3，5，其中a是奇数，求a的值。
2、如图，在⊿ABC中，∠B=50º，∠C=70º，AD是高，AE是角平分线，
求∠EAD的度数。
3、如图，AD是⊿ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B=30º，∠DAE=55º，求∠ACD的度数。
4、已知如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，试判断AB与DC、AD与BC各自具有怎样的位置关系？
说明理由。
5、如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数．
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