公务员公务员考前培训第二章数学应用.docx
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公务员公务员考前培训第二章数学应用
第二章 数学应用
一、解答技巧
1、学习和掌握新题型
2、重点掌握新变化和基本理论知识
3、在掌握方程法的基础上加强思维训练
4、学会使用代入法和排除法
5、反复练习，提高做题速度
二、基本解题思路
1、方程的思路
2、代入与排除的思路
3、猜证结合的思路
三、常见题型和基本理论知识
1、数字计算
（1）直接补数法
概念：
如果两个数的和正好可以凑成整十、
整百、整千，称这两个数互为补数。
例题：
计算274+135+326+265
解：
原式=（274+326）+（135+265）
=600+400=1000
（2）间接补数法
例题：
计算1986+2381
解：
原式=2000-14+2381
=2000+2381-14
=6381-14
=6367
（凑整去补法）
（3）相近的若干数求和
例题：
计算
1997+2002+1999+2003+1991+2005
解：
把2000作为基准数，
原式=2000x6+（-3+2-1+3-9+5）
=12000-3
=11997
（4）乘法运算中的凑整法
基本的凑整算式：
5x2=10，25x4=100，
125x4=500，625x4=2500
例题：
计算
（8.4x2.5+9.7）/（1.05/1.5+8.4/0.28）
解：
原式=（2.1x4x2.5+9.7）/（0.7+30）
=30.7/30.7
=1
练习：
计算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4.95
解：
原式
=0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95
=4.95x25+4.95x24+4.95x51
=4.95x（25-24+51）
=4.95x100
=495
（5）尾数计算法
概念：
当四个答案完全不同时，可以采用为数计算法选择出正确答案。
例题：
99+1919+9999的个位数是（）
A.1 B.2 C.3 D.7
解析：
答案各不相同，所以可采用尾数法。
9+9+9=27
答案：
7，选D
练习：
计算
（1.1）2+（1.2）2+（1.3）2+（1.4）2的值是：
A.5.04 B.5.49 C.6.06 D.6.30
解析：
（1.1）2的尾数为1，（1.2）2的尾数为4，
（1.3）2的尾数为9，（1.4）2的尾数为6，
所以最后和的尾数为1+3+9+6的和的尾数，即0
答案：
D
（6）自然数n次方的尾数变化情况
例题：
19991998的末位数字是（）
解析：
9n的尾数是以2为周期进行变化的，
分别为9，1，9，1，……
答案：
1
2n的尾数变化是以4为周期变化的，
分别为2，4，8，6
3n的尾数变化是以4为周期变化的，
分别为3，9，7，1
7n的尾数变化是以4为周期变化的，
分别为7，9，3，1
8n的尾数变化是以4为周期变化的，
分别为8，4，2，6
4n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为4，6
9n的尾数变化是以2为周期变化的，分别为9，1
5n、6n尾数不变
练习：
19881989+19891988的个位数是
解析：
19881989的尾数是由81989的尾数确定的，1989/4=497余1，所以81989的尾数和81的尾数是相同的，即为8；
19891988的尾数是由91988的尾数确定的，1988/2=994余0，所以91988的尾数和92的尾数是相同的，即为1。
答案：
8+1=9
（7）提取公因式法
例题：
计算1235x6788-1234x6789
解：
原式=1235x6788-1234x6788-1234
=6788x（1235-1234）-1234
=6788-1234
=5554
练习：
计算999999x777778+333333x666666
解一：
原式
=333333x3x777778+333333x666666
=333333x（3x777778+666666）
=333333x（2333334+666666）
=333333x3000000
=0
解二：
原式
=999999x777778+333333x3x222222
=999999x777778+999999x222222
=999999x（777778+222222）
=999999x1000000
=0
解一和解二在公因式的选择上有所不同，
导致计算的简便程度不相同
（8）因式分解
例题：
计算2002x20032003-2003x20022002
解析：
20032003=2003x10001；
20022002=2002x10001
原式=2002x2003x10001-
2003x2002x10001
（9）代换的方法
例题：
计算（1+0.23+0.34）x（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）x（0.23+0.34）
解：
设A=0.23+0.34，
B=0.23+0.34+0.65
原式=（1+A）xB-（1+B）xA=B-A=0.65
练习：
已知X=1/49，Y=1/7，
计算7X-3（2Y2/3+X/5）-（Y2+2X/5）+2Y2
解：
根据已知条件X=1/49，Y=1/7，
可进行X=Y2的代换
原式=7X-3（2X/3+X/5）-（X+2X/5）+2X
=7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X
=5X
=5/49
（10）利用公式法计算
例题：
计算782+222+2x78x22
解：
核心公式：
完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2
原式=（78+22）2
=10000
其它核心公式：
平方差公式：
a2-b2=（a-b）（a+b）
立方和公式：
a3+b3=a2-ab+b2
立方差公式：
a3-b3=a2+ab+b2
完全立方公式：
（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3
2、比较大小
（1）作差法：
对任意两数a、b，如果a-b﹥0则a﹥b；
如果a-b﹤0则a﹤b；如果a-b=0则a=b。
（2）作比法：
当a、b为任意两正数时，如果a/b﹥1则a﹥b；
如果a/b﹤1则a﹤b；如果a/b=1则a=b。
当a、b为任意两负数时，如果a/b﹥1则a﹤b；
如果a/b﹤1则a﹥b；如果a/b=1则a=b。
（3）中间值法：
对任意两数a、b，
当很难直接用作差法和作比法比较大小时，
通常选取中间值c，
如果a﹥c而c﹥b，
则a﹥b。
例题：
分数 中最大的一个是
解析：
取中间值 和原式的各个分数
进行比较，可以发现
除了 比 大，其余分数都比 小
答案：
最大
3、比例问题
（1）和谁比
（2）增加或减少多少
（3）运用方程法或代入法
例题：
b比增加了20%，则b是a的多少？
a又是b的多少？
解析：
列方程a（1+20%）=b，
所以b是a的1.2倍
，
所以a是b的
练习：
鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来
200条，做好标记后放回鱼塘，数日
后再捕上100条，发现有标记的鱼有
5条，问鱼塘里大约有多少条鱼？
解析：
方程法，设鱼塘里有x条鱼，
100/5=x/200，x=4000
答案：
鱼塘里大约有4000条鱼。
4、工程问题
（1）关键概念：
工作量、工作效率、工作效率的单位
（2）关键关系式：
工作量=工作效率x工作时间
总工作量=各分工作量之和
例题：
一项工作，甲单独做10天完成，乙单
独做15天完成，问两人合作3天完成
工作的几分之几？
解析：
设工作量为1，甲的工作效率为1/10，
乙的工作效率为1/15，两人一天完成
工作量为1/10+1/15=1/6，3天完
成工作量为1/6x3
答案：
1/2
练习：
铺设一条自来水管道，甲队单独铺设
8天可以完成，乙队每天可铺设50米。
如果甲乙两队同时铺设，4天可以完成
全长的2/3，这条管道全长是多少米？
解析：
设乙需要X天完成这项工程，
由题意可得 ，解得X=24
又乙队每天可铺设50米，
所以50x24=1200米
答案：
这条管道全长是1200米
5、行程问题
（1）相遇问题
甲从A地到B地，乙从B地到A地，两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么
A、B之间的路程=甲走的路程+乙走的路程
=（甲的速度+乙的速度）x相遇时间
=速度和x相遇时间
相遇问题的核心是“速度和”问题。
例题：
两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米／秒，第二列车的车速为 12.5米／秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为多少米?
解析：
两列火车的速度和为10+12.5=22.5米／秒，两列火车这样的速度共同行驶了6秒，行驶的距离是第一列火车的长度，即22.5x6=135米
答案：
第一列车的长度为135米。
（2）追及问题
两人同时行走，甲走得快，乙走得慢，当乙在前，甲过一段时间能追上乙，这就产生了“追及问题”。
实质上，要计算甲在某一段时间内比乙多走的路程。
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=（甲的速度-乙的速度）x追及时间
=速度差x追及时间
追及问题的核心是“速度差”问题。
例题：
甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前面，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？
解析：
甲对乙的追及速度差=28-24=4千米/时，追及时间为4小时，则追及的距离为4x4=16千米，即两码头之间的距离
答案：
两个码头相距16千米。
（3）流水问题
船顺水航行时，一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进，同时整个水面又按水的流动速度在前进，因此船顺水航行的实际速度（简称顺水速度）就等于船速与水速的和，即：
顺水速度=船速+水速
同理：
逆水速度=船速-水速
可推知：
船速=（顺水速度+逆水速度）/2；
水速=（顺水速度-逆水速度）/2
例题：
小王从甲地到乙地，以为有风，去时用了2小时，回来用了3小时。
已知甲乙两地的距离是60公里，求风速是多少？
解析：
设风速为X，小王的速度为Y，
根据题意得X+Y=30，Y-X=20。
则X=5，Y=25
答案：
风速是5公里/时。
6、方阵问题
核心公式：
（1）方阵总人数=最外层每边人数的平方
（方阵问题的核心）
（2）方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1
（3）方阵外层比内层一行、一列的总人数多2
（4）一行、一列的总人数=每边人数x2-1
例题：
小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币 ，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？
解析：
设围成一个正方形时，每边有硬币X枚，
此时硬币总数为4（X-1），当变成三角形时，
硬币总数为3（X+5-1），由此可得4（X-1）=
3（X+5-1），解得X=16，硬币总数为60枚
答案：
小红所有五分硬币的总价值是3元。
7、和、差倍问题
已知不同大小两个数的和（或差）与
它们的倍数关系，求这两个数的值。
（和+差）/2=较大数；
（和-差）/2=较小数；
较大数-差=较小数。
例题：
甲、乙、丙、丁4个数的和为549，如果甲加上2，乙减去2，丙乘以2，丁除以2以后，4个数相等，求这4个数各是多少？
解析：
设相等的数为x，
则甲=x-2，乙=x+2，丙=2x，丁=x/2，
由题意可得x-2+x+2+2x+x/2=549，x=122
答案：
甲、乙、丙、丁这4个数分别是
120、124、244、61。
8、年龄问题
一般方法：
几年后年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差
年龄问题的核心是大小年龄差是各不变的量，
而年龄的倍数却年年不同。
例题：
甲对乙说：
当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。
乙对甲说：
当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。
甲乙现在各有：
A.45岁，26岁 B.46岁，25岁
C.47岁，24岁 D.48岁，23岁
解析：
设甲的年龄为X，乙的年龄为Y，
由题意可得Y-（X-Y）=4，X+（X-Y）=67
解得X=46，Y=25
此题应直接用代入法
答案：
B
9、利润问题
核心公式
（1）利润=销售价（卖出价）-成本
（3）销售价=成本x（1+利润率）
例题：
某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，
则他在这次买卖中
A．不赔不赚 B．赚9元 C．赔18元D．赚18元
解析：
根据利润问题的核心公式， 第一件上衣成本 第二件上衣的成本 （亏损即利润率为负），由此可得总成本为288元，而总销售额为270元，所以赔了18元
答案：
C
10、面积问题
（1）基本公式
三角形的面积
长方形面积S=axb
正方形面积S=a2
梯形面积
圆的面积
（2）基本性质
等底等高的两个三角形面积相同
等底的两个三角形面积之比等于高之比
等高的两个三角形面积之比等于底之比
（3）核心问题
解决面积问题的核心是“割、补”思
维，通过引入新的辅助线将图形分割或
者补全，得到规则的图形，从而快速求
得面积，即“辅助线法”。
例题：
求下面空白部分的面积是正方形面积的几分之几？
解析：
将阴影部分面积“切割平移添补”，从而变成正方形的1/2
答案：
空白部分的面积是正方形面积的1/2
11、周长问题
（1）基本公式
长方形的周长C=2（a+b）
正方形的周长C=4a
圆的周长C=2r=d
（2）核心问题
掌握转化的思考方法，把某个图形转变成标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以便计算它们的周长。
例题：
如图所示，以大圆的一条直径上的七个点为圆心，画出七个紧密相连的小圆。
请问，大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较，结果是：
A．大圆的周长大于小圆的周长之和
B．小圆的周长之和大于大圆的周长
C．一样长
D．无法判断
解析：
设小圆的直径从上到下依次为
d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7
则小圆的周长分别为c1=d1，c2=d2，…，c7=d7
c1+c2+…+c7=（d1+d2+…+d7）=D（大圆直径）
=C（大圆周长）
答案：
C
12、体积问题
基本公式
长方形的体积V=abc
正方形的体积V=a3
圆柱的体积V=sh=r2h，s为圆柱底面积
圆锥的体积
s为圆锥底面积
例题：
一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?
解析：
要求多少小立方体被染了色，只要求有多少没有被染色即可。
正方体的总个数为正方体的体积即512，而没有被染色的体积（小立方体个数）为216，所以为染色的小立方体个数为512-216=296
答案：
一共有296个小立方体被涂上了颜色。
13、数列问题
核心公式
（1）等差数列通项公式：
（2）等差数列求和公式：
（3）等差数列中项公式：
当n为奇数时，等差中项为1项即：
当n为偶数时，等差中项为2项即：
和 ，
而
（4）等比数列通项公式：
an=a1qn-1=amqn-m
例题：
如果某一年的7月份有5个星期四，
它们的日期之和为80，那这个月的3日
是星期几？
解析：
设这5天分别为a1、a2、a3、a4、a5，
显然这是一个公差为7的等差数列，等差
中项 ，所以a2=2，
即第一个星期四为2号
答案：
这个月的3日是星期五。
14、最小公倍数与最大公约数
（1）最小公倍数：
如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。
几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
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公倍数中最小的一个大于零的公倍数，称为这几个数的最小公倍数。
（2）最大公约数：
如果一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。
几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最达的一个公约数，称为这几个数的最大公约数。
例题：
甲每5天进城一次，乙每9天进城一次，丙每12天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要多少天？
解析：
求5、9、12的最小公倍数，5x9x12=180
答案：
下次相遇至少要180天。
15、容斥原理（难点，作图求解）
核心公式
（1）两个集合的容斥关系公式：
（2）三个集合的容斥关系公式：
例题：
某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少？
解析：
设A=第一次考试中及格的人数（26），
B=第二次考试中及格的人数（24）
A+B=26+24=50，
则
答案：
两次考试都及格的人数是22人。
16、排列、组合问题
（1）乘法原理：
一般地，如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事一共有N=m1xm2x…xmn种不同的方法。
（2）加法原理：
一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法……第k类方法中有mk种不同做法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法。
（3）排列问题：
从n个不同元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列。
排列数公式pnm=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
（4）组合问题：
从n个不同元素中任取出m个（m≤n）元素，组成一个不计组内各元素顺序的组合。
组合数公式m=
例题：
林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法?
解析：
挑选三种肉类中的一种有C31种方法，挑选四种蔬菜中的两种不同蔬菜有C42种方法，挑选四种点心中的一种有C41种方法。
根据乘法原理，不考虑食物的挑选顺次，
C31C42C41=3x6x4=72
答案：
他可以有72种不同选择方法。
补充练习
1、若干学生住若干房间，如果每间住4人，则有20人没地方住，如果每间住8人，则有一间只有4人住，问共有多少学生?
A．30人 B．34人 C．40人 D．44人
使用代入法
答案：
D
2、三角形的内角和为180°，问六边形的内角和是多少度?
A．720°B．600°C．480°D．360°
核心公式180°（n-2）
答案：
A
3、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?
A．15人 B．16人 C．17人 D．18人
画图求解
答案：
A
4、一个快钟每小时间比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。
如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点，则此时的标准时间是：
A．9点15分 B．9点30分
C．9点35分 D．9点45分
解题关键：
慢:
快=3:
1
答案：
D
5、100X多米诺骨牌整齐地排成一列，依顺序编号为1、2、3……99、100。
第一次拿走所有奇数位置上的骨牌，第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌，依此类推。
请问最后剩下的一X骨牌的编号是多少?
（ ）
A．32 B．64 C．88
D．96
由题意可知，最后剩下的骨牌编号为2n，
100以内的是64
答案：
B
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