中考数学试题分类汇编一元二次方程.docx
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中考数学试题分类汇编一元二次方程
2018中考数学试题分类汇编：
考点10一元二次方程
一．选择题（共18小题）
1．（2018•）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1•x2＞0D．x1＜0，x2＜0
【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1•x2=﹣2，可得出x1、x2异号，结论D错误．
综上即可得出结论．
【解答】解：
A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1•x2=﹣2，
∴x1、x2异号，结论D错误．
故选：
A．
2．（2018•）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出m≤3，由m为正整数结合该方程的根都是整数，即可求出m的值，将其相加即可得出结论．
【解答】解：
∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．
∴2+3=5．
故选：
B．
3．（2018•）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．
【解答】解：
∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=0．
故选：
D．
4．（2018•）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：
设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：
x（x﹣1）=55，
整理，得：
x2﹣x﹣110=0，
解得：
x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．
答：
参加酒会的人数为11人．
故选：
C．
5．（2018•）一元二次方程y2﹣y﹣
=0配方后可化为（ ）
A．（y+
）2=1B．（y﹣
）2=1C．（y+
）2=
D．（y﹣
）2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：
y2﹣y﹣
=0
y2﹣y=
y2﹣y+
=1
（y﹣
）2=1
故选：
B．
6．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则
+
的值是（ ）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
【分析】根据根与系数的关系可得出α+β=﹣
、αβ=﹣3，将其代入
+
=
中即可求出结论．
【解答】解：
∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣
，αβ=﹣3，
∴
+
=
=
=
=﹣
．
故选：
C．
7．（2018•）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ）
A．无实数根B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3
【分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
【解答】解：
（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：
x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则x2﹣4x+2=0，
（x﹣2）2=2，
解得：
x1=2+
＞3，x2=2﹣
，
故有两个正根，且有一根大于3．
故选：
D．
8．（2018•）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2%B．4.4%C．20%D．44%
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：
设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：
2（1+x）2=2.88，
解得：
x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：
该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：
C．
9．（2018•）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值围．
【解答】解：
∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：
m＜1．
故选：
D．
10．（2018•）已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：
把x=1代入方程得1+k﹣3=0，
解得k=2．
故选：
B．
11．（2018•）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=
，AC=b，再在斜边AB上截取BD=
．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：
欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=
，AC=b，再在斜边AB上截取BD=
，
设AD=x，根据勾股定理得：
（x+
）2=b2+（
）2，
整理得：
x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：
B．
12．（2018•市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（ ）
A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：
x2﹣4x+3=0，
分解因式得：
（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：
x1=1，x2=3，
故选：
C．
13．（2018•）若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？
（ ）
A．﹣25B．﹣19C．5D．17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a﹣2b的值．
【解答】解：
（x﹣11）（x+3）=0，
x﹣11=0或x﹣3=0，
所以x1=11，x2=﹣3，
即a=11，b=﹣3，
所以a﹣2b=11﹣2×（﹣3）=11+6=17．
故选：
D．
14．（2018•）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．9C．13D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：
x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：
A．
15．（2018•）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100B．100（1﹣x）2=80C．80（1+2x）=100D．80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：
80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．
故选：
A．
16．（2018•乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？
设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣
）=10890B．（x﹣20）（50﹣
）=10890
C．x（50﹣
）﹣50×20=10890D．（x+180）（50﹣
）﹣50×20=10890
【分析】设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
【解答】解：
设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣
）=10890．
故选：
B．
17．（2018•）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？
（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．
【解答】解：
设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：
x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去），
则共有6个班级参赛．
故选：
C．
18．（2018•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8%B．9%C．10%D．11%
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：
设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：
x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：
平均每次下调的百分率为10%．
故选：
C．
二．填空题（共14小题）
19．（2018•）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 2018 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：
由题意可知：
2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：
2018
20．（2018•）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：
∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2，
故答案为：
﹣2．
21．（2018•）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：
把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
22．（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
故答案是：
2．
23．（2018•）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．
【解答】解：
∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=
．
故答案是：
．
24．（2018•）一元二次方程x2﹣9=0的解是 x1=3，x2=﹣3 ．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：
∵x2﹣9=0，
∴x2=9，
解得：
x1=3，x2=﹣3．
故答案为：
x1=3，x2=﹣3．
25．（2018•）已知a＞b＞0，且
+
+
=0，则
=
．
【分析】先整理，再把等式转化成关于
的方程，解方程即可．
【解答】解：
由题意得：
2b（b﹣a）+a（b﹣a）+3ab=0，
整理得：
2（
）2+
﹣1=0，
解得
=
，
∵a＞b＞0，
∴
=
，
故答案为
．
26．（2018•）对于实数a，b，定义运算“※”如下：
a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为 1 ．
【分析】根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：
由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：
1．
27．（2018•）一元二次方程x2﹣x=0的根是 x1=0，x2=1 ．
【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：
方程变形得：
x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：
x1=0，x2=1．
故答案为：
x1=0，x2=1．
28．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为 16 ．
【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
【解答】解：
解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：
16．
29．（2018•黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是 13 ．
【分析】求出方程的解，有两种情况：
x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：
x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：
13．
30．（2018•）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？
设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为
x（x﹣1）=21 ．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为
x（x﹣1），即可列方程．
【解答】解：
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为：
x（x﹣1）=21．
31．（2018•模拟）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是 100（1+x）2=160 ．
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．
【解答】解：
设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2=160．
故答案为：
100（1+x）2=160．
32．（2018•）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为 3 ．
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【解答】解：
依题意得：
，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：
3．
三．解答题（共11小题）
33．（2018•）
（1）计算：
2tan60°﹣
﹣（
﹣2）0+（
）﹣1．
（2）解方程：
x2﹣2x﹣1=0．
【分析】
（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可；
（2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可．
【解答】解：
（1）原式=2
﹣2
﹣1+3=2；
（2）a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
x=
=
=1
，
则x1=1+
，x2=1﹣
．
34．（2018•）解方程：
2（x﹣3）=3x（x﹣3）．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：
2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：
2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：
（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：
x1=3或x2=
．
35．（2018•）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．
销售量y（千克）
…
34.8
32
29.6
28
…
售价x（元/千克）
…
22.6
24
25.2
26
…
（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．
（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该果的售价为多少元？
【分析】
（1）根据表格的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；
（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，
，解得：
，
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．
当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．
答：
当天该水果的销售量为33千克．
（2）根据题意得：
（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：
x1=35，x2=25．
∵20≤x≤32，
∴x=25．
答：
如果某天销售这种水果获利150元，那么该果的售价为25元．
36．（2018•）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：
台）和销售单价x（单位：
万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
【解答】解：
（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，解得：
，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：
（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
整理，得：
x2﹣130x+4000=0，
解得：
x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：
该设备的销售单价应是50万元/台．
37．（2018•）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．
假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】
（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【解答】解：
（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：
400（1﹣x）2=361，
解得：
x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：
每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：
预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
38．（2018•）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：
2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：
2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前
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